核心素養巧引領，直觀想象妙應用*

☉江西省贛州中學 謝小翔

直觀想象是高中階段數學核心素養的一大主要內容，也是數學教學與學習過程中必備的技巧技能，借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題.直觀想象主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立數與形的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

一、根據直觀想象尋求答案的快速突破

在解決一些相關的集合的關系、函數的基本性質、函數與方程、函數與不等式關系、三角函數、平面向量、空間線面關系的判定等問題時，可以借助畫圖，利用直觀想象，直接來判斷結果，特別對于此類問題的選擇題或填空題時，效果更為明顯.

例1 若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結論一定正確的是（ ）.

A.l1⊥l4

B.l1∥l4

C.l1與l4既不垂直也不平行

D.l1與l4的位置關系不確定

分析：直接判斷空間直線間的位置關系比較難下手，而通過題目條件以正方體為問題背景，利用直觀想象結合正方體中相關的棱之間的關系來處理，直觀有效，簡單易懂.

解析：根據直觀想象，如圖1所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，

圖1

設直線BB1是直線l1，直線BC是直線l2，直線AB是直線l3，則直線DD1是直線l4，l1∥l4；

設直線BB1是直線l1，直線BC是直線l2，直線CC1是直線l3，直線CD是直線l4，則l1⊥l4；則知l1與l4的位置關系不確定.故選D.

點評：抓住條件：空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4， 直接給出空間中正方體這一直觀的幾何背景，從而加以直觀觀察，將語言敘述轉化為直觀模型，以達到直接處理的目的.通過立體幾何中的相關數學語言的轉化，轉化為空間幾何體的模型來處理，結合相互之間的關系，達到求解的目的.

二、根據直觀想象確定參數的取值范圍

在解決一些相關的集合關系、函數圖像平移變換、函數與不等式等相關問題時，可以借助畫圖，利用直觀想象，結合直觀圖形來確定參數之間的關系、不等式之間的大小關系等，通過圖形來確定關系，為進一步的求解奠定基礎.

分析：根據直線與曲線所表示的幾何圖形，畫出相應的曲線加以直觀想象，數形結合.解此類題要注意端點臨界值.

解析：y=x-m表示傾斜角為45°，縱截距為-m的直線，

圖2

點評：借助函數的圖像作出相應的曲線，利用直觀想象，通過數形結合將抽象問題直觀化、形象化、明朗化，從而使問題獲解.這也是解決一些大小關系、參數的取值范圍問題中經常會用到的一類技巧方法.

三、根據直觀想象尋找圖像的極端位置

在解決一些平面解析幾何或空間立體幾何的最值問題時，往往可以借助平面幾何圖形或空間立體圖形，通過直觀想象結合圖像中相關點、線、面的變化規律并根據題目條件來確定滿足條件的極端位置，為解決問題提供動態過程.

例3 （2015·浙江理·8）如圖3，已知△ABC，D是AB的中點，沿直線CD將△ACD折成△A′CD，所成二面角A′—CD—B的平面角為α，則（ ）.

圖3

A.∠A′DB≤α B.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤α D.∠A′CB≥α

分析：借助立體幾何圖形，以動制靜，通過直觀想象，利用直線CD翻折角度的大小變化極限思維來分析兩個極端情況下對應的角度情況，尋找極端位置，從而得以快捷判斷.

解析：取極端思維：翻折前，此時沿直線CD翻折→0°，此時α→180°，可得∠A′CB＜α，排除D.

翻折后，此時沿直線CD翻折→180°，此時α→0°，可得∠A′CB≥α，排除選項C；而此時∠A′DB≥0°，當且僅當AC=BC時，∠A′DB=0°，排除A.

故選B.

點評：借助立體幾何圖形，結合直觀想象，運用運動觀點、極限的思想去觀察、分析、處理問題，尋找立體幾何圖形中的極端位置，并結合此極端位置確定空間線面的位置關系、空間距離或空間角問題，可收到意想不到的效果.

四、根據直觀想象提供問題的解決條件

在處理一些相關問題時，如幾何概型的求解、函數的零點與方程的關系、平面幾何、空間幾何體的三視圖等相關問題，往往要作出相關的圖形，結合對應的圖形，通過直觀想象結合圖形的特征性質來分析與求解問題，為問題的解決提供條件.

例4 已知x1、x2分別是方程lgx=3-x和方程10x=3-x的一個根，則x1+x2=（ ）.

分析：直接根據題目條件中兩個方程分別求解x1、x2的值難度非常大，也無從下手.而結合函數與方程的轉化，通過直觀作圖，結合直觀想象，利用圖像的交點來解決就比較自然且易處理.

解析：令函數f（x）=lgx，函數g（x）=10x，函數y=3-x，作出相應函數對應的圖像，如圖4.

根據條件可知，x1就是函數f（x）=lgx與直線y=3-x的圖像的交點的橫坐標，x2就是函數g（x）=10x與直線y=3-x的圖像的交點的橫坐標.

又因為函數f（x）=lgx與g（x）=10x的圖像關于直線y=x對稱，直線y=3-x也關于直線y=x對稱，且直線y=3-x與前面兩個函數的圖像都只有一個交點，

從而這兩個交點關于直線y=x對稱，

圖4

所以根據中點的坐標公式可得x1+x2=3，故選B.

點評：利用圖像研究方程的根一般都是針對不需要或不能將根求出的題型，其基本思想是將判斷方程的根的個數問題轉化為判斷兩個函數圖像的交點的個數問題.而本題利用對數函數與指數函數互為反函數，其特征是對應的圖像關于直線y=x對稱，通過直觀想象，為解決問題提供條件，富有創新意識.

巧妙運用直觀想象，“以形助數”可以用來解決一些抽象的數學問題，可起到事半功倍的效果.根據數量與圖形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化并利用直觀想象來解決數學問題的一種重要思想方法，是中學數學核心素養中心之一，尤其在解決選擇題、填空題時發揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.F