圓錐曲線中兩垂直焦點弦的若干結(jié)論

☉湖北省武漢市新洲一中 吳正文

一、引例

（1）橢圓的離心率e=______；

（3）若AB與CD的中點分別記為M，N，則直線MN恒過定點______.

二、簡析

本題計算量較大，利用弦長公式求出|AB|與|CD|的表達式再結(jié)合單調(diào)性（或均值不等式）可以求出|AB|+|CD|的最小值為，故（1）與（2）得以解決，對于（3），則需求出直線MN的方程，進而發(fā)現(xiàn)它過的定點坐標，整個過程中注意到b2=1的特殊性，從而考慮到它的一般性是否成立.

三、探究

圖1

到這里，引例中的3個問題都得到了解決.而且我們也能得到下面的結(jié)論：

結(jié)論3：若AB與CD的中點分別記為M，N，則直線MN恒過定點

四、推廣

在拋物線y2=2px中，過焦點的兩條垂直相交弦AB與CD，有如下結(jié)論：

結(jié)論8：|AB|+|CD|≥8p.

結(jié)論9：若AB與CD的中點分別記為M，N，則直線MN恒過定點

五、結(jié)語

限于篇幅，上述對雙曲線與拋物線的證明過程都沒有給出來，感興趣的讀者可以驗證一下.至此，我們感嘆于圓錐曲線內(nèi)部的和諧與統(tǒng)一，同時也激起我們對未知領(lǐng)域的向往.我們相信如果能夠把這樣的一種追求與探索的情感融入到平時的教學(xué)中去，感染學(xué)生，使之成為他們學(xué)習(xí)與成長中的一道風景，幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的魅力所在.