四面體外接球半徑的常規求法

☉湖北省武漢市第四十三中學 盧 偉

近幾年來，隨著三視圖的引入，使得立體幾何客觀題的考查形式趨于多樣化，這其中表現突出的就是四面體外接球球心在哪里的問題.下面結合具體例題的分析，歸納，并得出結論，以期能夠對這一類問題有一個較為廣泛的認識.（以下例題均只求取四面體外接球的半徑R）

一、定義法

球心到球面上各點的距離相等，即為半徑.

下面通過對兩大類型的分析，從而確定相關特征的四面體外接球球心的位置.

第一類型：“垂直+條件”型（有一條側棱與底面垂直的四面體）

例1 在四面體S-ABC中，SA⊥平面ABC，△ABC為邊長是3的正三角形，且SA=6，求R.

解析：首先找到△ABC的外心G，作OG⊥面ABC，且使得OG=SA，則滿足條件的O即為該四面體外接球的球心，再取SA的中點M，連接OM，如圖1所示，經計算知R=2

圖1

例2 在四面體S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SC=2，求R.

解析：如圖2，易證BC⊥SB，由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半知SC的中點O即為球心，故R=1.（事實上，這里與例1的解題思想是一致的）

例3 在四面體S-ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，AB=AC=AS=2，求R.

圖2

小結：這3個例題都是屬于“垂直+條件”型的四面體外接球球心的問題.根據例1的作圖方式我們知道，關鍵是先找到底面△ABC的外心，這里是分別以特殊三角形（等邊三角形，直角三角形）與一般三角形（利用正弦定理）為背景，尋找突破口，則可以得到這類問題的統一計算公式.（這里r是底面三角形的外接圓半徑，b為垂線段AS的長）

第二類型：“等腰+條件”型 （定義一類特殊的四面體——等腰四面體：三條側棱相等的四面體）

例4 已知在四面體S-ABC中，SA=SB=SC=2，∠BAC=30°，BC=1，求R.

解析：我們知道等腰四面體頂點S在底面的射影是底面三角形的外心H，其外接球球心O一定在SH上，如圖3所示，經計算知

圖3

小結：這里對于△ABC的形狀的討論方式與類型是一致的，故可以得出統一公式（其中SA=m，r為△ABC的外接圓半徑）.

二、還原法

通過等價方式，將四面體的頂點還原到長（正）方體的頂點上去，從而確定其體對角線的中點即為球心.

下面再定義幾類特殊的四面體：

（1）直角四面體：有共頂點的三條棱兩兩垂直的四面體；

（2）對等四面體：三對對角線相等的四面體；

（3）正四面體：所有棱長相等的四面體.

例5 在四面體S-ABC中，SA、SB、SC兩兩垂直，它們的長分別為，2，3，求R.

圖4

小結：在四面體S-ABC中，SA、SB、SC兩兩垂直，它們的長分別為a，b，c，則

例6 在四面體S-ABC中，SA=BC=5，SB=AC=，SC=AB=，求R.

解析：如圖5所示，結合直角四面體的處理方式.

圖5

設長方體的長寬高分別為x，y，z知，

小結：在對等四面體中，SA=BC=a，SB=AC=b，SC=AB=c，則

例7 在棱長為4的正四面體S-ABC中，求R.

三、向量法

通過建系，寫出相關點的空間坐標，再結合兩點間的距離公式，回歸定義，即可求取R.這里給出例1的向量法過程.建立如圖6所示的空間直角坐標系知，A（0，0，0），BC（0，3，0），S（0，0，6）.

設球心O（x，y，z），半徑為R.

圖6

小結：向量法的過程較為直接，省去了傳統的分析過程，計算量不大，但前提是要方便建系，并且能夠寫相關點的坐標.

綜上，我們知道，關于四面體外接球球心的尋找過程是比較靈活多變的，至于方法的選用，就需要我們對已知條件進行準確的分析，合理的定位，或回歸定義，或等價還原，或規范建系，只有這樣，我們才能夠尋找到最優的解法.F