重問題內涵本質 促自然合理聯想——對2018高考江蘇卷第13題的探究與思考

☉江蘇省清浦中學 吳洪生 時坤明

2018高考江蘇卷第13題作為填空壓軸題，其內涵豐富、解法靈活，對考生數學能力的要求比較高.在重視考查基礎知識與通性通法的同時，著重考查學生對數學本質的理解，為引領高三復習教學起到了很好的導向作用.

一、試題呈現

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為______.

二、命題分析

本題以三角形為載體，立足三角形內角平分線，將條件轉化為三角形的兩邊a，c之間的關系，這樣就對三角形面積、三角形內角平分線性質定理、定比分點坐標公式的向量表示形式、三點共線的充要條件等進行較為全面的考查.試題定位在填空壓軸題，又將降元思想、二元變量最值求法、基本不等式等融入其中，意在提高問題的思維價值高度.試題形式簡潔，內涵豐富，區分度較好，為數學思維水平高的考生留足了思維馳騁的空間.

三、題源探尋

本題背景中，A，D，C三點共線，有關三點共線的性質，在蘇教版必修4第2.2.3節中有例4：在△OAB中，C為直線AB上一點

本題所求4a+c的最小值，在蘇教版必修5有相似背景：第3章復習題13.已知正數x，y滿足x+2y=1，求的最小值.

本題的高考原型有如下幾個：

原型1（2010全國Ⅱ卷理科第8題）在△ABC中，點D在AB上，CD平分∠ACB.若=a，=b，|a|=1，|b|=2，則=（ ）.

原型2（2015全國Ⅱ卷文科第17題）在△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，BD=2DC.

（2）若∠BAC=60°，求∠B.

原型3 （2012浙江卷文科第9題）若正數x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是（ ）.

原型4（2012蘇北四市三模第17題）如圖1，在C城周邊已有兩條公路l1，l2在點O處交匯，且它們的夾角為75°，已知OC=（+）km，OC與公路l1的夾角為45°.現規劃在公路l1，l2上分別選擇A，B兩處為交匯點（異于點O）直接修建一條公路通過C城OA=xkm，OB=ykm.

圖1

（1）求y關于x的函數解析式，并指出它的定義域；

（2）試確定點A，B的位置，使△OAB的面積最小.

四、解法探究

本題條件給出三角形內角平分線，這是解題的出發點與立足點；所求結論為4a+c的最小值，這是解題的歸宿.基于此，本題需要分兩步處理.第一步探尋a與c的關系：a+c=ac，這是解決問題的關鍵；第二步據此關系求最值.從不同的視角出發，第一步探尋a與c的關系有如下常見途徑：①從條件與圖形上看，首選面積法；②由三角形內角平分線的性質定理知，由定比分點坐標公式的向量形式或向量基本運算法則得兩邊平方或兩邊同乘B—→D均可得a+c=ac；③過D作DE∥BC交AB于E，則△BDE是邊長為1的正三角形，由平行可得a+c=ac；④針對特殊角還可建系，既可以BD所在直線為x軸，也可以BA或BC所在直線為x軸，方法靈活.第二步由a+c=ac求4a+c的最值，常有如下途徑：①將a+c=ac變形，用“1”的代換法；②將a+c=ac變形為代入4a+c，用降元法轉化一元函數或構造基本不等式；③換元法，令t=4a+c，則c=t-4a，再代入a+c=ac，轉化為關于a的二次方程，運用Δ≥0可得.

解法1：由等面積法得S△ABD+S△BDC=S△ABC，即sin120°，即a+c=ac，從而=1，

圖2

圖3

圖4

解法4：建立如圖4所示直角坐標系，則C（a，0），D（cos60°，sin60°），A（ccos120°，csin120°），

因為A，D，C三點共線，kAD=kDC，

五、變式拓展

變式1： 在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知∠ABC=120°，AC邊上的中線BD=1，求a+c的最大值.

變式2：在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知∠ABC=120°，點D滿足2，且BD=1，求a+c的最大值.

令a+c=t，把c=t-a代入（*）式用判別式法解決.

評注：2018江蘇高考13題→變式1→變式2，觀察點D的位置及比值的變化：將角平分線變為中線，再變為三等分點連線.不難發現問題的演變規律.

變式3：如圖5，在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知∠ABC=135°，BD、BE三等分∠ABC，且BE=1，則2a+c的最小值為______.

圖5

評注：變式3是將13題中的角平分線變為三等分角線，為方便運算將120°角改為135°角.

六、教學思考

本文選擇2018高考江蘇卷第13題，結合學生的認知情況、思維層次，運用一題多解、拓展變式的研究方法由表及里，由淺入深，對其進行了最大化的挖掘，力求做到以點窺面，全面提升學生的思維層次.通過對本題的探究，筆者有如下思考與感悟，簡稱為“四重視一追求”.

1.重視基礎吃透本質

新《課標》指出：要讓學生在數學學習中獲得必要的數學基礎知識和基本技能，理解基本的數學概念、數學結論的本質.在高三復習特別是一輪復習中要高度重視夯實基礎，對于像三角形內角平分線性質定理這樣的結論，盡管初高中教材均沒提及或者說不作要求，但在各類考試中頻頻出現，應用十分廣泛，如能合理使用，將會優化思路、簡化運算，起到事半功倍的作用.因此，高三復習教學應引導學生重視基礎、吃透本質，加強對數學本質的認識與理解，全面提高學生的數學思維能力.

2.重視運用通性通法

章建躍博士說：“通性”就是概念所反映的數學基本性質；“通法”就是概念所蘊含的數學思想方法.重視通性通法，就是要求學生在數學解題中養成從基本概念、基本原理出發，運用定理、公式等思考和解決問題的習慣，學會最基本的數學思考方法.例如：由4a+c的最小值，此類題有兩種常見思考方法：

①已知a，b，m，n，λ，μ，k∈R+，m，n，λ，μ，k為常數，且先變形，展開后利用基本不等式求最小值.

②已知a，b，m，n，λ，μ，k∈R+，m，n，λ，μ，k為常數，且=k，求ma+nb的最小值.這里只需由ma+nb=（ma+展開后即可利用基本不等式求最小值.

3.重視多解多變訓練

一題多解是指對同一問題從多個視角進行剖析、求解.如：本文對2018江蘇高考第13題給出了四種解法，各種解法既有板塊內的融合，也有自成一體.重視一題多解訓練，有利于開闊學生的思路，融合相關的知識與方法；有利于學生對問題進行多角度思考、多層次分析，形成廣闊的審題視角；有利于培養學生思維的發散性與靈活性.一題多變是指對一道題改變或部分改變其條件或結論，通過聯想、類比得到一系列新的題目.如：本文變式拓展給出了三種變式，對知識進行了縱引橫聯，拓展引伸.重視一題多變訓練有利于學生掌握數學知識及其內在的聯系；有利于提升學生的思維能力和創新能力.

4.重視總結勤于反思

“學而不思則罔，思而不學則殆”.反思是師生對教學實踐過程的再思考、再認識.重視總結與反思，有利于教師總結經驗教訓，進一步提高教學水平.有利于學生深化對知識的理解，提升思維能力；有利于改進方法，提高學習效率；養成對自己解題過程進行回顧和反思的習慣，有利于總結解題經驗、提煉解題方法、揭示數學思想，形成正確的解題觀.

5.追求自然合理聯想

對于數學問題的解決，學生常出現一聽就懂、一過就忘、一做就錯的現象.為什么會這樣？部分原因在于學生對問題解決方法的自然合理性沒有真正認識和把握，使得知識不能遷移.如何才能讓學生有自然合理的聯想呢？本文作了有益的嘗試.如：本題條件中給出了三角形的一條內角平分線，內角平分線（或中線或高）將三角形分割成兩個小三角形，聯想面積法自然合理.其次，由三角形內角平分線，聯想三角形內角平分線的性質當屬知識的自然遷移.再次，由A，D，C三點共線，聯想定比分點坐標公式的向量形式，進而將B—→D用B—→A，B—→C線性表示，也符合學生的認知結構，當然本題條件與結論中均未出現向量，讓學生聯想向量也是富有挑戰性的.也還可以從平幾知識出發，添置平行線得比例關系，進而有ac=a+c也符合學生的認知.得到ac=a+c后，求4a+c最小值，這屬于二元變量最值問題常見題型，在高考及各地?？贾袑乙姴货r，解法靈活多變.這樣的思維過程自然順暢，一氣呵成！