大學物理中微積分教學探討

薛劉萍　夏往所　王瑩　葉世旺

摘要：微積分在大學物理中有著廣泛應用，但對初學者來說比較困難。本文提供了一種更容易接受的教學過程，以便同學更好的體會和利用微積分思想。

關鍵詞：微積分；大學物理教學；物理模型

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）27-0191-02

物理課程在初中，高中以及大學中的體系基本一致，都是力熱光電四部分[1]。但隨著數學學習的進展，能夠解決的問題也發生變化，到了大學以后，由于高等數學中微積分的學習，大大拓展了處理物理問題的范圍，由最初的最特殊的情況過渡到一般情況。比如質點運動中勻速直線運動到現在的變加速曲線運動；由均勻電場和均勻磁場到不均勻電磁場。因此在大學物理學習中微積分很重要，但是由于同學掌握的不夠熟練或者對微積分的思想不夠理解，以致在解決物理問題時不能正確應用。如何建立物理模型，應用微積分寫出解析式的過程，對于初學大學物理的同學非常重要，但是也非常困難[2]。本文從基本定義出發，介紹了幾種不同情況下建立模型，寫出解析式的過程。

由于物理學研究的是最基本的運動規律，因此物理量在定義時只能針對最簡單、最特殊的情況。比如，在速度的定義是通過勻速直線運動；磁通量的定義是通過均勻磁場中的平面。對于一般較為復雜的情況只能選擇合適的微元，建立一個與定義基本一致的物理模型，才能寫出解析式進一步對物理量進行計算分析。以下以速度，磁通量以及帶電體的總電量計算為例介紹了一維，二維和三維空間中建立物理模型寫出相關解析式的過程。

一、速度

速度是通過平均速度進行定義的，即在質點經過Δt時間有位移Δ 時，平均速度為 = 。只有質點在做勻速直線運動時，其平均速度才是瞬時速度（簡稱速度）。質點在做變速曲線運動時，并不符合定義的過程。我們只有選擇微元，建立一個與定義相符的物理模型，才能寫出速度的解析式。定義中質點經過Δt時間有位移Δ 。我們對應選擇時間微元dt，有位移微元d 。

從圖1上可看出，曲線可以看成無數個一段段很短的直線首尾連接形成，在我們選擇位移d 后，這一位移微元就可以看成為直線運動；在dt時間微元中，質點雖然在做變速率運動，但由于時間極短，其速率變化量極小，因此可以近似看成勻速率運動。因此在t到t+dt時間段，質點在做著勻速直線運動，其平均速度就是瞬時速度。這樣我們就利用dt和d 微元，將變速曲線運動，簡化為勻速直線運動的迭加。由定義可寫出其速度為 = 。

二、磁通量

磁通量是通過面積上的磁感應線條數。由于磁感應線的定義是垂直磁感應線方向上單位面積磁感應線的條數表示磁感應強度 的大小。從定義上我們也只能對均勻磁場中平面的磁通量直接進行分析。在均勻磁場中，磁感應線也均勻分布，其磁通量可以寫為Φ= · 。若是不均勻磁場中的曲面，我們需要將其簡化成符合定義的情況，即通過選擇微元，獲得均勻磁場中的平面。與圖1類似，一個曲面也可以看成無數個極小的平面組合而成，又由于平面極小，其上的磁場即使分布不均勻，各處差別也很小，因此我們也可以看成是均勻分布的，這樣不均勻磁場中的曲面問題就簡化成均勻磁場中的平面，與定義中的情況相符。

由以上分析可見，我們選擇面積微元d ，如圖2，此面積微元就是平面，且磁場分布均勻，符合定義情況，即可寫出面積微元d 上的磁通量為dΦ= ·d ，整個曲面的磁通量為每個面積微元d 上的磁通量之和，解析式為Φ= ·d 。

三、電荷數

程守洙主編的《普通物理學》第七版[3]中習題7-18中出現帶電球體密度為ρ=kr，式中r是徑向距離k是常量。在利用高斯定理求球外的電場強度時需要求小球的總電量。

由電荷體密度求解電荷總量的問題，在定義中也只能針對均勻分布的情況，總量等于密度與體積的乘積。而本題中電荷并非均勻分布，無法直接求解。但是我們發現體密度只和半徑有關。因此可以選擇體積微元，如果其半徑變化極小，我們就可以認為此微元的半徑是一常數，那么它的體密度就是均勻的?？梢岳枚x進行求解。

由圖3可見，我們取一個半徑在r到r+dr之間的球殼形狀體積微元。因為半徑變化dr是個極小值，我們近似的認為球殼微元的半徑均為r，體密度均為ρ=kr，大小不變，球殼微元中的電荷是均勻分布的。符合定義規定的情況。由定義知球殼上所帶電量為dq=ρdV，球上的總電量為每個微元上電量的總值，即

q= dq= kγdV。

微積分作為一種數學工具，可以幫助我們將一些復雜的物理問題簡單化。要用好微積分，不僅要熟悉它的數學計算，更重要的是對其物理含義的理解。這樣才能在相關物理量定義的基礎上建立模型，寫出解析式，求解相關問題。因此教學中應該注意要讓學生真正理解變量取微元的物理含義，培養學生的物理思維，才能形成自己的物理觀念。

作者經過多年教學發現，通過這種方法引入微積分，對于初次接觸并在初期進行多次強化，可以使同學對其的掌握情況大大改善，為以后的學習打下良好的基礎。

參考文獻：

[1]程守洙，等.普通物理學[M].北京：高等教育出版社，2016.

[2]歐聰杰.將微積分的思想融入大學物理教學[J].教育教學論壇，2014：2（6）.

[3]程守洙，等.普通物理學習題分析與解答[M].北京：高等教育出版社，2016：183-184.