普通物理力學易錯題剖析

摘要：力學是物理學專業學生學習物理的第一門專業基礎課，剛剛步入大學一年級的很多學生保持有中學的解題習慣，不能按照大學力學的要求進行解題，解題中出現這樣那樣的錯誤。教師有必要對學生出現的錯誤尤其是典型易錯題進行剖析，才能對癥下藥，幫助學生提高解題能力，進而學好力學。

關鍵詞：力學易錯題；剖析；思維方法；解題能力

中圖分類號：O31 文獻標志碼：B 文章編號：1674-9324（2018）39-0205-03

剛剛步入大學一年級的學生，對于力學的許多內容有“似曾相識”的感覺，不少學生保持有中學的解題習慣，不能按照大學力學的要求進行解題，解題中出現種種錯誤。教師有必要對學生在解題中出現的錯誤尤其是典型易錯題進行剖析，才能對癥下藥，幫助學生提高解題能力，并將力學概念、規律和思維方法，遷移到其他課程的學習中。因此，學好力學、順利地解題對于完成物理學專業的其他課程的學習可以打下良好的基礎。

一、質點運動學易錯題剖析

該部分教學在講述質點位置隨時間的變動時，需要引入矢量和微積分等數學工具。由于高等數學教學跟不上力學的進度，盡管筆者事先用2-3節課介紹微積分初步、矢量的基本概念和運算方法，但發現學生解題中容易將矢量和標量混淆，不習慣用積分解題，不會判斷物體運動的初始條件。

例：中學時曾學過v =v +at，s=v t+ at ，v -v =2as這幾個勻變速直線運動的公式，請指出在怎樣的初始條件下，可得出這幾個公式。

錯答：t=0時，v =v ，s=0

正確答：初始條件為t=0時，x=x ，v =v

分析：s是位移，s=x-x ，學生將位移s與位置坐標x 相混淆。

二、牛頓運動定律易錯題剖析

牛頓運動定律是研究質點運動狀態變化與質點受力的關系的關鍵，牛頓運動定律是經典力學的基礎，由它出發可導出動能定理、動量定理、角動量定理等，該部分許多內容學生在中學已學習過，但對牛頓定律及推導出的其他定理和相應的守恒定律成立的條件及慣性系、慣性力等概念認識模糊，成為教學難點，導致解題中出現很多錯誤。

例：雜技演員站在沿傾角為α的斜面下滑的車廂內，以速率v 垂直于斜面上拋紅球，經時間t 又以v 垂直于斜面上拋一綠球，車廂與斜面無摩擦。問兩球何時相遇。[1]

錯解：以豎直向上為y軸正向，以拋出紅球時為計時起點，對紅球有y =v t- gt

對綠球有y =v （t-t ）- g（t-t ）

分析：亂套勻變速直線運動公式。這里 方向與y軸方向不相同，學生不知道以車廂為非慣性系，引入慣性力的概念。

正確解：以車廂為參考系（非慣性系），車廂以加速度gsinα沿斜面運動，被拋小球除受重力外，還受一沿斜面向上的慣性力mgsinα；兩者合力大小為mgcosα，方向沿斜面垂直向下?？梢?，在車廂參考系中，小球沿“重力加速度”gcosα作上拋運動。以出手高度為坐標原點建立坐標系oy，以拋紅球為計時起點，對紅球有

y =v t- （gcosα）t

y =v （t-t ）- gcosα（t-t ）

兩球相遇時y =y ，解得相遇時間為t = + t

三、功和能易錯題剖析

功和能是標量，在該部分解題中學生出現的書寫錯誤較少，但對功和能的概念的理解認識模糊。解題中的難點問題是：變力做功和變質量的問題；質點系內力的功、勢能定義和勢能零點的選??；機械能守恒定律條件的判斷；碰撞問題的綜合運用。

例1：一同學對“二質點相距很遠，引力很小，但引力勢能大；反之，相距很近，引力勢能反而小?！毕氩煌?。如何解決這個疑難？

解析：由引力做功計算可得，引力勢能E =

-G +C，C為積分常數，取無窮遠處為引力勢能零點，即r→∞時E =0，則C=0，E =-G ，為負值。所以r越小，引力勢能E 越小。

例2：一鋼球靜止地放在鐵箱的光滑底面上，如圖所示。CD長l，鐵箱與地面間無摩擦。鐵箱被加速至v 時開始作勻速直線運動。后來鋼球與箱壁發生完全彈性碰撞。問碰后再經過多長時間鋼球與BD壁相碰？[2]

學生解題出現的問題有：

（1）以鐵箱為參考系，假設鐵箱質量M遠大于鋼球質量m，從而得到球與AC壁碰后彈回速度v ，進而求時間，這是錯誤的。因為對碰撞過程不能以鐵箱為參考系而認為動量守恒，鐵箱有加速度，不是慣性系，也不能自己附加條件M？垌m。

（2）有同學把鐵箱看成是靜止的，列等式：

0+mv =mv′ +0，得出v′ =v

這實際上也是以鐵箱為參考系，而且認為球在碰撞前后動量相等也是錯誤的。完全彈性碰撞滿足的一個規律是碰撞前后相對速度的大小不變，但相對速度的方向要發生變化的。

四、角動量易錯題剖析

該部分內容對學生來說，是全新的知識。難點問題主要是：矢量的叉乘；角動量守恒定律的判斷。學生對角動量錯誤的理解，諸如：

“一定質量的質點在運動中某時刻的加速度一經確定，則質點所受的合力就可以確定了，同時，作用于質點的力矩就被確定了?！盵3]

分析：力矩 = × 依賴于參考點的選取，M 依賴于OZ軸的選取，所以，在合力確定的情況下，力矩還不能確定。

“質點作圓周運動必定受到力矩的作用；質點作直線運動必定不受力矩作用。”

分析：不確定參考點或軸說力矩沒有意義。質點作勻速圓周運動，合力對圓心的力矩為零。質點作變速直線運動，合力對直線外一點的力矩不為零。

“質點系的動量為零，則質點系的角動量也為零；質點系的角動量為零，則質點系的動量也為零?！?/p>

分析：將質點系動量守恒和質點系角動量守恒的條件相混淆。例如，兩質點質量相同，運動速度大小相等，方向相反，且不沿同一條直線，則質點系的動量為零，但對任意參考點的角動量均不為零。若上述兩質點方向相同，其他條件不變，則質點系的動量不為零，但對兩質點連線中心的角動量為零。

例：宇宙飛船繞地球作圓周軌道飛行時，軌道半徑為R，飛行速率為v ，宇航員想把軌道改為經過B點的橢圓軌道，他在A點時，必須把飛船速率調整為v 的多少倍？[3]

學生沒有認識到將飛船速率調整后由A飛到B的過程中，除飛船對地心的角動量守恒外，還伴隨有機械能守恒（飛船與地球系統只有保守內力做功），少一個方程，因此不能求解。

正確解：以地球作為慣性系，飛船作圓軌道飛行時，有G =m

M和m分別為地球和飛船質量。當調整速率后飛船由A到B作橢圓軌道飛行時，若以地心為參考點，飛船所受外力矩為零，角動量守恒。則有Rmv =3Rmv

再以飛船、地球為研究對象，僅有保守內力作功，故機械能守恒。以飛船距地無窮遠時為引力勢能零點，則有 mv - = mv -

聯立上述三個方程，解得v = v

五、剛體力學易錯題剖析

該部分內容很多，既有許多新的概念和規律，又綜合運用了前面的知識，是力學課程中最為綜合的部分。學生習慣用質點運動學和動力學的知識求解，而在求解剛體有關問題時往往感到很困難。難點有：不會用定積分求解剛體的轉動慣量；對剛體平面運動看成平動和繞通過任意基點軸的轉動的合成理解模糊；有關剛體的其他問題：純滾動、質心運動加速度、剛體平面運動的動能、剛體定軸轉動問題的一題多解等。

例1：一質量均勻分布的細桿，質量為m，長為l，求其對通過桿中心的虛線軸的轉動慣量I。

分析：此題較簡單，但必須用定積分方法求解，學生不會建立恰當的坐標系，找出質量元，寫出dI表達式，對此題感到束手無策。

解：沿桿斜向上建立X軸坐標和質量元，如圖所示，

dI=r dm=（xsinα） dx

對上式兩邊積分，注意積分變量上下限為- ， 。

例2：固定斜面傾角為θ，質量為m半徑為R的均質圓柱體沿斜面向下作無滑滾動，求：圓柱體質心的加速度a 及斜面作用于柱體的摩擦力F。[1]

學生出現的錯誤有：不知道圓柱體作平面運動，認為摩擦力F=μmgcosθ；建立方程時少一個無滑滾動的條件a =Rβ。

解：根據質心運動定理， + + =M

在斜面上建立直角坐標O—xyz，則Wsinθ-F=ma

利用對質心軸的轉動定理，有FR=Iβ= mR β

圓柱體作無滑滾動時，a =Rβ，解以上方程，得a = gsinθ F= mgsinθ

六、簡諧振動和簡諧波易錯題剖析

力學中的簡諧振動是最基本的振動，掌握簡諧振動的規律是研究波動的基礎。本部分難點主要有：確定初相位；用動力學方程（解析法）和X—t圖線及旋轉矢量（幾何法）表達簡諧振動；用簡諧波的一般表達式寫出波動方程。

例1：作簡諧振動的物體，由平衡位置向x軸正向運動，試問經過下列路程所需的最短時間各為周期的幾分之幾？（1）由平衡位置到最大位移處；（2）由平衡位置到A/2處；（3）由A/2處到最大位移處。[4]

學生把質點的簡諧振動當作是平均用時，因此，不加思索地得出答案：（1）T/4 （2）T/8 （3）T/8

正確解：按題意作如圖所示的旋轉矢量圖，平衡位置在O點。

（1）由平衡位置到最大位移處，圖中的旋轉矢量從位置1到位置3，故Δφ1=π/2則所需時間間隔：Δt =Δφ /ω=T/4

（2）由平衡位置到A/2處，圖中旋轉矢量從位置1到位置2，有Δφ =π/6，則所需時間：Δt =Δφ /ω=T/12

（3）由A/2處到最大位移處，圖中旋轉矢量從位置2到位置3，有Δφ =π/3，則所需時間：Δt =Δφ /ω=T/6

例2：如圖所示為一平面簡諧波在t=0時刻的波形圖，求該波的波動方程。[5]

學生解此題時的錯誤有：認為初相位為零；不知道用簡諧波的一般表達式表示該波的波動方程；不會用旋轉矢量或解析法求初相位。

解：由圖可知振幅A=0.04m，波長λ=0.40m，波速u=0.08m·s-1，則ω=2π/T=2πu/λ=（2π/5）s-1

根據旋轉矢量法分析，知φ=-π/2

因此波動方程為y=0.04cos t- - （m）

七、結論

綜上所述，分析學生在力學解題中出現的種種錯誤，其原因是從高中到大學的學習臺階大，適應不了大學的教學方法，對概念和規律的形成方法不清楚，死記硬背結論，亂套公式。為此，教師在教學中要深入了解學生的基礎，加強學生學習方法的引導和物理學思維方法的教學，注意與中學物理知識的銜接，不能脫離學生的實際把大學力學內容直接“灌輸”給學生。對概念、規律的形成及思維方法要求學生盡可能地用簡潔準確的語言、公式、圖像表示出來。布置作業時不要貪多而要求精，注意題型的多樣化，既要有檢驗學生基礎知識的一些理論性題目，還要有理論聯系實際的生活原題，使學生充分了解問題情境，活學活用知識，培養分析問題、解決問題的能力。

參考文獻：

[1]漆安慎，杜嬋英，包景東.力學（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]管靖，張英，楊曉榮.力學（第2版）學習指導書[M].北京：高等教育出版社，2009：85.

[3]焦夢周.普通物理力學習作課指導[M].北京：北京師范大學出版社，1993.

[4]樊麗娟.馮云光.旋轉矢量在簡諧振動和簡諧波問題中的應用[J].銅仁學院學報，2013，（6）：163-164.

[5]馬文蔚.物理學（第5版）習題分析與解答[M].北京：高等教育出版社，2006：232-233.