發展學生幾何直觀能力的舉措與案例分析

王蓉

[摘 要] 本文通過增加學生實驗操作的機會、幾何與代數融合、培養學生積累分析基本圖形的經驗等方面的內容，對如何培養初中生幾何直觀能力進行了詳細的思考.

[關鍵詞] 初中數學；幾何直觀能力；途徑

用通俗的語言來解釋幾何直觀這一數學領域當前的熱門名詞就是：看圖說話與講理. 幾何直觀能夠使學生在復雜數學問題的思考中將問題處理得更加簡明和形象，甚至直接預測出問題的結果. 著名數學家徐利治教授曾經表達過喜歡直觀的數學，他認為能把定理的直觀含義與證明方法的直觀思路搞清楚、弄明白，就意味著真正的掌握了. 由此可見，數學教學中對學生進行幾何直觀能力的培養對于學生來說極為重要. 幾何直觀在初中數學教學中的應用能很好地幫助邏輯思維尚未成熟的初中生更好地理解與學習數學. 那么，教師在日常教學中應該怎樣對學生的幾何直觀能力進行培養呢？具體途徑有哪些呢？

增加實驗操作，培養學生積累活動的經驗

數學學習雖然有諸多方法，但不同的內容卻需要適合的方式進行呈現，才會取得令人滿意的效果. 教師在教學中應根據教學內容與學生已有經驗盡量多地創設一些科學的實驗操作，讓學生在實驗操作的活動探索、交流、猜測以及論證中獲得更加深刻的學習體驗.

例1 矩形和菱形的教學.

矩形教學是在學生已經具備相關平行四邊形知識的基礎上進行的，教師可以首先要求學生在預習環節利用硬紙板制作一個邊能轉動的平行四邊形，然后在課堂教學中引導學生將平行四邊形的一個角轉成90°后對手中四邊形的形狀是否發生變化進行觀察. 在學生操作、觀察的同時適時引導學生思考，并與學生一同小結矩形的概念和性質：矩形的四個角都是直角. 經過一定的實驗、操作與觀察，學生很快就可以得出矩形的對角線是相等的. 在這一性質的基礎上進行進一步推理可以得到矩形的性質定理——矩形是一個擁有兩條對稱軸的軸對稱圖形，對邊中點的連線所在的直線就是其對稱軸.

菱形的學習可以在平行四邊形的制作中使其四條邊的長度相等，然后類似進行教學.

例2 折疊中的無理數.

教學伊始，首先請學生取出課前準備好的A4紙，并根據教師的要求進行折疊. 第一步，如圖1，沿∠ADC的平分線進行折疊，使點A落在DC邊上并記作F，將折痕線段記作DE，點E在A4紙的長邊上；第二步，如圖2，經過點D繼續翻折紙，使點E在DC邊上.

分析 這是學生親手實踐操作的兩個簡單案例，學生在自己的操作與探究活動中很快展現出濃厚的學習熱情，學生的各種感官都被充分調動起來了，并開始了愉快而積極的數學體驗.

幾何與代數的整合

二元一次方程組與兩直線交點間的聯系、實數與數軸間的對應、乘法公式的幾何推導、函數圖像與方程等代數與幾何相互整合應用的案例比比皆是且耳熟能詳，代數問題很多時候給學生繁難且抽象的感覺，但幾何圖像的直觀性卻能在很大程度上使其難度與抽象度大大降低.

例3 求滿足1

相當一部分學生解決此類絕對值不等式問題時會表現出思維定式的缺陷，常常會將其轉化為不等式組x-1>1，x-1<4 后進行求解，教師在此類問題的解題教學中可以這樣設計教學過程（如下）.

師：看到這種絕對值不等式問題，大家會聯想到哪些知識呢？絕對值的概念大家還記得嗎？我們首先將數軸畫一下，請大家結合數軸來思考x-1具有怎樣的幾何意義（如圖3）.

生1：x-1表示的應該是x和點1在數軸上的距離.

師：那1

生2：1

師：大家結合原不等式組的幾何意義，在數軸上找一找符合條件的整數吧.

生3：符合條件的整數x有-1，-2，3，4.

分析 教師關注學生幾何直觀的培養，應注重數學核心內容的理解這一基礎. 本案例中絕對值概念的復習使學生自然能夠聯想、思考絕對值概念所具備的幾何意義，數學問題的解決因此變得直觀而簡便，一些不必要的分類討論與復雜計算也因此得到了有效避免，代數問題因此得到了圖形化的直觀展示，學生頓覺難度降低的同時也能掌握數學問題解決的又一種方法.

培養學生積累分析基本圖形的經驗

任何一個幾何圖形一般來說都會包含幾個基本圖形，學生在接觸幾何數學問題時，如果能夠在自己的觀察、發現以及分析中快速在復雜圖形中找出其中的子圖形，那這一幾何問題的解決也就相對容易了許多. 因此，教師在日常教學中應注重學生觀察、分析幾何圖形能力的培養，使學生能夠在復雜幾何圖形中很快剝離出其中所包含的子圖形以解決問題. 比如，教師在相似三角形的教學之后就應有意識地引導學生發現、歸納“一線三等角”型常見基本圖形（如圖4），這種引導訓練能使學生在以后的幾何解題中很快尋得突破.

例4 如圖5，E為四邊形ABCD中AB邊上不與A，B重合的任意一點，分別連接ED，EC，則可將四邊形ABCD分成三個三角形. 當其中兩個三角形相似時，E就可以稱作四邊形ABCD中AB邊上的“相似點”；當這三個三角形都相似時，E就可以稱作四邊形ABCD中AB邊上的“強相似點”.

（1）如圖5，若∠A=∠B=∠DEC=45°，那么點E是四邊形ABCD中AB邊上的相似點嗎？為什么？

（2）在如圖6所示的網格中，每個小正方形的邊長都是1，A，B，C，D四個點都在格點上，你能在圖中畫出矩形ABCD中AB邊上的強相似點嗎？

（3）將圖7中的矩形ABCD沿CM折疊，并使點D落在AB邊上的點E處，如果點E正好是四邊形ABCD中AB邊上的一個強相似點，你覺得AB和BC間存在怎樣的數量關系呢？

這一問題考查的主要知識點為相似三角形中“一線三等角”的應用. 如果學生對圖4中幾個基本圖形的掌握和應用都比較有心得，那他們在審題、觀察圖形并略作思考之后便能“一眼定乾坤”了，問題的解決自然也會更加簡便與明了. 由此可見，基本圖形的學習與經驗積累對于學生幾何直觀能力的培養來說是一個極為有效的途徑. 因此，教師在平常的教學中應該為學生基本圖形的學習與經驗積累創造更多的機會. 教師可以引導學生在課堂上、作業中以及課外閱讀時養成對圖形觀察、思考與總結的意識與習慣，長期的積累往往能在學生頭腦中形成一套待用的基本圖形庫. 學生面對問題時，在圖形庫中進行積極的信息調動，也正是對自身幾何直觀能力的鍛煉. 長期的積累，催生學生解題能力的提升，也實現了由量變到質變的學習遷移.

不過，培養學生幾何直觀能力也不是一件一蹴而就的事，教師在日常教學中應經常進行有意義的設計與反思，使學生能夠在教師的精心設計、引導與啟發中不斷觀察、操作與歸納，逐步提升自己在復雜圖形中的分析能力.