對平均數(shù)概念的深度挖掘與應用

楊金花

[摘 要]平均數(shù)是一個數(shù)學基礎概念，學生很容易通過公式掌握其求法，但要深入理解卻非常困難。在平時的測驗以及運動比賽中，學生常會體驗到“超常發(fā)揮”和“發(fā)揮失常”這兩種狀態(tài)，而超常與失常就意味著與平均水平做對比。教師可借由非正常水平成績來深度挖掘平均數(shù)概念，這樣學生理解起來也就輕而易舉了。

[關(guān)鍵詞]平均數(shù)；潛在概念；應用

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）23-0033-01

一、平均數(shù)的常規(guī)教學

教師在引入平均數(shù)概念時，常從一些重復性、隨機的事件開始，每次事件統(tǒng)計出的數(shù)據(jù)具有相關(guān)性，要么相近，要么在一個恒量附近波動。具體如下：

問題：哪一組的射擊水平高？

實驗模型的設計初衷是為了展現(xiàn)平均數(shù)的含義。

學生比較兩組運動員射擊水平的思路通常為以下兩種：

思路一：個體成員之間的水平比較，單獨較量。比如A得分為13，B得分為6，A的水平高。

思路二：比較成員相同的數(shù)組的總分。比如甲組兩名隊員的得分為10分和13分，乙組兩名隊員的得分為11分和10分。13+10>11+10，甲組總分高，水平高。

事實上，當每組成員（或樣本總量）不同時，通過比較總分確定水平高低已經(jīng)失去公平性和科學性，此時為了更好地揭示各組的整體水平，應采取平均數(shù)。

二、挖掘平均數(shù)概念的內(nèi)涵

通過教師的引導，學生能夠歸結(jié)出平均數(shù)概念的基本屬性：（1）它刻畫的是整體水平；（2）它是虛擬數(shù)據(jù)，是一個參數(shù)。

為了使學生的概念學習更加完整和連貫，教師教學平均數(shù)概念時應該重點強調(diào)以下內(nèi)容：因為是參數(shù)，所以平均數(shù)不是直接可測可知的，需要將已知數(shù)據(jù)進行一定運算才能得出，也就是總數(shù)除以份數(shù)，損有余、補不足；因為只有平均數(shù)這個參數(shù)才能代表整組數(shù)據(jù)的水平，所以在比較兩組數(shù)據(jù)的優(yōu)勢時，需要計算平均數(shù)。

正確的教學應該這樣推進：從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，充分挖掘平均數(shù)的概念內(nèi)涵；從概念內(nèi)涵中衍生出數(shù)學統(tǒng)計概念；從數(shù)學統(tǒng)計概念中推導計算方法；最后總結(jié)出解決問題的實際操作方案。

目前教材設計理念中，直接讓學生在應用與計算中學習概念，這樣的概念學生不會留下深刻的印象，沒有經(jīng)歷建構(gòu)知識的過程，得到的是固化、死板的概念模型，學習效果差強人意。

三、對平均數(shù)概念的深度挖掘與應用

學生的生活中有平均數(shù)嗎？他們在生活中注意過平均數(shù)嗎？從何處下手挖掘平均數(shù)的概念？經(jīng)過篩選和提煉學生的日常用語，筆者發(fā)現(xiàn)有三個詞語特別值得注意，那就是超常發(fā)揮、正常發(fā)揮和發(fā)揮失常。這三個詞語在評議考試或競賽成績時出現(xiàn)頻率很高。筆者發(fā)現(xiàn)，這三個日常用語可以反映統(tǒng)計學中的整體水平高低。于是，筆者選取了一分鐘踢毽子數(shù)來構(gòu)筑平均數(shù)的概念。

材料：四年級毽子興趣社團社員小明一分鐘踢毽子個數(shù)為（單位：個）：59，63，64，66，63，69。如果繼續(xù)踢2分鐘，小明大約可以踢多少個？

問題1：有位同學寫了“120個”，又覺得不對，大家猜猜這是為什么？

問題2：有位同學回答“138個”，隨即也否定了，這又是為什么？

問題3：請大家一起分析，小明2分鐘踢毽子多少個比較合理？

對于問題3，學生的回答有以下三種情況：

（1）126個。因為每分鐘踢毽子63個出現(xiàn)次數(shù)最多。

（2）118個。雖然每分鐘63個的次數(shù)最多，但是水平太低，低水平不如高水平。

（3）128個。不低不高，正好。

問題4：有的同學認為每分鐘是“64個”。可是小明踢了幾個回合，都沒有踢出“64個”這個成績來，這個數(shù)據(jù)是否缺乏事實依據(jù)？

問題5：“64個”是沒有踢出過的成績，它與其他數(shù)據(jù)有什么關(guān)系？

關(guān)系一：（59+63+64+66+63+69）÷6=64（個）。

關(guān)系二：（59+63+64+66+63+69）=64[×]6。

結(jié)論：“64”就隱藏在這些數(shù)據(jù)之間，它能代表這些數(shù)據(jù)的整體水平。

經(jīng)歷了五個問題的探究過程后，學生對平均數(shù)的理解是曲折的。沒有踢出的成績，卻恰好代表整體穩(wěn)定的水平，這成為爭論的焦點。而這種矛盾沖突正是引發(fā)學生深入探究的動機。這樣教學，事半功倍。

（責編 黃春香）