對平均數概念的深度挖掘與應用

楊金花

[摘 要]平均數是一個數學基礎概念，學生很容易通過公式掌握其求法，但要深入理解卻非常困難。在平時的測驗以及運動比賽中，學生常會體驗到“超常發揮”和“發揮失常”這兩種狀態，而超常與失常就意味著與平均水平做對比。教師可借由非正常水平成績來深度挖掘平均數概念，這樣學生理解起來也就輕而易舉了。

[關鍵詞]平均數；潛在概念；應用

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）23-0033-01

一、平均數的常規教學

教師在引入平均數概念時，常從一些重復性、隨機的事件開始，每次事件統計出的數據具有相關性，要么相近，要么在一個恒量附近波動。具體如下：

問題：哪一組的射擊水平高？

實驗模型的設計初衷是為了展現平均數的含義。

學生比較兩組運動員射擊水平的思路通常為以下兩種：

思路一：個體成員之間的水平比較，單獨較量。比如A得分為13，B得分為6，A的水平高。

思路二：比較成員相同的數組的總分。比如甲組兩名隊員的得分為10分和13分，乙組兩名隊員的得分為11分和10分。13+10>11+10，甲組總分高，水平高。

事實上，當每組成員（或樣本總量）不同時，通過比較總分確定水平高低已經失去公平性和科學性，此時為了更好地揭示各組的整體水平，應采取平均數。

二、挖掘平均數概念的內涵

通過教師的引導，學生能夠歸結出平均數概念的基本屬性：（1）它刻畫的是整體水平；（2）它是虛擬數據，是一個參數。

為了使學生的概念學習更加完整和連貫，教師教學平均數概念時應該重點強調以下內容：因為是參數，所以平均數不是直接可測可知的，需要將已知數據進行一定運算才能得出，也就是總數除以份數，損有余、補不足；因為只有平均數這個參數才能代表整組數據的水平，所以在比較兩組數據的優勢時，需要計算平均數。

正確的教學應該這樣推進：從學生已有的生活經驗出發，充分挖掘平均數的概念內涵；從概念內涵中衍生出數學統計概念；從數學統計概念中推導計算方法；最后總結出解決問題的實際操作方案。

目前教材設計理念中，直接讓學生在應用與計算中學習概念，這樣的概念學生不會留下深刻的印象，沒有經歷建構知識的過程，得到的是固化、死板的概念模型，學習效果差強人意。

三、對平均數概念的深度挖掘與應用

學生的生活中有平均數嗎？他們在生活中注意過平均數嗎？從何處下手挖掘平均數的概念？經過篩選和提煉學生的日常用語，筆者發現有三個詞語特別值得注意，那就是超常發揮、正常發揮和發揮失常。這三個詞語在評議考試或競賽成績時出現頻率很高。筆者發現，這三個日常用語可以反映統計學中的整體水平高低。于是，筆者選取了一分鐘踢毽子數來構筑平均數的概念。

材料：四年級毽子興趣社團社員小明一分鐘踢毽子個數為（單位：個）：59，63，64，66，63，69。如果繼續踢2分鐘，小明大約可以踢多少個？

問題1：有位同學寫了“120個”，又覺得不對，大家猜猜這是為什么？

問題2：有位同學回答“138個”，隨即也否定了，這又是為什么？

問題3：請大家一起分析，小明2分鐘踢毽子多少個比較合理？

對于問題3，學生的回答有以下三種情況：

（1）126個。因為每分鐘踢毽子63個出現次數最多。

（2）118個。雖然每分鐘63個的次數最多，但是水平太低，低水平不如高水平。

（3）128個。不低不高，正好。

問題4：有的同學認為每分鐘是“64個”。可是小明踢了幾個回合，都沒有踢出“64個”這個成績來，這個數據是否缺乏事實依據？

問題5：“64個”是沒有踢出過的成績，它與其他數據有什么關系？

關系一：（59+63+64+66+63+69）÷6=64（個）。

關系二：（59+63+64+66+63+69）=64[×]6。

結論：“64”就隱藏在這些數據之間，它能代表這些數據的整體水平。

經歷了五個問題的探究過程后，學生對平均數的理解是曲折的。沒有踢出的成績，卻恰好代表整體穩定的水平，這成為爭論的焦點。而這種矛盾沖突正是引發學生深入探究的動機。這樣教學，事半功倍。

（責編 黃春香）