探尋數(shù)字背后意蘊(yùn)發(fā)展整體結(jié)構(gòu)思維

劉秀紅

[摘 要]結(jié)構(gòu)化思維能讓人更有效地利用數(shù)學(xué)思維的方式去思考和解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。“用數(shù)對(duì)確定位置”是一種科學(xué)性知識(shí)，是一種人為性的規(guī)定，教師可引領(lǐng)學(xué)生探尋隱藏在規(guī)定背后的數(shù)學(xué)意義和價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的曼妙，發(fā)展合情推理的能力，學(xué)會(huì)透過(guò)簡(jiǎn)潔看結(jié)構(gòu)，從而推動(dòng)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的發(fā)展。

[關(guān)鍵詞]整體性；一一對(duì)應(yīng)；數(shù)形結(jié)合；合情推理；結(jié)構(gòu)性

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2018）26-0020-03

結(jié)構(gòu)化思維對(duì)幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、完善學(xué)習(xí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，將課程目標(biāo)細(xì)化、串聯(lián)、落實(shí)在具體的教學(xué)情境中，以及提高學(xué)生的分析、認(rèn)知和表達(dá)等能力，形成核心思考能力有著重大影響。 “用數(shù)對(duì)確定位置”的教學(xué)目的是，讓學(xué)生會(huì)用數(shù)對(duì)表示某個(gè)具體位置，探尋這“冰冷”規(guī)定背后的意蘊(yùn)；讓學(xué)生構(gòu)建知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的曼妙，培養(yǎng)合情推理的能力，學(xué)會(huì)透過(guò)簡(jiǎn)潔看結(jié)構(gòu)。如果數(shù)字背后沒(méi)有聯(lián)系，知識(shí)就是零散的；如果數(shù)字背后沒(méi)有思想，規(guī)定就是冰冷的；如果數(shù)字背后沒(méi)有方法，學(xué)習(xí)只能是一種沉重的負(fù)擔(dān)；如果簡(jiǎn)潔背后沒(méi)有結(jié)構(gòu)， 簡(jiǎn)潔只不過(guò)是一種形式。下面就以蘇教版教材四年級(jí)下冊(cè)“用數(shù)對(duì)確定位置”的教學(xué)為例，談?wù)勅绾胃鶕?jù)數(shù)字探尋規(guī)則背后的意蘊(yùn)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維。

一、數(shù)字背后有聯(lián)系，打通聯(lián)系成整體

數(shù)學(xué)知識(shí)體系是按照知識(shí)之間的內(nèi)部聯(lián)系組成的邏輯結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)從整體結(jié)構(gòu)入手，尋求內(nèi)容間的內(nèi)在聯(lián)系， 把握這種聯(lián)系所構(gòu)成的知識(shí)體系， 并把這種體系遷移到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，使知識(shí)系統(tǒng)化、條理化、結(jié)構(gòu)化， 從而促進(jìn)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的發(fā)展。

例如，教學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“用數(shù)對(duì)確定位置”時(shí)，教師串通了小學(xué)各年級(jí)間有關(guān)確定位置之間的聯(lián)系，引領(lǐng)學(xué)生回顧一、二年級(jí)學(xué)習(xí)過(guò)的“確定位置”，依托已有經(jīng)驗(yàn)，提煉出數(shù)字背后的規(guī)則，明晰只要弄清前后左右和上下之間的先后順序，制定統(tǒng)一的規(guī)則，就能準(zhǔn)確確定位置，激發(fā)學(xué)生猜想今天學(xué)習(xí)的“確定位置”又有怎樣的規(guī)則，提高學(xué)生探究規(guī)則的興趣，讓學(xué)生體會(huì)確定位置的學(xué)習(xí)方法的一致性和簡(jiǎn)潔性。

【教學(xué)片段1】

生3：一年級(jí)學(xué)的只有1排，現(xiàn)在不只1排了，必須要說(shuō)第幾排第幾個(gè)才能確定位置。

生4：剛才是在一條線上確定位置，現(xiàn)在是在一個(gè)平面上確定位置，要用2個(gè)數(shù)字。

師：是的，在一個(gè)平面上確定物體的位置，得用兩個(gè)數(shù)字來(lái)確定。第“2”和第“3”是按怎樣的規(guī)則數(shù)的？

生5：“2”表示排，“3”表示個(gè)。

生6：“排”是從前往后，或是從下往上數(shù)的；“個(gè)”是從左往右數(shù)的。

師：是的，無(wú)論在一條線上，還是一個(gè)平面上，確定物體位置時(shí)都得先確定規(guī)則，否則大家表述位置的結(jié)果都不相同。這節(jié)課我們繼續(xù)探尋確定位置中數(shù)字背后的規(guī)定。

這樣的教學(xué)，將教學(xué)起點(diǎn)前移，讓知識(shí)間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系不僅植根在教師心中，同時(shí)也建構(gòu)在學(xué)生的知識(shí)體系中，讓學(xué)生建構(gòu)新知有了基架。

【教學(xué)片段2】

師：通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，你覺(jué)得確定一個(gè)物體的位置需要幾個(gè)數(shù)？這其中的規(guī)定是什么？

生1：我覺(jué)得確定一個(gè)物體的位置可能需要1個(gè)數(shù)，也可能需要2個(gè)數(shù)。當(dāng)只有1行或只有1列時(shí)，就是在一條線上，只需要1個(gè)數(shù)；如果在一個(gè)面上就需要2個(gè)數(shù)，可以用數(shù)對(duì)表示，前一個(gè)數(shù)表示列，后一個(gè)數(shù)表示行。

生2：如果只有1行時(shí)，也可以看成在一個(gè)平面上用數(shù)對(duì)表示出來(lái)，只是這個(gè)數(shù)對(duì)的后一個(gè)數(shù)總是1。

師：真了不起，你打通了線和平面之間的關(guān)系。如果只有1行或1列時(shí)，簡(jiǎn)單的確定位置的方法只要1個(gè)數(shù)。看來(lái)確定一個(gè)位置，有時(shí)需要1個(gè)數(shù)，有時(shí)需要2個(gè)數(shù)，那么有時(shí)可能需要……數(shù)對(duì)的世界很奇妙，歡迎大家去探秘。

這課前、課中和課后的靈活“打通”，讓一節(jié)課往前走一步，向后拉一步，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體性，起到既見樹木又見林的功效。

二、數(shù)字背后有思想，領(lǐng)悟思想促發(fā)展

1.數(shù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)是本質(zhì)

無(wú)論是一維空間還是二維空間， 數(shù)與點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)性 （即一個(gè)數(shù)或數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)著空間中的一個(gè)點(diǎn)，反之，空間中的每個(gè)點(diǎn)也只能用唯一的數(shù)或數(shù)對(duì)表示）是用數(shù)對(duì)確定位置的本質(zhì)。例如，數(shù)對(duì)與座位也是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在用數(shù)對(duì)表示自己的座位時(shí)，如果某個(gè)人的位置是固定的， 則描述這個(gè)人位置的方法應(yīng)該是一樣的。這個(gè)“一一對(duì)應(yīng)性”讓學(xué)生體會(huì)到“數(shù)學(xué)規(guī)定”雖然是人為規(guī)定， 但有它的必要性和合理性， 大家都必須認(rèn)可并遵守這個(gè)合理的數(shù)學(xué)規(guī)定， 否則一切就混亂了。

【教學(xué)片段3】

師：剛才大家用數(shù)對(duì)表示了自己的座位，也讓小伙伴們根據(jù)數(shù)對(duì)猜到了自己的朋友。想一想，我們班級(jí)中會(huì)有兩個(gè)人的座位是用同樣的數(shù)對(duì)表示的嗎？

生1：不會(huì)。如果是同樣的數(shù)對(duì)，那這樣一個(gè)座位上得坐兩個(gè)人了。

生2：每個(gè)數(shù)對(duì)只能對(duì)應(yīng)著一個(gè)人，每個(gè)人也只能有一個(gè)座位，這樣才很有秩序，不會(huì)亂。

在教學(xué)由一個(gè)象限向其余三個(gè)方向延展時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)想象“在二維方向標(biāo)（也就是直角坐標(biāo)系）中，每個(gè)點(diǎn)都可以用數(shù)對(duì)表示嗎？”歸納數(shù)對(duì)的“數(shù)學(xué)規(guī)定”， 激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探究知識(shí)的欲望。

【教學(xué)片段4】

師：按這個(gè)思路繼續(xù)思考，這是學(xué)校的東北角（圖略），還有東南角，如果往下畫，還有西南角，能不能用數(shù)對(duì)表示這些點(diǎn)的位置？往左呢？你想說(shuō)什么？

生1：這個(gè)好像我們二年級(jí)學(xué)過(guò)的方向標(biāo)，分為東、南、西、北四個(gè)區(qū)域，那每個(gè)區(qū)域中的點(diǎn)的位置應(yīng)該都可以用數(shù)對(duì)表示。

師：看來(lái)，對(duì)于方格圖，我們想畫多大就能畫多大。請(qǐng)大家閉眼想象一下，這個(gè)方格圖上任何一點(diǎn)的位置是不是都可以用數(shù)對(duì)來(lái)表示？反過(guò)來(lái)，任何一個(gè)數(shù)對(duì)是不是都可以在這個(gè)方格圖上找到一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)？這很像將來(lái)咱們要學(xué)習(xí)到的直角坐標(biāo)系。

學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，猜想這個(gè)平面中的每個(gè)點(diǎn)應(yīng)該都可以用一個(gè)數(shù)對(duì)表示，雖不明白具體用什么數(shù)對(duì)表示，但一一對(duì)應(yīng)的思想已經(jīng)初步形成。

2.數(shù)形結(jié)合巧滲透

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門學(xué)科，而數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法 ，其實(shí)“數(shù)對(duì)”就是中學(xué)所說(shuō)的坐標(biāo)，而“列”和“行”就是直角坐標(biāo)系的雛形，它們架起了數(shù)與形的橋梁，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)進(jìn)行了有機(jī)的鋪墊。教學(xué)中，教師將人物圖抽象為點(diǎn)子圖，再將點(diǎn)子圖抽象為方格圖， 滲透“數(shù)形結(jié)合”思想，孕伏“坐標(biāo)”知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

【教學(xué)片段5】

師：如果我們把每個(gè)同學(xué)都看成一個(gè)點(diǎn)，閉上眼睛想象一下，這幅圖（圖略）變成什么樣了？

師（出示圖3）：睜開眼睛看看，這樣的一個(gè)平面圖和你想的一樣嗎？你還能在點(diǎn)子圖中找到數(shù)對(duì)（4，2）所表示的點(diǎn)嗎？

師：沒(méi)想到這簡(jiǎn)單的數(shù)對(duì)背后居然還有這么多門道。

三、數(shù)字背后有推理，合情推理提能力

數(shù)學(xué)，無(wú)論是它自身的產(chǎn)生與發(fā)展， 還是對(duì)于它的認(rèn)知與應(yīng)用， 推理無(wú)不伴隨始終。因此，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育的一種核心價(jià)值取向。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)特別指出：應(yīng)將推理能力的發(fā)展貫穿于學(xué)生整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中。而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，猜想和推理是一對(duì)孿生兄弟，隨時(shí)都會(huì)同時(shí)出現(xiàn)在一個(gè)問(wèn)題中?！坝脭?shù)對(duì)確定位置”這節(jié)課中，數(shù)對(duì)確定位置的方法是一種規(guī)則，如果采用“告訴”的方式教學(xué)，就會(huì)使學(xué)生的學(xué)習(xí)處于“接受”狀態(tài)。如果讓學(xué)生經(jīng)歷用“符號(hào)”來(lái)表示第幾行和第幾列，并討論不同方法的優(yōu)劣這一再創(chuàng)造的過(guò)程，對(duì)于熟悉了“先行后列”數(shù)法的學(xué)生來(lái)說(shuō)是有一定困難的。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生從猜想規(guī)律開始，逐步根據(jù)提示進(jìn)行推理，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)和研究的熱情，促進(jìn)學(xué)生推理能力的提升。

【教學(xué)片段6】

生1：從遺傳學(xué)的角度看，我覺(jué)得是第4排第2個(gè)，因?yàn)楹芷痢?/p>

生2：聽說(shuō)成績(jī)很棒，我覺(jué)得是從上往下數(shù)的第1行的第5個(gè)。

生3：只要是女孩都有可能，這樣的猜測(cè)好像“大海撈針”，得有點(diǎn)提示。

師：行。在數(shù)學(xué)上，她在這幅圖中的位置表示為（4，2），把數(shù)字4和2用逗號(hào)隔開，外面加括號(hào)表示一個(gè)整體，可以讀作數(shù)對(duì)4、2，也可以直接讀成4、2。現(xiàn)在，你能找到她的位置嗎？

生4：還是不能確定究竟是哪一個(gè)，但范圍比剛才縮小了。

師：老師只有一個(gè)孩子，而且她的位置在數(shù)學(xué)上的確可以用數(shù)對(duì)（4，2）來(lái)表示，為什么你們找出了四個(gè)孩子呢？在小組里交流你的想法。

小組1：這里的4和2，哪一個(gè)是指豎排，哪一個(gè)是指橫排，沒(méi)說(shuō)清楚。豎排時(shí)，究竟是從左往右數(shù)，還是從右往左數(shù)，也沒(méi)說(shuō)清。橫排時(shí)，究竟是從上往下數(shù)，還是從下往上數(shù)，也沒(méi)說(shuō)。

小組2：這數(shù)字背后的規(guī)則不清楚。

師：看來(lái)，僅僅知道數(shù)對(duì)還不夠，我們還得了解這個(gè)數(shù)對(duì)背后隱藏的一系列規(guī)則。

師：老師的孩子的好朋友，在圖中可用數(shù)對(duì)（2，1）表示。現(xiàn)在你能確定哪一個(gè)才是老師的孩子嗎？ 同桌兩人交流自己思考的過(guò)程。

（學(xué)生在交流中明晰列和行的確定以及數(shù)對(duì)（4，2）背后的規(guī)則）

學(xué)生在經(jīng)歷了兩次猜想后，逐步縮小答案的范圍，教師再根據(jù)給定孩子的位置和數(shù)對(duì)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)推理，自主探究，得出數(shù)字背后的規(guī)則。在這樣的過(guò)程中，學(xué)生的推理能力得到了進(jìn)一步的培養(yǎng)，而這種“以假設(shè)為導(dǎo)向——如果她朋友的位置是（2，1），以事實(shí)為依據(jù)，以邏輯為紐帶”，學(xué)生根據(jù)給定數(shù)進(jìn)行遷移、思考、推理的思考問(wèn)題的方式，正是結(jié)構(gòu)化思考問(wèn)題的重要方式。

四、數(shù)字背后有簡(jiǎn)潔，透過(guò)簡(jiǎn)潔見結(jié)構(gòu)

教學(xué)“用數(shù)對(duì)確定位置”后，很多教師都引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)用數(shù)對(duì)表示位置的簡(jiǎn)潔性，感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。但這里有比“簡(jiǎn)潔”更重要的是這種表示方法的統(tǒng)一性和結(jié)構(gòu)性：所有人都這樣表示，有了這種表示的統(tǒng)一性， 就不會(huì)產(chǎn)生分歧， 便于溝通和交流。如果這里的簡(jiǎn)潔只是書寫上的簡(jiǎn)單，而從學(xué)生思維的角度思考，特別是對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)，這其實(shí)并不簡(jiǎn)潔，反而是更復(fù)雜，因?yàn)閷W(xué)生已有的思維習(xí)慣是先行后列，而數(shù)對(duì)表示的數(shù)的第一個(gè)是列而不是行。

因此，筆者在引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)用數(shù)對(duì)確定位置優(yōu)越性時(shí)，讓學(xué)生不僅能體會(huì)到簡(jiǎn)潔性，更懂得這種表示的統(tǒng)一性和結(jié)構(gòu)性價(jià)值要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于簡(jiǎn)潔性， 因?yàn)檫@種表示 （小學(xué)階段用在一維、二維、三維空間） 還可以進(jìn)一步遷移到球面空間……

綜上，探尋隱藏在數(shù)字背后規(guī)定的數(shù)學(xué)意蘊(yùn)和價(jià)值，不能局限于表面規(guī)定的接受，而要讓學(xué)生知道數(shù)字背后有聯(lián)系，明白數(shù)字背后有思想（重視思想促發(fā)展），經(jīng)歷數(shù)字背后有推理（合情推理提能力），理解數(shù)字背后有簡(jiǎn)潔（透過(guò)簡(jiǎn)潔見結(jié)構(gòu)），真正讓學(xué)生觸摸數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的魅力，讓學(xué)生在有意義的學(xué)習(xí)中發(fā)展結(jié)構(gòu)化思維，并讓其成為一種思考的自覺(jué)。然而，結(jié)構(gòu)化思維的培養(yǎng)不是一蹴而就的，和吹拉彈唱相似，也是需要每天練習(xí)的，既然如此，教師就應(yīng)該根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，科學(xué)地引導(dǎo)學(xué)生每天練習(xí)，做學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的引路人，讓他們?cè)诿刻斓木毩?xí)中習(xí)得方法，學(xué)會(huì)有條理地分析和利用結(jié)構(gòu)化思維解決問(wèn)題。

（責(zé)編 金 鈴）