基于數形結合的乘法分配律錯例分析

唐明

[摘 要]在教學“乘法分配律”時，教師往往關注的是乘法分配律的外形結構，缺乏對其內隱的數學本質的挖掘。教師要以直觀、具體的形式呈現學生的錯例，結合學生已有的活動經驗，便于學生理解算理、建立模型，促進學生解決問題能力與運算能力共同提高。

[關鍵詞]數形結合；乘法分配律；錯例

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）26-0023-03

教材四年級下冊“運算定律”這一單元，總能聽到很多教師抱怨：“學生怎么就找不到乘法分配律中的公因數呢？”“三個數、四個數連乘，肯定是用乘法交換律或是結合律，這些孩子怎么會用上乘法分配律呢？”“學完整個單元后，學生出現的錯誤簡直五花八門，一片混亂。”……

除了五條基本運算定律外，連減、連除的簡便計算以及加減、乘除的靈活應用等相關內容也被編排在“運算定律”這一單元。整個單元知識點系統全面，但對于四年級的學生來說，卻具有一定難度，其中的乘法分配律似乎成了學生很難跨越的“坎”。

從上表可以看出，與其他只包含單一運算的運算定律和性質相比，乘法分配律含有乘法與加法兩種運算，思維含量較高。同時，乘法分配律與乘法結合律在形式上最為相似，也給學生造成一定的干擾。如果只重視乘法分配律外在形式的識記與模仿，忽略對其本質意義的理解，學生自然會出現（a×b）×c=（a+b）×c、（a+b）×c= a×c+b之類的錯誤。

當學生出現錯誤時，如果能結合具體的情境，將直觀的形與抽象的數一一對應，將有助于學生深刻理解乘法分配律的內在本質，從而有效建構抽象的運算律。

【錯例一】（提取練習）38×36+64×38

分析：從乘法分配律的字母表達式來看，其應用是雙向的。從左往右看，從（a+b）×c到a×c+b×c是分解式思維；從右往左看，a×c+b×c到（a+b）×c是提取式思維。“從左往右”的應用符合學生的認知習慣，“從右往左”則讓一些學生如同霧里看花。

對策：

師（出示：401班為38名女生統一購買表演服裝，其中上衣36元，裙子64元，一共花了多少錢？）：你能列出算式嗎？

生1：38×36+38×64，38×36表示38件上衣的總價，64×38表示38條裙子的總價，再把它們加起來，就是一共花的錢數。

生2：我覺得這樣計算比較麻煩。上衣和裙子都要買38件，可以先算“一套衣服的價格”，再乘38。列式為（36+64）×38。

師：這是生活中常見的購物問題，雖然兩個算式“長”得不一樣，但都能解決這個數學問題。

生3：38×36+38×64=（36+64）×38，這就是運用了乘法分配律。

生5：我覺得36和38很接近，他是不是搞不清哪個才是公因數？

生6：這可以和剛才的買衣服問題聯系起來，只不過64和38調換了位置，相當于運用了乘法交換律。

生7：我建議在觀察算式后，把38圈起來，這樣就不會錯了。

生8：38×36可以理解為36個38，64×38可以理解為64個38，這樣一共是（36+64）=100個38，怎么可能是102個36呢？

【錯例二】 （對比練習）25×44

分析：簡便計算本身就是一個開放的思維過程。25×44，既可以把44拆成40和4的和，運用乘法分配律，也可以把44看作4和11的積，運用乘法結合律。正因為方法的不唯一，有些學生就會張冠李戴、混淆不清。

對策：

師（出示圖4）：這樣計算對嗎？

生1：44應該是40和4相加，不是相乘。

生2：如果將兩個數相乘，變成三個數連乘，應該把44看成4和11相乘，見25“想”4，25×4的積再乘11，結果應該是1100。

生3：這是把乘法分配律和乘法結合律混在一起了。

師（出示：在廣場表演中，有44支隊伍，每支隊伍25人，一共有多少人？）：這道題可以列式為“25×44”嗎？

生4：列式正確。“一共有多少人”就是求44個25是多少，所以用乘法計算。

師：在三年級學習“兩位數乘兩位數”時，我們借助點子圖來理解算理。今天計算“25×44”，我們也在點子圖上圈一圈、分一分，感受不同的算法。

學生出錯在所難免，但即使出現錯誤，也要錯得明明白白。教師要在生活中尋找與運算定律相關的素材，從圖形出發，以圖形為載體，注重數形結合，在數形中加深學生對意義的理解，多維度促進學生對乘法分配律意義的建構，從而幫助學生理解并靈活應用運算定律。

（責編 金 鈴）