高中數(shù)學(xué)的常見最值問題

云南省玉溪市民族中學(xué) 浦同貫

一、不等式最值問題

分析：靈活應(yīng)用“1”的代換。在不等式解題過程中，常常將不等式“乘以1”“除以1”，或?qū)⒉坏仁街械哪硞€常數(shù)用等于1的式子代替。本例中可將分子中的1用“x+2y”代替，也可以將式子乘以“x+2y”。

∴當x=4,y=12時,x+y取最小值16。

本題給出了三種解法，都用到了基本不等式，且都對式子進行了變形，配湊出基本不等式滿足的條件，這是經(jīng)常使用的方法，要學(xué)會觀察，學(xué)會變形。另外，解法2通過消元，化二元問題為一元問題，要注意根據(jù)被代換的變量的范圍對另一個變量范圍給出限制。

基本不等式的功能在于和與積的互化，應(yīng)用基本不等式求最值時，一定要注意“一正、二定、三相等”的條件，實際解題時主要技巧是“拆項”“添項”“配湊因式”。

二、平面向量最值問題

若條件中能找到兩條互相垂直的直線，則可以以這兩條直線為坐標軸建系，用一個變量表示點的坐標，再將目標表示為此變量的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題。

例3 （1）若正方形ABCD的邊長為1，點P在線段AC上運動，

分析：在解答此道題目時，以A為原點，以邊AB所在的直線為坐標軸，建立直角坐標系，則A（0，0），B（1，0），C（0，1）。設(shè)P（x，x）（0≤x≤1），則

（2）平面向量α，β（α≠0，α≠β）滿足|β|=1，并且α與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是_________。

坐標法思路清晰，但當要求的變量較多時，問題往往轉(zhuǎn)化為條件最值問題，此類需要較強的運算能力，而基底運算是坐標法參數(shù)較多時的另一選擇。利用向量的概念、運算的幾何意義，構(gòu)造圖形解決問題，這也是命者的源頭，所以往往能事半功倍。

三、立體幾何最值問題

例4 棱長為2cm的正方體容器盛滿水，把半徑為1cm的銅球放入水中剛好被淹沒，然后再放入一個鐵球，使它淹沒水中，要使流出來的水量最多，這個鐵球的半徑應(yīng)該為多大？

解：過正方形對角線的截面圖如圖所示，

例5 （1）三棱錐P-ABC中，若棱PA=x，其余棱長均為1，探討x是否有最值；（2）若正三棱錐底面棱長均為1，探討其側(cè)棱否有最值。

解析：如圖，（1）當P-ABC為三棱錐時，x的最小極限是P、A重合，取值為0，若△PBC繞BC順時針旋轉(zhuǎn)，PA變大，最大極限是P，A，B，C共面時，PA為菱形ABPC的對角線，長度為若P在底面的射影為O，易知PO越小，側(cè)棱越小。故P、O重合時，側(cè)棱取最小極限值PO無窮大時，側(cè)棱也無窮大。可知兩題所問均無最值。

例6 在棱長為1的正方體ABCD-EFGH中，P是AF上的動點，則GP+PB的最小值為_______。

解：以A為坐標原點，分別以AB、AD、AE所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則B（1，0，0），G（1，1，1）。根據(jù)題意設(shè)P（x，0，x），則那

變量分析法是我們要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，在幾何體中的點、線、面中，哪些在動，哪些不動，要分析透徹，明白它們之間的相互關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化成求某些線段或角等一些變量的求解最值問題的方法。

在解題時，通常應(yīng)注意分析題目中所有的條件，首先應(yīng)該在充分理解題意的基礎(chǔ)上，分析是否能用公理與定義直接解決問題；如果不能，再看是否可將問題條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)，若能寫出確定的表示函數(shù)，則可用建立函數(shù)法求解；再不能，則要考慮其中是否存在不等關(guān)系，看是否能運用解不等式法求解；還不行，則應(yīng)考慮是否可將其立體圖展開成平面圖，這樣依次從本文所標定的方法順序思考，必能找到解題的途徑。

四、解析幾何最值問題

例7 l1：4x-3y+11=0和直線l2：x=-1，拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和l2的距離之和的最小值是____________ 。

解：動點P到l2：x=-1的距離可轉(zhuǎn)化為PF的距離，由圖可知，距離和的最小值，即F到直線l1的距離：

分析：圓錐曲線的定義刻畫了動點與定點（或定直線）距離之間的不變關(guān)系，利用這種不變關(guān)系，化動為靜，即可很快解決問題。此種題型多以選擇題或填空題出現(xiàn)，關(guān)鍵要對曲線定義及曲線幾何性質(zhì)等概念理解透，用得活，一般來說，涉及焦半徑、焦點弦的最值問題可考慮利用圓錐曲線的定義去研究解決。

例8 已知圓O：x2+y2=1，圓C：（x-4）2+（y-4）2=1，由兩圓外一點P（a，b）引兩圓切線PA、PB，切點分別為A、B，滿足|PA|=|PB|。

（1）將兩圓方程相減可得直線方程l：x+y-4=0，該直線叫作兩圓的“根軸”，試證點P落在根軸上；

（2）求切線長|PA|的最小值。

（3）給出定點M（0，2），設(shè)P，Q分別為直線L和圓O上動點，求|MP|=|PQ|的最小值及此時點P的坐標。

解：（1） |PA|=|PB|，|PO|2=|PC|2，a2+b2=（a-4）2+（b-4）2a+b-4=0，

即點P（a，b）落在根軸l：x+y-4=0上。

（2）|PA|2=|PO|2-1=a2+b2-1=a2+（4-a）2-1=2a2-8a+15=2（a-2）2+7，

（3）作M（0，2）關(guān)于直線l： x+y=4的對稱點N，求得N（2，4），連接NO，則NO分別與直線l、圓O的交點即為使|PM|+|PQ|的值最小的點P、Q。

證明如下：

在l上任取不同于點P的點P1，連接P1O交圓O于Q1，則：

下求|PM|+|PQ|的最小值及點P的坐標：

分析：有些最值問題具有相應(yīng)的幾何意義（如求分數(shù)最值聯(lián)想到斜率公式，求平方和最值聯(lián)想到距離公式，平面中兩點之間線段最短等等），若能恰當?shù)乩闷鋷缀我饬x，則可數(shù)形結(jié)合，或者將圖形局部進行轉(zhuǎn)化，使最值問題得以求解。

五、導(dǎo)數(shù)中的最值問題

例 9 已知函數(shù)f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求f（2）的值。

（1）當a＝-3，b＝3時，f′（x）＝3x2-6x+3＝3（x-1）2，

顯然，當x≠1時，f′（x）＞0，所以x＝1不是極值點。

（2）當a＝4，b＝-11時，f′（x）＝3x2+8x-11＝（3x+11）（x-1），

當x＞1時，f′（x）＞0，∴x＝1是極小值點。

由（1）（2）知，a＝4，b＝-11，f（x）＝x3+4x2-11x+16，

∴ f（2）＝ 18。

分析：本題求出a，b的值后，如不對點x=1兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號進行檢驗，就易出現(xiàn)增根，導(dǎo)致解答看似完美，實則錯誤。因此，在求出導(dǎo)數(shù)為0的點后，一定要對該點（駐點）兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號做進一步研究，才能確定是否是極值點。 因此，導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點，可導(dǎo)函數(shù)在某點處取得極值的充要條件是其導(dǎo)數(shù)在極值點的兩側(cè)異號。

（1）不等式恒成立問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解；

（2）方程的解可轉(zhuǎn)化為圖像交點問題，圖像零點問題也可轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)問題，這些問題可利用導(dǎo)數(shù)，通過研究函數(shù)的極值或最值求解。

函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)時，函數(shù)的單調(diào)性、極值問題常化為二次函數(shù)的根的討論問題，如“函數(shù)有無極值或有極值時應(yīng)滿足的條件”化為“二次函數(shù)有無實根或有實根時應(yīng)滿足的條件”，也有化為“二次函數(shù)的根的分布問題”。解題時應(yīng)注意，當導(dǎo)函數(shù)的判別式等于零時，導(dǎo)函數(shù)雖然有根，但導(dǎo)函數(shù)在除該點外的其他點的函數(shù)值是同號的，則函數(shù)在該點處仍無極值。