淺談雙(多)變元最值問題的求解策略

江西省南昌市第十五中學 (330000)

龍光鵬

近年來高考、數學競賽中常常出現含有雙(多)變元最值問題，該問題的結構復雜，涉及知識面廣，求解技巧性強，思維靈活性高.解決雙(多)變元最值問題的思路是洞察問題的特點，抓住問題的本質，采用降變元的思路，突破難點.本文歸納了九種雙(多)變元最值問題的求解策略，供參考.

一、等量代換、函數特性

例1 (2017年全國高中數學聯賽A卷)若實數x,y滿足x2+2cosy=1，求x-cosy的取值范圍.

點評：由已知條件轉化等量代換，消去其中一個元，利用函數特性求解范圍.

二、對稱思想

點評：本題巧用對稱思想，消去其中一個元，針對于代數式為對稱式的情形，采用此種方法能取得事半功倍的效果.

所謂對稱式，即將代數式中的字母對調后所得的代數式與原代數式相等，那么在求解對稱式的最值問題時，可以令“地位相同”的字母相等達到“減元”的目的，使得表達式簡單求出最值.

三、判別式法

點評：針對一些具有特殊形式的代數式的取值范圍，可以采用判別式法求解.

四、構造換元

例4 已知變量x,θ都在R上變化，求

圖1

五、三角換元

例5 (2015年福建省高考題)已知a>0,b>0,c>0，函數f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4.

(Ⅰ)求a+b+c的值；

解析：(Ⅰ)a+b+c=4；

點評：用三角函數代替問題中的字母，再利用三角函數的性質求解，構思巧妙，別具一格，簡明流暢.

六、巧構向量

點評：向量是代數、幾何的銜接橋梁，很多問題引入向量以后，利用相應的性質會使得題目求解過程煥然一新.

七、線性規劃

圖2

八、拉格朗日數乘法

點評：拉格朗日數乘法實際是通過求多元函數極值點的方法求函數最值.

九、反客為主

例9 已知拋物線y=x2+ax+b，存在實數|x0|≥3，使得x0+ax0+b=0，求a2+4b2的最小值.

點評：對于一類含參方程f(a,x)=0，自變量x被限定了范圍的問題，我們通常采用反客為主的解題思路，將a當做主元來求解，會使得求解過程簡明易懂.

思路決定出路，思維的高度決定解題的廣度，縱觀上述例題發現雙(多)變元的最值問題，其涉及面廣，綜合性強、背景新穎、靈活多樣，解題策略較多，滲透了多種數學思想方法.貫穿不等式、三角、函數、方程、導數、向量、數列、高數等知識的內在聯系，總結出解題規律，對于探求解題方法大有益處.