基于“概念邏輯關系”建立的數學教學研究

☉江蘇省連云港市海州區教研室 張才寶

在教學法研究范疇，邏輯是對數學思考的思考，概念邏輯關系的建立是通過原型定向、數學思考、問題解決和審美移情等邏輯行為實現的，涉及概念獲得、概念保持、概念使用和概念遷移等內驅邏輯因素（具體見圖1）.在初中階段，概念邏輯關系的建立，有助于學生對數學概念、數學公式、數學法則的理解與把握，有助于“扣好”概念思維的“扣子”，有助于“帶得走”課堂目標的實現，進而落實數學“關鍵能力”的培養和數學“必備品格”的養成.

本研究以江蘇省“基于《伴你學》提高學習力”的數學專題研討活動中開設的“9.4-1乘法公式”觀摩課為思想承擔體，突出概念關系的形成、使用與解釋，終于課程“過程目標”的有序實現及“態度目標”的無意識變遷.

圖1

一、原型定向，概念邏輯關系建立的先行組織

在數學概念邏輯關系研究范疇，“原型定向”起于概念先行組織行為，終于概念邏輯關系的建立，終歸于數學核心素養的定向層級.在加里培林和安德森研究的基礎上，我國教育心理學家提出心智技能形成三段論，即原型定向、原型操作和原型內化.而原型定向是程序性知識獲得的必經途徑，反映數學概念的程序邏輯，是數學基本活動經驗獲得的思維支點（如圖1），其實現效應受先行組織行為的支配與調節，因此，在一定層面來說，原型定向的本身就是一種先行組織行為.從數學內部關系建立的“算理性情境”和從數學外部關系建立的“關系性情境”，都是原型定向的可靠路徑.

在邏輯模式論研究范疇，原型定向階段就是使主體掌握程序性知識階段，相當于加里培林的“活動定向階段”，也就是將一類專家頭腦中觀念的、內潛的、簡縮的經驗“外化”為物質的、外顯的、展開的“心理模型”的過程.換句話說，就是將專家頭腦中的經驗內化為學生頭腦中的心智技能，變成學生經驗世界的組成部分.數學概念、公式、法則等程序性知識的習得，就是原型得以定向的具體表現.《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準》）在課程設計層面，重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程.這就要求數學課堂教學必須從學生的經驗世界出發，通過原型定向，還原概念的心理原型，揭示概念的發生、發展與生長等“合適應性”特征，為此必須做好三個維度的概念邏輯關系建設工作.一是基于數學內部邏輯關系，確證算理邏輯關聯；二是基于數學外部邏輯關系，建立原型范式邏輯；三是基于系統概念邏輯，建設先行組織經驗反應塊，終于概念一般邏輯關系的形成與把握，發展數學建模核心素養課程目標.

概念邏輯關系建立清樣1：執教者在探索蘇科版七年級數學“9.4-1乘法公式-完全平方公式”概念發生模塊時，就是通過先行組織行為，進行“原型定向”，建立概念的邏輯關系，終于概念的內源性獲得與理解.具體先行組織行為線索執行如下：首先，基于一個具有特殊意義的數字20012（執教者在2001年從A單位調動到B單位）引發原型定向行為，進而落實概念邏輯關系的建立，即讓學生通過“算一算”（有的從純粹的數字運算開始，有的從完全平公式開始，有的從多項式乘多項式開始），進而為“由特殊到一般”思想的滲透奠定概念的邏輯關系基礎；其次，讓學生通過計算（a+b）（a+b）與（a+b）（c+d）兩個具有“由特殊到一般”關系的多項式乘多項式，感知概念內在的聯系與區別，終于概念的邏輯關系得以本質性顯化，進而使得完全平方公式的模型得以初始建立；最后，讓學生通過拼圖（用1張a×a、2張a×b、1張b×b彩色紙片），借助從不同角度計算圖形的面積，直觀顯化完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2的“合規定性”，在類比算理的基礎上形成（a±b）2=a2±2ab+b2產生式（production），終于概念的邏輯關系建立.

一般來說，數學模式（mathematicalpattern）是按照某種理想化的要求，概括地表現一類事物關系結構的數學形式，帶有一意性、精確性和一定條件下的普適性及邏輯上的演繹性.數學概念、公式、法則是“一意性”“精確性”“普適性”“運演性”的組合體，是定向原型的表現，其本身就是一種可泛在的心理原型，帶有概念邏輯關系的屬性特征.就數學內部關系來說，概念、公式、法則等事實性概念帶有運演性和精確性特征；就數學外部關系來說，一意性和普適性是數學概念邏輯的本質屬性，是數學基本思想和基本經驗溶解的結果，反映普適性是概念構成的必要條件.在上述清樣1中，通過多項式乘多項式獲得完全平方公式的方法，就是基于數學內部關系建立概念邏輯關系的原型定向例子，反映數學概念的邏輯屬性；通過拼圖揭示完全平方公式的邏輯直觀，就是基于數學外部關系建立概念邏輯的具體表現，投射概念的數學化意義；“數字形態的完全平方公式→字母形態的完全平方公式→一般形態的多項式相乘”是由特殊到一般思想得以有序滲透的表現，反映概念的系統邏輯屬性和概念原型的本質，終于概念的獲得及原型定向的真正發生，實現讓學生經歷原型抽象的過程目標，這就是“精神胚胎”的生長.

二、數學思考，概念邏輯關系建立的思維基礎

在素養教育邏輯學范疇，數學思考是以“立德樹人”為課堂宗旨的思維活動形式，是數學基本思想獲得的一種邏輯途徑（如圖1），支配著審美課堂育人模式的轉變，是發展學生核心素養不可替代的途徑.基于這一認識，在數學課堂教學研究范疇，思考是比較縝密的思維活動，思維是在表象、概念的基礎上進行綜合、判斷、推理等認識活動的運演過程，因此數學思考有助于概念邏輯關系的建立，是數學思維邏輯連貫的心理前提.數學思考起于概念，成于邏輯，終于概念邏輯關系的建立，進而提高學生用數學的思維分析世界的能力，提升“想數學”的思維質量，增長學生思辨能力的發展指數.在愛因斯坦看來，獨立思考是創新的基礎.這就意味著思考是數學發明的關鍵，是知識獲得并保持的重點.如蘇霍姆林斯基認為的那樣，要培養孩子的智力，就得教思考.換句話說，獨立思考支配著知識獲得的質量.

思維是人類特有的一種具有普遍意義特征的精神活動，是從社會實踐中產生的.思考是數學思維著陸的邏輯形式，是數學概念建立的思維地基，實現數學思考目標的意義可見一斑.世界上很多國家的課程標準都把“數學地‘思考’”作為一個重要的過程屬性目標.《澳大利亞數學課程》文本從概念的邏輯關系出發，課程目標聚焦于培養逐步復雜的數學理解、邏輯推理、分析問題和解決問題技能.新加坡教育部公布的《初中數學教學大綱》文本中，把“發展數學思考和問題解決技能，應用這些技能公式并解決問題”作為數學課程的一項重要目標.在中國的數學《課程標準》文本中，把“數學思考”作為過程性目標的一個重要方面，包括學會獨立思考，體會數學的基本思想和思維方式.由于數學思考本身就是一種邏輯甚至是一種思想方法，因此概念邏輯關系的建立離不開數學思考的支配和支撐.這就要求在數學課堂教學中，必須做好三個維度的“數學地”思考工作：一是用表象思維引領知識質量的保持；二是用概念思維促進邏輯關系一致性的建立；三是借助逆向思考，培養學生的邏輯思辨能力，終于概念邏輯關系的確立與建設.

概念邏輯關系建立清樣2：執教者在探索“完全平方公式”的形成和發展范疇時，就是通過數學思考，達成概念邏輯關系建立的思維目標的.包括：概念符號語言特點的揭示、概念的文字語言表征、概念的整體邏輯秩序及概念的適應性類比使用等.具體邏輯思考秩序簡概如下.首先，讓學生指出完全平方公式的結構特征（有的從“=”兩邊的項數看，左邊2項，右邊3項；有的從符號看，左邊是用“±”連接的，右邊是分別用“±”“+”連接的；有的從文字語言表述看，兩數和的完全平方等于兩數的平方和與兩數積的2倍的和），并通過“口訣”提高學生認識概念的形式邏輯，即“首平方加尾平方，積的2倍放中央，積的符號看前方”.其次，讓學生通過逆向思考感知概念間的邏輯關系，包括兩種范式：一是類比公式形式邏輯，寫一個可以使用完全平方公式的算式，并基于數學內部算理邏輯，給出范式性答案（這一模塊是研究者自己添加的，目的在于發展學生的元認知邏輯理序）；二是設計一道簡單的使用完全平方公式解答的填空題，突出逆向思考能力的培養目標，在交流合作中提高概念邏輯關系的信度；最后是讓學生站在“整體思想”的角度，認識概念邏輯關系的可拓展性（三個數和的完全平方應該等于什么？你是怎么知道的？如何使用整體思想？如果使用“-”連接，其結果怎樣呢？舉一個可以使用這類公式的例子），進而發展概念的使用范疇，反映數學思考的順應性，揭示完全平方公式的一般性和普適性及可泛在性.

目前，中國基礎教育課程改革正處于以“德美同行”為宗旨，以發展學生的“核心素養”為目標，以實現課堂轉型為重點的“再出發”階段.這里的宗旨、目標及重點都是一種邏輯概念，而數學思考是概念邏輯關系建立的執行對象，因此數學思考的目標指向概念邏輯關系這一思考對象，促進了學生數學地思考，包括數學地“做”、數學地“想”和數學地“說”等一般邏輯思考范式.在上述清樣2中，“研討公式特點”的行為就是建立表象思維邏輯關系的一個具體表現形式，有助于概念概括邏輯特征的揭示；“類比寫→逆向填→確立框架”是建立概念邏輯關系的通用技術，反映數學思考的“可補償”屬性，發展了學生的元認知水平；使用“整體思想”及組合適配性“思維塊”，有助于概念邏輯關系的一致性建立，反映概念思維的知覺性和一般性，揭示概念邏輯關系的可連貫性及數學思考的邏輯性與數學思維的變遷性，促進了知識的保持與銜接.

三、問題解決，概念邏輯關系建立的方法和路徑

“問題解決”是西方數學教育的另一個現代思想，包括發現和提出問題、分析和解決問題及遷移問題、變遷問題甚至是審美問題.提出問題是人的創造性思維的開始，從這個意義上講，提出問題比解決問題更重要.這也是我們要保護學生問題意識的一個重要原因.但是問題解決本身并不能開發學生的問題意識.適應性整合教材，站在系統論、學段論的高度，設置和學生知覺水平一致的“問題反應塊”“概念銜接塊”，在經歷使用概念的問題解決中深度理解概念，進而建立概念之間的內部邏輯關系，這才是有效解決問題的邏輯方法和思維路徑.當然，概念的邏輯關系的建立不是一兩節課就能解決的，而是長期“使用教材+研究教材”的結果形態.借助多角度研究同一個問題的不同側面，引導學生感受數學的整體性，體會對于某些數學知識可以從不同角度加以分析、從不同的層次進行理解，從而生長數學概念的理解能力，包括“做一題、通一類、連一片”的問題解決邏輯目標，這是一種很好的適配思維途徑.如人本主義心理學家馬斯洛的觀點，學習具有發自內心的生長潛力，教師的任務不只是教學生知識，更重要的是為學生設置良好的學習情境，讓學生自行學習.換句話說，就是問題解決支配著概念邏輯關系建立的水平，問題解決的方法和路徑影響概念實施的忠誠度，其中包括概念邏輯關系的信度和效度.

在數學概念邏輯學研究范疇，美國學者Mc Naught等使用“實施忠誠度”（implementation fidelity）的概念進行了教材使用研究.簡單地說，就是使用者大多程度上忠實于教材原意進行教學，包括內容忠誠度和表達忠誠度，而這些實施忠誠度的大小取決于問題解決的思維效應，影響概念邏輯關系的建立及其思維方法的配屬性.因此問題解決支配教材的使用高度和概念使用的系統力.舉一反三、聞一知十、道生無限都是問題解決有效的具體表現，而“舉一反一”“舉一反零”則是問題解決低效、無效的表現.也就是說，只為“得個答案”的問題解決，只能讓學生獲得一些雜亂無章的零散知識，只有建立邏輯概念關系的問題解決，才能實現概念的類化與遷移目標.這也是課程專家反對“教教材”（表達忠誠度偏低）、倡導“用教材”（內容忠誠度較高）及提出“問題串”的微言大義.數學《課程標準》在“問題解決”維度，強調從數學的角度發現問題和提出問題，獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題的多樣性，發展創新意識，初步形成評價與反思意識.毋庸置疑，“問題”“方法”“創新”“評價反思”都是較高忠實于教材的表現，是概念邏輯關系得以建立的思維操作.這就要求在概念邏輯關系建設中，必須做好三個維度的問題解決工作：一是提出問題，發展概念邏輯類化能力；二是還原問題，揭示“知其然，知其所以然，以及知其所不然”的概念邏輯目標；三是整編問題，投射數學整體思想的實施忠誠度，反映問題解決方法路徑的逆向性，有助于層次性概念的有序遷移.

概念邏輯關系建立清樣3：執教者在執行“乘法公式”使用概念模塊教學時，就是基于問題解決，讓學生在提出問題、還原問題及整編問題等行為中自然建立概念邏輯關系的.具體問題解決的行動路徑如下：首先，讓學生通過內模仿，建立概念邏輯與“我的”思維知覺水平一致的塊狀思維問題，也就是讓學生在完全平方公式的經驗基礎上，嘗試使用公式解決問題（對例題的多角度解決，比如計算（2a+5）2、（2a-5）2的結果），落實概念數理邏輯的轉化目標；其次，讓學生移情概念，即在觀察公式結構的基礎上，寫一個可以用完全平方公式解決的有意義的算式（有的將20012轉化為完全平方公式形象，有的用轉化、套公式及多項式乘多項式等三種方法解決本題（2a-5）2，有的從“形”的角度回歸概念的邏輯源頭等），并在交換解題中獲得提出問題、質疑反思及評價的思維契機，讓問題解決成為平衡思維沖突的中介，終于概念邏輯關系的漸次外顯與思維澄明；最后，讓學生站在系統邏輯高度關聯概念，實現對概念的整體把握，具體維度線索是復述概念特征、聯結多項式乘多項式法則、關聯逆向思考的因式分解等（問題略），實現了問題解決與概念邏輯共生的概念教學目標，落地“學會學習”的能力目標及關鍵能力的穩定發展.

在數學教學法研究領域，杜賓斯基的APOS（行動、過程、對象和圖式）模式，就是問題解決的可靠套路，即在一個水平上使用的概念，成為在下一個水平上行動的對象，尤其在把“反思抽象”作為一種發展高級思維方式使用時，有助于執教者在引導學生建立數學概念的邏輯思維過程中，更加關注學生思維的有序發展.提出問題是行動的一個關鍵因素，支配著問題解決的質量；還原問題是以過程性思維看得見為概念關系聯結目標的；整編問題是以思維對象及其圖式作為概念產生式反應塊的，終于概念的“合目的性”領悟.清樣3中的內模仿就是提出問題的內部表現形式，揭示思維行動的本體價值；移情是一種隱性的思維過程，投射還原概念的邏輯關系；關聯是整編問題的通用技術，涵蓋對思維對象、思維圖式的內部表征，反映概念邏輯關系的全息屬性，終于公式感知、理解與領悟，落實問題解決的創新意義和高階思維的邏輯意旨.

另外，審美遷移是概念邏輯關系建立的基本思想，揭示概念的“形而上”邏輯，反映概念邏輯關系變量行為，有助于概念邏輯思維的秩序發展.這里限于文本飽和狀態，另文研究.