典型考題研究：同類收集與成果擴大
——從2018年福建中考卷第25題說起

☉江蘇省如皋市經濟技術開發區袁橋初級中學 陸海燕

中考復習期間學生會涉及大量習題，這些習題的來源主要是全國各地歷年來的中考試題，而有些訓練的效果好些，有些訓練的效果卻不甚如意.究其原因，當然與學生的思維水平、運算能力、記憶能力有關，但教學法上的研討與改進也是一個值得深入思考的話題.比如拋物線有很多奇異的性質（如準線、焦點的性質，由于多地中考試題曾出現過，大家現在已比較熟悉），初中教材上涉及不多，但通過練習不少中考試題，優秀學生也能一眼洞察、看清問題結構，然而也有些偶爾出現一次的奇異性質，因為滿足于一題一解或一題一答，缺少對問題結構的反思與揭示，使得優秀學生也不能深刻認識和理解一類問題結構，這是值得我們在解題教學中加以改進的.本文從2018年福建省中考卷第25題的思路解析說起，關聯同類、逆向拓展，并提出一些教學建議，供研討.

一、考題與思路突破

考題1：（2018年福建卷，第25題）已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（0，2） .

①求拋物線的解析式；

②點P與點O關于點A對稱，且O、M、N三點共線，求證：PA平分∠MPN.

思路突破：

圖1

（2）①分別解讀：條件“x1＜可得在y軸左側y隨x的增大而增大；條件＜0”可得在y軸右側y隨x的增大而減小.于是可確認該拋物線的對稱軸為y軸，且開口向下.可設拋物線的解析式為y=ax2+2.接下來只要畫出草圖輔助分析，如圖1.

結合等邊三角形ABC與圓O的半徑為2，可得出點B、點C的坐標分別為選擇其一代入y=ax2+2，可得a=-1，于是拋物線的解析式為y=-x2+2.

②解法1：構造如圖2所示的草圖分析.

設點M（x1，-+2）、N（x2，-+2）.由于直線MN經過原點，可設MN：y=kx.

圖2

由P是點O關于點A的對稱點，易得OP=4，即點P（0，4），可設PM：y=k2x+4.把M點的坐標代入，可得

解法2：為了便于對比，我們再構造圖3所示的草圖變式（點M、N的位置發生了變化）分析.

先設直線MN的解析式為y=kx，將其與拋物線解析式聯立成

圖3

消去y，可得關于x的一元二次方程x2+kx-2=0.

二 、回顧反思與同類鏈接

同類鏈接：這道考題最后一問的結構在2016年海南省中考卷第24題曾出現過.

逆向思考：這道考題最后一問的逆向思考問題在2017年湖北中考卷武漢卷第24題曾出現過.這里不妨簡要引述一下，便于對比.

考題2：（2016年湖北武漢，第24題）拋物線y=ax2+c與x軸交于A、B兩點，頂點為C，點P在拋物線上，且位于x軸下方.如圖4，已知直線PA、PB與y軸分別交于E、F兩點.當點P運動時，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由.

結構認識：如圖5，拋物線y=ax2+bx+c的頂點為C，點E、F在拋物線的對稱軸上，直線y=n與拋物線交于點A、B.點P是拋物線上一個動點，連接AP，交拋物線的對稱軸于E點.

圖4

圖5

有如下“等價”信息：

①點B、P、F在同一直線上；

②CE=CF；（類似的有OE+EF=2OC）

③∠AFE=∠PFE.

從前面考題1、考題2的求解可知，上述“等價”信息可以“知一推二”.

同類跟進：（2017年江蘇泰州某校九上期末試卷）平面直角坐標系xOy中，拋物線的頂點為A（-1，-4），且經過點B（-2，-3），與x軸分別交于C、D兩點.如圖6，過點A的直線交x軸于點E，且AE∥y軸，點P是拋物線上A、D之間一個動點，直線PC、PD與AE分別交于F、G兩點.當點P運動時，EF+EG是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由.

圖6

三、教學建議

1.教師要善于歸類收集典型考題，并深入研究揭示結構

數學教師的一個重要的日常基本功是解題，應該有自主解題的興趣與愛好，把平時業余時間常常用來解題是一個優秀數學教師的重要特征之一.當然，僅僅有興趣解題還不夠，還需要在解題之后反思回顧，想清問題結構，并把同類問題歸類收集整理到專用的資料夾.筆者的做法是把同類問題演算之后的結構與素材及時保存在電腦上相應文件夾中，文件夾以關鍵詞命名，便于日后檢索、調用.比如，本文關注的主題關鍵詞可擬為“拋物線奇異性質”，并把與之相關的考題及演算稿都存入相應的文件夾，有時網絡上、文獻中的類似資料也可下載保存在一起.

2.組織典型考題講評時，要引導學生回顧反思提煉結構

教師在組織考題講評時，可檢索自己的素材庫把相關類型的問題整理出來，經過編輯加工整合成教學設計，精選一道較簡單的考題先講評，然后變式拓展，邊拓展、邊追問，讓學生在回顧反思中提煉問題結構，加深對同類問題的深刻理解.在講評之后還可跟進變式再練，不僅是檢測聽課效果，更主要的是通過“多題歸一”訓練鞏固學生對問題結構的理解.