對一道課本習(xí)題的變式教學(xué)

☉合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 洪 倩

“變式教學(xué)”指的是教師有目的、有計(jì)劃地對例題、習(xí)題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)換.合理轉(zhuǎn)換問題的條件或結(jié)論，保留問題的本質(zhì)因素，從而使學(xué)生更好地掌握問題的本質(zhì)屬性.下面是對課本習(xí)題進(jìn)行的變式教學(xué)設(shè)計(jì).

題目：（滬科版七年級上冊數(shù)學(xué)角課后習(xí)題）如圖1是中央電視臺(tái)部分節(jié)目的播出時(shí)間，確定鐘表上時(shí)針與分針形成的最小的角的度數(shù).

思路：求時(shí)針與分針?biāo)纬傻淖钚〗牵瑢?shí)際上求7到12之間所形成最小角度.

解析：時(shí)鐘被分成12等份，即每一大格：360÷12=30°，則5×30°=150°.

圖1

一、條件一般化，問題不變

變式1：求7：20時(shí)，分針和時(shí)針形成的最小角.

解析：分針每分鐘轉(zhuǎn)30÷5=6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)一大格30°，即每分鐘轉(zhuǎn)30÷60=0.5°.因此，題中的時(shí)針與分針形成的角度由兩部分組成，即4到7的角度與時(shí)針超過7的部分的角度.

答案：3×30°+20×0.5°=100°.

圖2

變式2：求7：50時(shí)，分針和時(shí)針形成的最小角.

解析：此題中的時(shí)針與分針形成的角度由兩部分組成，即8到10的角度和時(shí)針實(shí)際位置與8相差的角度.為了方便計(jì)算，一般情況下采用：7到10的角度減去時(shí)針超過7的角度.

答案：3×30°-50×0.5°=65°.

變式1與變式2與原題的區(qū)別在于當(dāng)分針不指向12點(diǎn)時(shí)，時(shí)針指向的不是整點(diǎn)數(shù)，在計(jì)算時(shí)針與分針的最小夾角時(shí)，需要考慮時(shí)針與整點(diǎn)數(shù)的偏角.變式1考查的是分針在時(shí)針后面的情況，變式2是分針在時(shí)針前面的情況.

圖3

二、條件與問題互換

變式3：分針在時(shí)針后面，7點(diǎn)多少時(shí)，時(shí)針與分針的最小夾角成100°？

解析：相對于之前的給定時(shí)間求角度問題，這是給定角度求時(shí)間問題，時(shí)針與分針的夾角由兩部分組成，即4到7的角度與時(shí)針超過7的角度.

圖4

答案：設(shè)x分鐘時(shí)，時(shí)針與分針的最小夾角成100°，則有7×30-6x+0.5x=100，解得x=20.

變式4：7點(diǎn)多少時(shí)，時(shí)針與分針的最小夾角成100°？

解析：此道題除去限定條件，需要分兩類情況進(jìn)行解答：分針在時(shí)針前面、分針在時(shí)針后面.第一類情況與變式3解法相同，第二類情況時(shí)針與分針的最小夾角由7到10的角度減去時(shí)針超過7的角度，即求出時(shí)針超過7所形成的夾角，便可求出時(shí)間.

圖5

答案：分針在時(shí)針前：7×30-6x+0.5x=100，解得x=20.

變式3與變式4都是給定角度求時(shí)間問題，變式3有“分針在時(shí)針后面”這一限定條件，因此只需考慮一種情況，變式4未給定限定條件，需要考慮兩種情況.條件與問題互換，有利于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維及分類討論意識(shí).

三、問題特殊化

變式5：當(dāng)前時(shí)間為7：20，再過多長時(shí)間時(shí)針與分針第一次相遇？

解析：這道題實(shí)際上是上一個(gè)變式問題的特殊化，即時(shí)針與分針的夾角成0°.

答案：設(shè)7：x時(shí)，分針和時(shí)針第一次相遇，則有6x-7×30-0.5x=0，解得（分鐘）.

圖6

［這道題是鐘表內(nèi)的相遇問題，也可以利用相遇時(shí)間=路程÷速度和來解決，路程是一開始時(shí)針與分針相差的路程即時(shí)針與分針的最小角度，速度和是時(shí)針的速度與分針的速度之和.

變式6：當(dāng)前時(shí)間為7：50，再過多長時(shí)間時(shí)針與分針第一次重合？

解析：分針在時(shí)針的前面，需要注意的是時(shí)鐘是順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng).

答案：設(shè)8：x時(shí)，時(shí)針和分針第一次重合.

變式7：當(dāng)時(shí)間為7：20時(shí)，至少過多長時(shí)間，時(shí)針與分針在一條直線上？

解析：此類問題需要考慮兩種情況，時(shí)針和分針在同一條直線上，一種情況是時(shí)針與分針重和，另一種情況是時(shí)針與分針的夾角成180°，再比較哪種情況的時(shí)間短.此題，明顯時(shí)針、分針第一次重合時(shí)時(shí)間較短，時(shí)針、分針在一條直線上.

圖8

變式8：當(dāng)時(shí)間為7：50時(shí)，至少過多長時(shí)間，時(shí)針與分針在一條直線上？

解析：此時(shí)，很明顯由觀察得時(shí)針與分針第一次成180°時(shí)，時(shí)間較短，時(shí)針與分針在一條直線上？

圖9

變式5和變式6都是時(shí)針與分針第一次相遇問題，是變式3、4的特殊化，即時(shí)針與分針的夾角為0°，區(qū)別在于變式5是分針在時(shí)針的后面，變式6是分針在時(shí)針前面，要考慮到時(shí)針、分針的轉(zhuǎn)動(dòng)方向，否則易出錯(cuò).變式7和變式8需要考慮到分針、時(shí)針在同一條直線的兩種情況.

在涉及鐘表中的角度問題時(shí)，條件和問題是變動(dòng)的.這時(shí)需要的是把握三個(gè)著手點(diǎn)：作圖、時(shí)針和分針轉(zhuǎn)動(dòng)順序、時(shí)針和分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，把握這三個(gè)不變因素，就相當(dāng)于抓住鐘表中角度問題的本質(zhì)，無論條件、問題如何變動(dòng)都可以解決它.

課本例題、習(xí)題都是教材編寫者精心編寫的，課外輔導(dǎo)資料也是以課本習(xí)題為依據(jù)編寫而成的，時(shí)鐘問題是數(shù)形高度結(jié)合的范例，結(jié)合了形象思維和邏輯思維，是培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題能力一個(gè)很好的平臺(tái).因此，教師在扎根課本的同時(shí)，理應(yīng)進(jìn)行由淺入深的變式教學(xué)，通過改變條件或問題拓展學(xué)生的思路，提高學(xué)生的思維品質(zhì).