一道中考幾何壓軸題的解法探究

☉重慶市萬州高級中學 張 進

綜合運用線段垂直平分線的性質和判定、等腰三角形的性質和判定、全等三角形的判定和性質、平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的判定和性質、勾股定理及其逆定理、特殊角的三角函數值等知識的幾何綜合題是歷年來重慶中考的熱點題型，這類試題需要添設適當的輔助線方能使問題得到解決，備受一線教師的關注與研究.以重慶2018年中考B卷壓軸題（第24題）為例，筆者在中考結束后，為八年級學生提供該題作為一道課外作業試題，讓學生嘗試不同的證明方法，并從多種解答方法中闡述自然解法的生成.

一、題目與解析

如圖1，在平行四邊形ABCD中，∠ACB=45°，點E在對角線AC上，BE=BA.BF⊥AC于點F，BF的延長線交AD于點G.點H在BC的延長線上，且CH=AG，連接EH.

圖1

（2）證法1：如圖2，連接GE、GH.因為BF⊥AC于點F，BE=BA，所以∠ABF=∠EBF.又因為GB=GB，所以△ABG△EBG（SAS），所以∠AGB=∠EGB.因為在Rt△FBC中，∠ACB=45°，所以∠FBC=45°.因為AD∥BC，所以∠GAC=∠ACB=45°，∠AGB=∠FBC=45°.則∠EGB=45°.因為CH=AG，所以四邊形ACHG是平行四邊形，所以∠GHC=∠ACB=∠GBH=45°，GB=GH，∠BGH=90°，所以∠BGE=∠HGE=45°.因為GE=GE，所以△GBE △GHE（SAS），所以EB=EH.（以上為命題者提供的參考答案）

二、第⑵小題多解思路簡析（解法探究）

筆者對該試題講評時，師生一起深度挖掘載體圖形中的基本圖形和基本題設條件，認真挖掘命題者給出的解題思路，探尋不同的解題思路，花費一節課的時間讓學生不斷提及不同的解決方式，借助學生的發散思維，將這些問題解決的方式一并呈現：

證法2：如圖3，過點E作EK∥BC交BG于點K.先證△AFG △EFK（ASA）且都為等腰直角三角形，所以AG=EK=CH，因為△FBC是等腰直角三角形，所以BK=EC，再證△BKE △ECH（SAS）即可.

圖3

圖4

證法3：如圖4，過點A作AK⊥AD交BG于K.先證△AGK是等腰直角三角形.因為BF⊥AC，所以AF=FK=FE，因為△FBC是等腰直角三角形，所以BK=EC.再證△BKA△ECH（SAS）即可.

證法4：如圖5，過點H作HK⊥AC交AC的延長線于K.先證△AFG△HKC（ASA）且都為等腰直角三角形，得到AF=EF=CK=HK.因為△FBC是等腰直角三角形，所以BF=CF=CE+EF=CE+CK=EK.再證△BAF△EHK（SAS）即可.

圖5

圖6

證法5：如圖6，過點E作EK⊥AC交BC于K，過點B作BM⊥EK交EK的延長線于M.可先證△AFG△BMK（ASA）且都為等腰直角三角形，得到BK=AG.然后證四邊形BMEF是矩形，則EM=BF=CF.因為MK=BM=EF，所以EK=EC.最后證△EKB△ECH（SAS）即可.

證法6：如圖7，過點H作HK⊥BC交AC的延長線于K.先證△AFG和△CHK均為等腰直角三角形，得到HK=CH=AG. 再證CK=2EF，BG=BF+FG=CF+AF=CE+2EF=EC+CK=EK.最后證△BAG△EHK（SAS）即可.

證法7：如圖8，過點E作EK⊥AC交BC于K，過點B作BM⊥BK交EK的延長線于M.因為BF⊥AC，所以EM∥BG，則∠BEM=∠EBF=∠ABG.易證△BKM是等腰直角三角形，所以△BAG△EBM（AAS），則AG=BM=BK=CH.最后證△EKB △ECH（SAS）即可.

圖7

圖8

證法8：如圖9，延長FG至K，使KF=BF，連接AK.可證△BEF △KAF（SAS），得到AK=EB.易證△AFG和△BFC是等腰直角三角形，則KG=KF-FG=BF-EF=CF-EF=EC.最后證明△ECH △KGA（SAS）即可.

圖9

圖10

證法9：如圖10，延長FG至K，使KF=BF，連接EG、EK.先證△BAF △KEF（SAS），得到EK=AB=EB.再證△AEG、△EFG、△BFC是等腰直角三角形，則GE=AG=CH.易證KG=KF-GF=BF-EF=CF-EF=EC.然后證△KGE △ECH（SAS）即可.

證法10：如圖11，連接EG、CG.先證△AFG、△AEG、△BFC是等腰直角三角形.再證△BAG△CGA（SAS），得到BA=CG.然后證△CEG △ECH（SAS），即可證得EH=CG=BA=BE.

圖11

圖12

證法11：如圖12，過點E作EK⊥AC交BC于K，連接EG、KG.先證△AEG、△EFG、△BFC是等腰直角三角形.再證△EKG△KEB（AAS），得到KG=EB=AB，BK=EG=AG.再證△ECHEKB（SAS），則EB=EH.

證法12：如圖13，過點E作EK⊥AC交BC于K，交AD于M.先證四邊形BKMG是平行四邊形.再證FG是△AEM的中位線，得到AG=GM=BK.因為△CEK是等腰直角三角形，可證△EKB△ECH（SAS），則EB=EH.

證法13：如圖14，過點E作EM∥AD交BG于M，過點E作EN∥BG交AD于N.可得四邊形MENG是平行四邊形.又FG是△AEN的中位線，則AG=EM=CH，最后證明

圖13

圖14

上述解法不失為參考答案之外的精彩解答.在解題教學中開展一題多解是杜絕“題海戰術”的有效手段.對于一個題目，給學生提供多種解法，從不同的角度去看待一個問題，用多重視角反思一個問題，這就是在增加學生的思維層次，這與“培養學生核心素養”提出的“學會學習，勤于反思”不謀而合.相信通過“一題多解”可以初步提高學生學習數學的興趣，能夠為引導學生發現題目之“美”打下一定的基礎.

下面展示學生提供的不同解法，有的解法復雜甚至煩瑣，但學生對數學問題多種解法的不懈追求，卻體現了數學思維的深刻性、發散性、變通性、靈活性、流暢性和開放性.

證法14：如圖15，過點A作AK⊥AD交BG于K，連接EK，以下過程同證法3.

圖15

圖16

證法15：如圖16，過點E作EK∥BC交BG于點K，連接EG，以下過程同證法2.

證法16：如圖17，過點A作AM⊥BC交BG于K，連接EK，以下過程同證法2.

圖17

圖18

證法17：如圖18，過點G作GM⊥BC于點M，EK∥BC交BG于K，連接EK，以下過程同證法3.

證法18：如圖19，過點E作EK∥BC交BG于點K，連接EG、AK，以下過程同證法16、17.

圖19

圖20

證法19：如圖20，連接EG、CG、GH，以下過程同證法1.

證法20：如圖21，過點A作AK⊥BC于點K，交BG于N，過點E作EM⊥BC于點M，以下過程同證法3.

證法21：如圖22，連接EG并延長GE交BC于K，連接CG，以下過程同證法10.

圖21

圖22

證法22：如圖23，連接EG并延長GE交BC于K，連接HG，以下過程同證法1.

圖24

圖23

證法23：如圖24，延長FA至K，使AK=EC，連接GK.先證△AFG、△BFC是等腰直角三角形.再證△KFG△BFE（SAS）.最后證明△KAG △ECH（SAS）即可.

三、解題反思

幾何問題的解答方法很多，但只要能找到解題規律，任何難題都可以迎刃而解.教師在解題教學中要善于引導學生挖掘題目中的隱含條件，從復雜的圖形中分解或構造出基本模型圖，善于提煉基本幾何模型，進行歸納總結.利用建模思想解題，既可以培養學生應用模型的意識，提高學習數學的興趣，又可以培養學生知識遷移應用的能力，所以在數學學習過程中，要不斷尋求新的解題方法，逐步提高自己的解題技能和技巧，以達到舉一反三、觸類旁通的學習效果.

在平時的教學過程中，教師可通過對一些典型考題的幾何圖形進行挖掘，借助知識經驗和思想方法，在直觀視覺和比較分析的基礎上，添加適當的輔助線解決問題，加強解題經驗和方法的總結，如解決復雜幾何問題常用輔助線的作法：連接線段，延長線段，過一點作平行線，過一點作垂線，作輔助圖形（圓、特殊四邊形、三角形等），要加強學生思維的拓展訓練，引導學生結合題目特點進行一題多解，一題多變，一圖多用，拓寬思路，幫助學生在解題訓練中發展思維的靈活性與發散性，讓一題多解成就精彩，大大拓展學生的思維空間，使學生明白平面幾何問題輔助線添加的多角度性、嘗試的重要性，以及從多個視角的解決中獲得平面幾何問題思考的有效性，真正讓解題教學的課堂更加高效、靈動.