巧借幾何直觀 妙解中考試題
——對一道中考試題的解法探析

☉湖北省宜昌市第九中學 竇正安

幾何綜合題是初中階段很多學生難以逾越的一大難題.究其原因，無非在于很多幾何綜合題需要學生具有較強的邏輯推理能力、計算能力，甚至需要借助轉化或添加輔助線.在眾多的題目中，那些基于核心素養的，具備一題多解的，甚至擁有拓展空間的好題常被人津津樂道.筆者從眾多中考試題中擷取一例加以剖析，以饗讀者.

題目：（2018·湖北宜昌）如圖1，在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點，把△PBC沿直線PC折疊，頂點B的對應點是點G，過點B作BE⊥CG，垂足為E且在AD上，BE交PC于點F.

（1）若點E是AD的中點，求證：△AEB △DEC；

（2）①求證：BP=BF；

②當AD=25，且AE＜DE時，求cos∠PCB的值；

③當BP=9時，求BE·EF的值.

由于（1）、（2）①和②較為容易，過程從略.以下重點探析（2）③的解法.

解法1：如圖1.

由AD∥BC，得∠AEB=∠EBC.又因為∠BEC=∠A=90°，所以△AEB △EBC，所

所以BE·EF=AB·BP=12×9=108.

點評：此解法的出發點是根據目標聯想到了相似，通過兩次相似構建包含目標線段的比例式，再轉化為等積式求得結果.其優點在于思路比較清晰，易于想到運用相似，缺點是圖中不止兩對相似三角形，如果選擇偏差就很難得出能求出結果的比例式.事實上，我們在閱卷的過程中也的確發現有不少學生想到用相似，但由于選擇不當，如證△EFC △GPC，又沒想到等量代換，最終只能望題興嘆.

圖1

解法2：如圖1，設AE=y，EF=x，則BE=x+9.

易證△BAE △EDC.

化簡得：x（y2+144）=108（x+9）.

在Rt△BAE中，（x+9）2=y2+144.

所以x（x+9）2=108（x+9）.

又因為x+9≠0，所以x（x+9）=108.

所以BE·EF=x（x+9）=108.

點評：此解法的思路是運用設元法，先表示出目標線段和所需線段，再根據相似和勾股定理列方程解決問題.其優點在于思維比較簡單、直接，缺點在于計算較為煩瑣.事實上，在閱卷中，我們也發現了運用此法的學生，但最終絕大多數人都是因為計算問題而擱淺，甚至發現少數計算能力較強的學生本已算到x（x+9）=108這一步了，卻選擇把x解出來，沒有運用整體思想，無形中增加了計算量，著實令人唏噓..

解法3：如圖2.

設EF=x，則BE=x+9.

過點F作FH⊥BC，垂足為H.

因為EF⊥CE且∠ECF=∠HCF，所以FH=EF=x.

易證△BAE △FHB.

所以x（x+9）=108，所以BE·EF=x（x+9）=108.

點評：此解法充分借助圖形的幾何直觀性，由折疊的性質得知CP平分∠BCG，所謂“圖中有角平分線，常向兩邊作垂線”，故過點F作FH⊥BC構造輔助線，此解法較解法2大大減少了計算量.

圖2

圖3

解法4：如圖3.

連接GF.

因為∠GEF=90°，∠PGE=∠ABC=90°，所以∠GEF=∠PGE.

易得BF∥PG，BF=PG，所以四邊形BPGF是平行四邊形.

又因為BP=BF，所以平行四邊形BPGF是菱形.

由BP∥GF，得∠GFE=∠ABE.

所以BE·EF=AB·GF=12×9=108.

點評：此解法充分地抓住了圖形的幾何直觀性，即局部對稱性.由折疊知△BPC與△GPC關于直線CP對稱，于是想到“沿軸將圖對折看，對折之后關系現”，FB對折后應該與FG對應，故而想到連接GF.與此同時，通過對折我們也不難發現：圖中缺少EF的對應線段，這樣想來就把解法3、解法4貫通起來了.正所謂：“圖中有角平分線，常向兩邊作垂線.沿軸將圖對折看，對折之后關系現”.