讓運算法則的引入多一些“算理味”
——也說“有理數加法法則”教學情境

☉浙江省海鹽縣博才實驗學校 郭瑞華

王友峰老師在文1中，以“有理數加法”情境創設為例闡釋了“基于算理概括法則，潛移默化熏陶素養”的教學追求，讀來引發筆者共鳴.我們知道，有理數的加法法則是加法運算的基礎，然而不少版本中引入加法法則時多是一些生活情境，或利用數軸上的蝸牛移動，或利用點的平移等情境方式歸納出“繞口令”式的有理數加法法則（如“取絕對值較大加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值”這樣繞口的法則，讓學生怎么理解和記憶），再進行例題講解與同類訓練，這樣的教學年復一年，大家似乎沒有找到更好的方法.筆者多年以來，也是這樣開展教學的.最近，覺得可以借助數軸，基于相反數的定義（互為相反數的兩數和為0）來推導、歸納生成有理數法則，再對教材上的表述進行理解，取得了一定的教學效果.下面就從這段教學引入說起，再引發一些教學理解和教學建議，供大家討論.

一、借助數軸引入有理數加法法則

問題1：如圖1，數軸上，點A、B分別表示a、b，且a＞0，b＞0.

圖1

教學組織：安排學生根據a、b的取值范圍，賦值舉例，并計算出a+b的值，引導學生對應到A、B兩點到原點的距離與a+b的大小關系.讓學生復習正數相加，就是小學階段所學的兩個算術數相加.

問題2：如圖2，數軸上，點A、B分別表示a、b，且a＜0，b＜0.

圖2

教學組織：安排學生根據a、b的取值范圍，賦值舉例，并計算出a+b的值，引導學生對應到A、B兩點到原點的距離與a+b的大小關系.引導學生發現兩個負數的和為負數，并用兩個數的絕對值相加.提醒學生，兩個負數相加，要注意先確定符號，再用它們的絕對值相加（就是小學階段的算術數相加）.

問題3：如圖3，數軸上，點A、B分別表示a、b，且a＞0，b＜0.

圖3

（1）當a=2，b=-2時，a+b=_______.

教學組織：學生知道互為相反數的兩數的和為0，這其實也是之前在學習相反數時就可作為相反數的定義告知學生的.

（2）當a=5，b=-2時，求a+b.

教學組織：學生會直接看出答案為3.教師可追問為什么等于3，并預設兩種方法，方法1：5+（-2）=5-2=3；方法2：5+（-2）=3+2+（-2）=3+［2+（-2）］=3+0=3.

要向學生指出，利用方法1，還可解決（-2）+5=-2+5=5-2=3；方法2則靈活利用運算律（加法交換律、結合律），符號化簡的方法，互為相反數的兩數和為0等依據，可以將符號不同的兩個數相加.

在此基礎上，可引導學生再舉一些類似的例子（符號不同的兩個數相加，且正數的絕對值較大），安排小組內交流計算結果.

（3）當a=2，b=-6時，求a+b.

教學組織：學生會直接看出答案為-4.教師可追問為什么等于-4，并預設方法：2+（-6）=2+［（-2）+（-4）］=2+（-2）+（-4）=［2+（-2）］+（-4）=-4.

在此基礎上，可引導學生再舉一些類似的例子（符號不同的兩個數相加，且負數的絕對值較大），安排小組內交流計算結果.

在充分舉例交流計算結果之后，出示教材上“有理數加法法則”（限于篇幅，這里不給出），讓學生理解，并交流他們是如何理解的.先由小組內推薦學生代表本小組上臺作全班交流，匯報他們是如何理解教材上這段“有理數加法法則”的，如果學生感覺該法則有點“繞口”，也可舉例來談自己的理解.在學生講解他們各自的理解時，教師注意做好講后點評，點評時要注意強調以下幾點：

第一，與小學加法運算相比，有理數的加法運算更加復雜，首先要學會辨識類型，即看清兩個加數的正、負，然后選準加法運算法則的具體依據；

第二，有理數加法運算，要培養先確定符號再運算的習慣，即培養符號優先的意識；

第三，在符號確定之后，要善于把兩個數的加法轉化為與它們的算術數有關的加或減的運算，對于符號不同的兩個數相加，常常用較大的絕對值減去較小的絕對值；

第四，有時要靈活選用運算律，比如加法交換律、結合律，當然熟練地化簡、去括號也是很有必要的.

接下來給出一組例題（主要來源于教材例、習題，限于篇幅，這里不給出），先由教師示范不同的運算方法，規范運算步驟，并引導學生體會有理數運算方法的“殊途同歸”，培養學生運算的靈活性.

二、關于有理數加法法則的教學理解

學生進入初中之后，與小學階段的數學學習相比，通常會有幾個地方容易出現一些不適應，具體來說，分布在不同年級，比如七年級上學期有理數的運算可算一處；然后是平面幾何的入門階段；再有就是函數的學習.剛進入初中所學的有理數運算為什么會讓學生不適應呢？背后的情況很復雜，以有理數加法為例，有理數加法運算需要分很多類型，在準確識別類型之后，要有符號優先的意識，再恰當轉化為與算術數有關的加或減的運算，而這些都可看成綜合程度很高的較難題范圍，所以有理數加法運算是很多學生進入初中后的第一道“坎”.

如何幫助學生邁過這道“坎”？不同的老師有不同的方法，多數老師的經驗和做法是依據教材按部就班地講解、訓練、糾錯、再練，以達到熟能生巧的程度.然而，我們認為，最初接觸有理數加法法則時就有必要十分重視算理的教學，并且重視訓練學生觀察、識別、步步有據等良好的運算習慣，這樣對于搞好運算教學都是非常有益的.以下再提出幾點關于有理數加法法則的教學理解或教學建議.

1.從學生已有經驗出發，依靠數軸這個平臺探究并歸納加法法則

“最近發展區”理論是得到很多人認可的教育理論.結合有理數加法法則的引入，可以結合該理論設計教學情境，比如，學生在學習有理數加法法則之前，已有的學習經驗是有理數及相關概念，這就包括了數軸、相反數、絕對值這三個十分重要的有理數相關概念.從數軸出發，研究有理數加法的不同情況，學生有個直觀的平臺進行分析，容易直接讀出兩個不同有理數的和，在此基礎上，結合已有的“相反數和為0”的性質，更好地理解符號不同的兩個數的和可以借助相反數的性質進行拆分、部分消去，從而得出解答.分組舉例后，再結合絕對值（對應小學階段的算術數）歸納出有理數加法法則.

2.重視算理教學，讓學生在運算過程中養成“步步有據”的習慣

不少版本中關于有理數加法法則的情境引入，多屬于猜想歸納出有理數加法法則，缺少必要的算理推導式的味道.基于這種不足，我覺得，雖然七年級新生還不能進行嚴格意義上的推理證出有理數加法法則，但是至少可以讓學生在進入初中之后，初步感受到數學的嚴謹性.在上面的課例概述中，我就是借用數軸這個平臺，變式舉例，通過不同方法演算、推理出符號不同的兩個數的加法法則，在這個過程中，反復利用了運算律進行推理式運算，這就向學生滲透了“步步有據”的運算意識.

3.促進學生明辨運算的兩套系統：運算法則與運算通性

記得有的數學家（中科院李文林研究員）曾把數學簡化為兩個字：算與證.“算”的話題太大，就拿有理數運算來說，也是需要學生傳遞兩套系統的依據，一是運算法則，二是運算通性.運算法則是剛性的，運算通性（運算律）是柔性的.前者針對不同的數系有不同的運算法則，而運算通性則游走在不同數系（包括以后整式的運算）之間，都是通用的.這些也可以在運算過程中向學生進行講解、滲透，優秀學生是能體會出這些運算要點的，而且可以訓練他們明辨“嚴守法則不出錯”與“靈活選用運算律求簡化”之間的辯證關系.