數(shù)a的倒數(shù)是什么？
——對(duì)一則教學(xué)片段的分析與研究

☉安徽省合肥市第四十八中學(xué) 程龍軍

☉安徽省合肥市第四十八中學(xué) 史承灼

“數(shù)a的倒數(shù)是什么？”這是筆者在聽一節(jié)七年級(jí)公開課“有理數(shù)的乘法”時(shí)遇到的問題.對(duì)于這個(gè)問題，學(xué)生的回答頗讓人意外.

一、教學(xué)片段

“有理數(shù)的乘法”一課教學(xué)中，在講完了有理數(shù)的乘法法則之后，教師按照教材上的要求開始講倒數(shù)的概念.

師略停頓，對(duì)答案不夠滿意，繼續(xù)個(gè)別追問.

生2：數(shù)a的倒數(shù)也可能是a.

生5（反駁生3）：0沒有倒數(shù).

生6：0的倒數(shù)是0，1的倒數(shù)是它本身，a要是1的話，那它的倒數(shù)就是它本身.

……

對(duì)于這樣一個(gè)看似簡(jiǎn)單的問題竟然出現(xiàn)了這么多種答案，令人頗為意外.我們不禁會(huì)問：答案背后隱藏了學(xué)生怎樣的想法？同齡學(xué)生之間為何有如此大的差異？學(xué)生對(duì)“字母表示數(shù)”有怎樣的理解？

二、案例分析

對(duì)上述答案稍加分析，我們不難看出：

生1和多數(shù)學(xué)生一樣，能夠認(rèn)識(shí)到字母a可以表示具體的有理數(shù)，但可能只是局限于字母作為一個(gè)靜態(tài)對(duì)象對(duì)于數(shù)字的“替代”作用（如：3的倒數(shù)是，-2的倒數(shù)是-，a只是替代了3和-2而已），對(duì)字母的取值缺少分類的意識(shí)，也未能把字母看作變量，進(jìn)而從a的由負(fù)到正的連續(xù)變化過程中進(jìn)行排查和篩選，這說明學(xué)生還無法從抽象的水平上理解字母表示的對(duì)象.

生2既沒有理解倒數(shù)的概念，也對(duì)字母a可以表示有理數(shù)認(rèn)識(shí)模糊，只是考慮了倒數(shù)等于本身的特殊數(shù)1（在課后談話中，問：哪些數(shù)的倒數(shù)等于自己.生2：數(shù)1的倒數(shù)等于1）.

生4、生6、生7的理解進(jìn)了一步，考慮到了a的取值中的特例，對(duì)a取值的一般性和特殊性有了一定的思考，也有了分類的意識(shí)，只是沒有意識(shí)到1和-1的倒數(shù)也可以表示為，這說明當(dāng)a作為分母時(shí)，學(xué)生的分類標(biāo)準(zhǔn)還比較模糊，對(duì)整體和局部包含關(guān)系的認(rèn)識(shí)還有欠缺.

生3也考慮到a取值的特殊性，盡管把0的倒數(shù)理解錯(cuò)了，但是已經(jīng)較為準(zhǔn)確地把握了分類的標(biāo)準(zhǔn)（即“a作分母時(shí)，分母是否為0”），也更接近了問題的實(shí)質(zhì).對(duì)于這個(gè)有價(jià)值的回答，教師如果稍加引導(dǎo)，結(jié)論就將呼之欲出，學(xué)生不僅知道了a的倒數(shù)是什么，而且可以較為深刻地理解字母a取值的一般性、特殊性，分類的重要性及數(shù)學(xué)結(jié)論的完備性.

三、尋根問底

1.問卷調(diào)查

為了了解學(xué)生對(duì)這一問題的普遍認(rèn)識(shí)，筆者在七、八、九年級(jí)各選擇了一個(gè)自然教學(xué)班分別進(jìn)行了問卷調(diào)查，問題有三個(gè)：（1）數(shù)a的倒數(shù)是什么？（2）簡(jiǎn)要說出你的想法；（3）你認(rèn)為數(shù)學(xué)中的字母a可以代表什么？調(diào)查結(jié)果如表1所示.

表1

2.結(jié)果分析

對(duì)這個(gè)問題的回答，七、八年級(jí)之間不存在顯著差異，而七年級(jí)與九年級(jí)、八年級(jí)與九年級(jí)之間均存在顯著差異.

雖然七、八年級(jí)的學(xué)生回答上述問題的正確率僅僅分別為12.1%和16.2%，但是一個(gè)有意思的現(xiàn)象是：大多數(shù)學(xué)生在第（3）問中都認(rèn)為a可以表示任意一個(gè)有理數(shù)或?qū)崝?shù).那么值得思考的問題是：既然學(xué)生能認(rèn)識(shí)到a可以表示任意一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)然要把0包括在內(nèi)考慮，那為什么在答a的倒數(shù)時(shí)沒有將0找出來單獨(dú)考慮呢？筆者認(rèn)為，一方面，學(xué)生雖然知道a可以代表任意有理數(shù)，但只是起到“替代”功能，沒有經(jīng)歷具體數(shù)字符號(hào)化和形式化的抽象過程，以及靜態(tài)數(shù)字一般化、動(dòng)態(tài)化的活化過程，或者說學(xué)生對(duì)這樣的抽象過程和活化過程體驗(yàn)不深.之后進(jìn)一步的訪談也證實(shí)了這一點(diǎn)（七年級(jí)某生：3的倒數(shù)是，-3的倒數(shù)是-，a的倒數(shù)不就是嗎）.另一方面，也有學(xué)生缺少“分類”“變量”意識(shí)及考慮問題不夠全面的原因.從這個(gè)意義上說，學(xué)生要真正理解“字母表示數(shù)”，特別是在特定情境下，理解a取值的一般性和特殊性，還有很長(zhǎng)的路要走，還需要不斷感悟和深化.在此前提下，在七年級(jí)進(jìn)行這樣的訓(xùn)練就顯得很有意義而且非常必要，如：求代數(shù)式的值、用字母探索規(guī)律、解方程、解不等式等，其中“求代數(shù)式的值”是溝通數(shù)與式的橋梁，應(yīng)成為貫穿第三學(xué)段的一項(xiàng)基本訓(xùn)練.

與七、八年級(jí)相比，九年級(jí)學(xué)生回答上述問題的正確率達(dá)到了52.9%，對(duì)字母a的理解有了一個(gè)質(zhì)的提升，在用字母表示數(shù)量關(guān)系時(shí)能自覺進(jìn)行分類.這里，相應(yīng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容起到了關(guān)鍵的作用，特別是對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)，如：自變量的取值范圍、求函數(shù)的解析式、畫函數(shù)的圖像等，使學(xué)生對(duì)字母有了“變量”的意識(shí)，因而理解字母時(shí)也更為全面.

3.調(diào)查結(jié)論

通過上述調(diào)查分析，可以看出初中生對(duì)字母的認(rèn)識(shí)有如下特點(diǎn)：

（1）字母變量的抽象性，導(dǎo)致初中生對(duì)“字母表示數(shù)”的認(rèn)識(shí)差異較大，存在著較為特殊的年齡特征.

（2）初中生對(duì)字母的分類意識(shí)比較缺乏，對(duì)字母取值的一般性、特殊性的認(rèn)識(shí)處在較低水平.

（3）在涉及字母的較抽象問題時(shí)，一般地，學(xué)生還不能脫離開問題的實(shí)際內(nèi)容，從抽象層次理解數(shù)量關(guān)系.

（4）相應(yīng)的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容對(duì)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的發(fā)展有顯著影響.

（5）七、八年級(jí)是學(xué)生符號(hào)意識(shí)發(fā)展的萌芽期，九年級(jí)是學(xué)生符號(hào)意識(shí)、分類意識(shí)和變量意識(shí)發(fā)展的關(guān)鍵期.

四、教學(xué)建議

1.結(jié)合認(rèn)知特點(diǎn)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)字母表示數(shù)的理解

英國兒童數(shù)學(xué)概念發(fā)展水平的研究（CSMS）表明，學(xué)生對(duì)字母表示數(shù)的理解方式可以概括為6個(gè)水平：

（1）對(duì)字母直接賦值.一看到字母，就直接給它賦予一個(gè)數(shù)值.

（2）忽略字母的意義.對(duì)題中的字母視而不見，不理睬，或者承認(rèn)其存在，但對(duì)它不賦予任何意義.

（3）把字母當(dāng)作物體.把代數(shù)式中的字母看作具體物體的記號(hào)，或直接看作物體.

（4）把字母看作特定的未知量.字母在兒童心中是某個(gè)（具體的）未知數(shù)的記號(hào)，可以直接參與計(jì)算.

（5）把字母看作廣義的數(shù).在兒童心中，字母是數(shù)，而且可以取多個(gè)值.

（6）把字母看作變量.兒童把字母看作可在一定范圍內(nèi)的變數(shù)，兩組這種數(shù)之間有一種系統(tǒng)的關(guān)系.

由上述研究可以看出，七、八年級(jí)學(xué)生對(duì)字母的認(rèn)識(shí)主要介于水平（4）、（5）之間，在這一階段，用字母表示數(shù)、求代數(shù)式的值、用字母探索規(guī)律、解方程、解不等式等都是發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)的良好素材.此外，教學(xué)中還需要不斷滲透對(duì)字母取值的分類意識(shí)，如有理數(shù)在不同標(biāo)準(zhǔn)下的分類、數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)的分類、絕對(duì)值問題中的分類等，在此過程中加深對(duì)字母取值一般性和特殊性的認(rèn)識(shí)，理解字母既可以表示具體的數(shù)，也可以表示數(shù)量關(guān)系或其他某種關(guān)系，還可以表示變化規(guī)律.而九年級(jí)學(xué)生對(duì)字母的理解則主要介于水平（5）、（6）之間，少部分學(xué)生把字母看作變量，在這一階段，函數(shù)自變量的取值范圍、解析式、圖像的理解等內(nèi)容則直接影響到學(xué)生的變量意識(shí)的發(fā)展.

2.結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境進(jìn)一步了解用字母表示數(shù)的意義

在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，從丟番圖用縮寫的字母表示數(shù)到韋達(dá)用字母表示一般意義上的數(shù)，用了大約1200年.要學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)走過人類認(rèn)識(shí)提升的大段歷史，關(guān)鍵在于體會(huì)從具體數(shù)字到抽象字母的抽象過程，而這些抽象過程仍然需要借助現(xiàn)實(shí)的問題和情境.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）在第二學(xué)段中雖然也要求“在具體情境中能用字母表示數(shù)”，但學(xué)生的實(shí)際情況與我們想象的還有很大差距.《標(biāo)準(zhǔn)》指出：在第三學(xué)段仍然要借助于現(xiàn)實(shí)情境了解代數(shù)式，進(jìn)一步了解用字母表示數(shù)的意義.教學(xué)過程中要盡可能通過實(shí)際問題或情境的創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)、幫助學(xué)生理解符號(hào)及表達(dá)式、關(guān)系式的意義，或引導(dǎo)學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)情境問題進(jìn)行符號(hào)的抽象和表達(dá)，在此過程中使學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)到字母既可以表示已知量又可以表示未知量，既可以表示常量又可以表示變量，還可以表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；逐步感悟“用字母表示數(shù)”不僅是字母“代替”文字和數(shù)的過程，而且更是具體數(shù)符號(hào)化和形式化的抽象過程，是人類認(rèn)識(shí)從算術(shù)到代數(shù)的一次質(zhì)的飛躍.

3.對(duì)字母表示數(shù)的理解需要“慢”教育

一方面，學(xué)生用符號(hào)表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象是一個(gè)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由具體到一般的抽象過程.比如用數(shù)字符號(hào)表示現(xiàn)實(shí)中的多少，用單一的運(yùn)算符號(hào)表示數(shù)的運(yùn)算關(guān)系，其抽象度顯然不及用字母代替數(shù)及用字母表示某種關(guān)系，前者是后者的基礎(chǔ)，后者對(duì)前者來說是一個(gè)質(zhì)的飛躍.而用符號(hào)關(guān)系式或一定的數(shù)學(xué)模式語言表示特定的變化規(guī)律則又更抽象和復(fù)雜.這表明關(guān)于數(shù)學(xué)表達(dá)的符號(hào)意識(shí)的發(fā)展是一個(gè)逐漸積累變化的過程.另一方面，人類對(duì)于數(shù)學(xué)的抽象經(jīng)歷了兩個(gè)漫長(zhǎng)階段：第一階段的抽象是基于現(xiàn)實(shí)的，是現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系，抽象成數(shù)學(xué)基本概念、研究對(duì)象的定義、刻畫研究對(duì)象關(guān)系的術(shù)語和計(jì)算方法，是從感性具體到理性具體的抽象過程；第二階段的抽象是基于邏輯的，合理解釋了第一次抽象得到的概念，以及概念之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的符號(hào)化、形式化、公理化，是從理性具體到理性一般的抽象過程.對(duì)于“字母表示數(shù)”的抽象過程，只能是學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，通過對(duì)研究的數(shù)學(xué)對(duì)象的觀察、分析、歸納、概括，從現(xiàn)實(shí)的具體情境中抽象出其共同特征及其本質(zhì)屬性，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)學(xué)符號(hào)化和形式化.同時(shí)，學(xué)生對(duì)“字母表示數(shù)”的理解與知識(shí)的獲得不具有共時(shí)性，而表現(xiàn)出延遲性.數(shù)學(xué)抽象過程的思維特征和這種延遲性，決定了教學(xué)過程中的“慢”，只有慢，才能讓學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)，有足夠的時(shí)間面對(duì)字母意義構(gòu)建的延遲性和抽象性.因此，“用字母表示數(shù)”及其之前的教學(xué)過程，需要教師以極大的耐心，精雕細(xì)琢地對(duì)待相關(guān)內(nèi)容，如用正、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量、有理數(shù)的概念及其分類、數(shù)軸及數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)之間的關(guān)系、絕對(duì)值的含義等，同時(shí)還要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到一些特殊的數(shù)的地位和作用，如-1、0、1等.數(shù)學(xué)教育家傅種孫先生曾言：“幾何之務(wù)不在知其然，而在知其所以然；不在知其然，而在知何由以知其所以然.”“幾何之務(wù)”如此，“‘用字母表示數(shù)’之務(wù)”亦如此.

需要特別指出的是，大量快節(jié)奏、重復(fù)、煩瑣的關(guān)于字母的形式運(yùn)算訓(xùn)練，并不能提高學(xué)生對(duì)符號(hào)運(yùn)算的理解.教學(xué)中要適當(dāng)、循序漸進(jìn)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算訓(xùn)練，并且要注意理解符號(hào)運(yùn)算的基本過程和思想，畢竟，對(duì)字母表示數(shù)的理解關(guān)鍵在于“悟”而不在于“快”和“多”.