深度研究教材 聚焦設問理答*
——以“多項式乘以多項式”為例

☉山東省廣饒縣教學研究室 魏相清

☉山東省廣饒縣稻莊鎮實驗中學 龐國建

“多項式乘以多項式”是人民教育出版社義務教育教科書八年級上冊第十四章“整式的乘法與因式分解”的第一節第四部分“整式的乘法”第3課時的教學內容，作為整式乘法的最后一部分內容，它為后續學習整式的除法、乘法公式及因式分解打下了堅實的基礎.在一次市級賽課活動中，筆者有幸設計并指導龐國建老師執教該課例，獲得了聽課評委和老師的一致好評，下面給出其教學實錄并從研究教材和設問理答兩個角度給出一些初步的思考，不當之處，敬請批評指正.

一、教學實錄

1.情景導入，提出問題

師：同學們手中有四張大小不同的長方形紙片（如圖1），你能用它們拼出一個大長方形嗎？

圖1

（學生1利用多媒體展示，其余學生動手操作）

師：拼得非常好.那么，你能用不同的方法表示出這個大長方形的面積嗎？

生2：能，面積表示為（a+b）（p+q）.

生3：還可以表示為ap+aq+bp+bq.

師：這兩個式子都表示大長方形的面積，它們之間有何關系？

生4：相等.

教師板書：（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq.

師：等號的左邊是什么形式？

生5：兩個多項式相乘.

師：對，這節課我們就來研究多項式與多項式相乘的法則（板書課題）.

設計意圖：開課之初將教材提供的教學素材（街心花園的擴建）適當改編，以數學實驗（動手拼圖）的形式呈現，培養學生的動手能力，提高學生學習數學的積極性和主動性.此外，還引導學生在動手拼圖過程中發現問題和提出問題，為后續分析問題和解決問題奠定基礎，以期實現《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出的從“兩能”向“四能”的積極轉變.

2.合作探究，歸納法則

師：你能通過計算來驗證這個等式嗎？應該如何計算（a+b）（p+q）？請同學們先獨立思考，然后以小組為單位合作交流，探究結論.

（給學生留出適當時間，先讓學生獨立思考，然后以小組為單位合作交流，探究結論.）

師：前一節我們學習了什么內容？能不能前后聯系一下？

生6：單項式乘以多項式.

師：是否可以把（a+b）（p+q）也看成單項式乘以多項式的形式呢？你有什么想法？

生7：可以把（a+b）看成一個整體，用（a+b）這個整體去乘以（p+q）這個多項式.

生8：也可以把（p+q）看成一個整體.

師：這兩名同學說得非常好，大家掌聲鼓勵！下面，請根據剛才兩名同學所提供的方法嘗試計算.

生9板演展示：

生10板演展示：

=ap+aq+bp+bq

師：觀察上面所得到的結果，你認為多項式乘以多項式，應該怎樣相乘？誰能用簡練的語言描述一下？

生11：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.

師：你總結得太精彩了！語言敘述也非常簡練，真棒！

設計意圖：數學是一門嚴謹的學科，在前期動手操作、發現結論（幾何直觀的角度）的基礎上，引導學生從代數運算的角度給出證明，進一步加深學生對新知的認識和理解，正所謂“數缺形時少直觀，形缺數時難入微（華羅庚語）”，從而實現對數形結合思想的滲透.

3.問題導學，理解法則

師：請同學們利用法則完成例1.

例1 利用多項式乘法法則計算：

（1）（3x+1）（x+2）；

（2）（x-8y）（x-y）.

（學生獨立完成，然后投影展示學生12和學生13的解題過程，師生共同訂正錯誤）

師：請同學們完成跟蹤訓練1：計算（m+2n）（3n-m）.

（學生獨立完成后，學生14口答結果）

師：同學們做得真棒！讓我們再接再厲.

例2 利用多項式乘法法則計算：（x+y）（x2-xy+y2）.

（給學生留出適當的時間，讓學生先獨立完成，教師巡視指導并注意收集有錯誤的解題過程，比如：漏項的問題、運算符號出錯的問題）

師：為了防止漏項，你能給我提供一個快捷的檢查方法嗎？

（學生交流討論，尋找方法）

生15：在沒有進行合并同類項前，積的項數等于這兩個多項式項數的積.

師：大家同意這位同學的觀點嗎？

生16：同意！

師：那么，在多項式乘法運算中，我們應該注意哪些問題呢？

生17：要防止“漏項”.

生18：要注意先確定積中各項的符號.

生19：最后要合并同類項.

師：同學們總結得太棒了，為你們點贊！希望在接下來的做題過程中，同學們都能注意上面強調的三點.現在，請同學們完成跟蹤訓練：計算（x2+2x+3）（2x-5）.

（學生完成后，投影展示學生20的解題過程，同時強調前面提到的易錯點）

設計意圖：例題、習題設計層次合理，將教材中的例題進行分割，分為“只呈現項數為2的兩個多項式相乘的例1”和“前一項項數為2，后一項項數為3的例2”兩部分，降低了學生理解和應用公式的難度；跟蹤訓練設計巧妙，形式多樣，進一步強化了學生對所學公式的運用.此外，教學中積極引導學生反思，自行發現易錯點及處理方法，增強了學生的自主學習意識.

4.拓展延伸，提升素養

師：現在，讓我們共同來看例3.

例3 利用多項式乘法法則計算：（a-1）2.

師：如（a-1）2這樣的題，誰能寫成兩個多項式相乘的形式？

生21：可以寫成（a-1）（a-1）的形式.

師：對，這樣我們就可以用多項式乘法法則進行計算了.請同學們獨立完成.

（學生完成后，投影展示學生22的解題過程，并共同糾錯）

（學生獨立完成后，學生23口答結果）

師：接下來讓我們共同探究這樣一個問題（課件展示例4）.

例4 計算與探究：

（1）（x+2）（x+3）；

（2）（x-4）（x+1）；

（3）（y-5）（y-3）.

（學生先獨立完成，然后學生24口答結果，教師投影展示）

（1）（x+2）（x+3）=x2+5x+6.

（2）（x-4）（x+1）=x2-3x-4.

（3）（y-5）（y-3）=y2-8y+15.

師：觀察所得的結果，你有什么發現？根據你發現的規律，完成下面的填空.

（x+p）（x+q）=x2+（ ）x+（ ）.

生25：二次項應該是x2，一次項的系數為p+q，常數項為p與q的積.

師：你太聰明了，我真佩服你！為你的聰明才智鼓掌！能利用你們發現的公式直接寫出下列各題的結果嗎？試一試！

（1）（x-6）（x-3）；

（2）（x+5）（x-8）.

（等學生完成后，學生26回答結果，師生共同訂正）

設計意圖：通過例3和跟蹤訓練3為學生后續學習完全平方公式打下基礎；通過例4及相應的跟蹤訓練讓學生自行發現規律，為接下來探究特殊的多項式乘法（平方差公式和完全平方公式）積累經驗，同時與教材中閱讀與思考部分（x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解，即十字相乘法）對應，實現課堂教學的思維連貫和邏輯清晰（章建躍語），同時是對《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出的“不同的人在數學上得到不同的發展”的積極踐行.

為節省篇幅，其余教學環節（達標檢測、課堂小節、布置作業）略.

二、兩點思考

1.研究教材：讓教師出眾

教材是教材編寫者集體智慧的結晶.一線教師在使用教材時，應該實現和教材及教材編寫者的心靈對話，深刻理解其編寫意圖，實現從“教教材”到“用教材教”的積極轉變，從而促進自身的專業成長.

該課例在設計中做到了遵守教材，很好地應用了教材提供的教學素材（情境引入及例題、習題設置），同時在以下幾個方面進行了創新嘗試，且收到了較好的課堂教學效果：對教材的情境引入進行簡單改編，以數學實驗（學生動手拼圖）的形式呈現；將教材提供的例題“一分為二”，分兩部分呈現，由易到難；根據課堂教學時間和學生接受程度，將教材中的部分經典習題以例題的形式設置，提高一線教師和學生對習題的重視程度.

可以看出，上述課例在三個方面的創新，不僅僅是一線教師行動的改變，更是教學理念的更新，課例設計和研究是促進一線教師專業成長最有效的方式，只有在課例設計與研究中才能實現自身的專業出眾.

2.設問理答：讓學生出彩

設問和理答是一種教學手段，更是一種交流藝術.隨著《中國學生發展核心素養》的提出，有專家學者指出“交流素養”也應該是中國學生發展核心素養的一部分，作為數學學科應該為培育學生的“交流素養”貢獻自己的一份力量.上述課例中，教師設計問題多樣、多變、多元，共引導30余名學生參與了課堂回答，教師積極地對學生的回答給出點評，比如，“這兩名同學說得非常好，大家掌聲鼓勵！”“你總結得太精彩了！語言敘述也非常簡練，真棒！”“你太聰明了，我真佩服你！為你的聰明才智鼓掌！”等，雖然還有待提高，但最起碼向形式多樣、語言豐富邁進了一步.

精心的設問能夠幫助教師及時掌握學生的認識情況，而智慧的理答可以進一步提高學生的學習效果.精心的設問、智慧的理答，讓學生真正參與到課堂教學中來，讓學生的主體地位得到體現，讓學生出彩.正如余文森教授在其著作《一位教育學教授的聽課評課與教學斷想》中指出：“真正的好課，不是教師出彩，而是學生出彩.簡言之，出彩要出在學生的學上.”上述課例通過環環相扣的設問，層層推進的理答，對上述理念積極踐行，取得了較好的教學效果.

當然，在教育轉型的今天，一線教師應該站穩課堂教學這塊主陣地，做到“把課堂還給學生”，這不是一句口號，而應該真正落實在行動上，歡迎更多的一線教師積極參與進來，為教育教學貢獻自己的一份力量.