放飛思維 收獲智慧

☉江蘇省常熟市梅李中學 王偉春

迎合“考點”而進行的知識概覽、基礎回顧與重點強化是初中數學復習教學慣常采取的三個重要步驟，如何處理好夯實基礎和提升能力、課堂容量和思維深度、舊知重提和激發興趣之間的關系成為教師最為關注的問題.筆者認為，復習教學應緊扣主題并巧設問題情景，使學生能夠在層層遞進的問題探索中獲得思維的飛速發展與突破，并因此獲得高質高效的復習效果.本文結合“一次函數”這一案例對促進學生思維發展的教學作一定意義上的思考和探究.

一、案例概述

1.寓言引思

假設兔子與烏龜在賽跑時都是勻速前進的，行走的路程與時間分別為s（m）、t（min）.

問題1：s和t之間關系的圖像怎樣？請嘗試作圖.

學生不斷思考并嘗試著作圖.生1在黑板上畫出了圖1所示的OA、OD兩條射線，其他學生不禁發出了質疑，生2隨即將圖像進行了補充.

圖1

問題2：你在給出的數據中感受到了哪些信息呢？

學生紛紛發言：能求出線段OD、OA、BC之間的關系式；兔子睡覺時間為40分鐘；OD、BC分別是正比例函數圖像和一次函數圖像；烏龜追上兔子是在什么時候？烏龜的速度是10米/分鐘；兔子一開始的速度是20米/分鐘……

設計意圖：運用寓言撥動學生思維并將復習的重點引進課堂，學生感覺有趣的同時也感受到了函數的親切.

2.溫故知新

（1）（2）略.

（3）若一次函數y=kx+b過點（x1，y1）、（x2，y2），且k＞0，b＜0，當y1＜b＜y2時，有（ ）.

A.x1＞0＞x2B.x1＜0＜x2

C.x1＜x2＜0 D.x1＞x2＞0

很多學生因為抽象的表述而感覺思維困難.

師：大家以為此題考查的主要是什么知識呢？

眾生：函數的增減性.

個別學生提出了“單調性”的回答，最終在數形結合下選出了答案.

問題3：大家能在保持結論不變的情況下改變方框中的條件嗎？

生3：圖像過一、三、四象限.

生4：y隨x的增大而增大.

生4的觀點立即遭到了大家的反對，大家認為這一條件是不能保證b＜0的.

師：大家以為結論會不會和b的符號相關呢？

生5：一次函數的增減性只會和k有關聯，此題和b也是相關的.

生6：b＜0是多余的，因為不管b取何值，當y=b時都有x=0，因此只要k＞0，就有x1＜0＜x2.

大家紛紛贊同.

設計意圖：滲透數形結合的數學思想并引導學生對函數的增減性加強認知.

3.典例剖析

問題4：大家可否在圖2中獲得一定的信息？

眾生：這是一次函數的圖像；y隨著x的增大會減小；直線的關系式是當x＞4時，y＜0……

圖2

圖3

眾生：不對，OA不是斜邊.

師：生10的觀點雖然不一定正確，但等同學們學過三角函數后就會發現，確實是所有角度都是可求的，他的觀察能力很棒！

師：求四邊形OABC的面積是同學們的問題中最難的，大家有哪些辦法可以求解呢？

生11：S四邊形OABC=S△ABE-S△COE.

師：非常好，這就是轉化思想，運用規則圖形的面積相加或相減來求得不規則圖形的面積.

生12：S四邊形OABC=S△AOD-S△BCD.

生13：過點B作BF⊥CD于點F，則有S四邊形OABC=S梯形AOFE-S△CFB.

師：很好，用到了補形轉化.

生14：過點B作BH⊥OA于點H，則S四邊形OABC=S梯形COHB+

問題6：請大家觀察圖3并說說哪些問題可解.

生7：求交點B的坐標.

生8：四邊形OABC的面積和所有三角形面積都可求.

生9：所有線段的長度都可求.

生10：所有角度都可求.

生15：連接OB，則S四邊形OABC=S△OCB+S△OAB.

師：后面兩位同學用到了分割法，大家都很棒，書寫的時候還要注意規范性.

設計意圖：各層次的學生在開放性問題的提出與解決中得到了思維上的拓展，學生體驗數學思想方法的同時也為后續解析幾何的學習奠定了基礎.

4.勇于超越

問題7：如圖4，若直線l2過點C（0，1）并且與直線l1∶相交于點B，與x軸相交于點E（m，0）（m＜0），四邊形OABC的面積是則直線l2的關系式怎樣？

圖4

學生在這一道含參數的函數綜合題上感覺到了挑戰，但因為前面的討論，大部分學生很快明了了求點B的坐標這一解題核心.

普遍解法：S△BCD=S△AOD-S四邊形OABC，可得B的橫坐標是1，將x=1代入直線l1的解析式可得B

生15、生16則運用分割法求得了B點的坐標.

師：大家運用剛剛所學的方法解決了此題，表現得很好！

師：太不簡單了，這是運用了高中的“參數”思維進行解題的啊！

同學們紛紛鼓起掌來.

問題8：問題7中m＜0有用嗎？如果將其去掉是否可以呢？

這是一個留給學生課后思考的題目.

設計意圖：條件變式和逆向思維的問題設計令學生從不同角度對數形結合思想、坐標法進行了運用與體驗，學生分析問題、解決問題的能力在問題的不斷變化中得到了很好的鍛煉.

二、案例反思

教師在復習課教學時如果僅僅局限于知識的梳理與應用，必然難以激發學生的思維與學習激情，因此，教師應著眼于學生思維的放飛進行有意義的復習課教學.

1.創設情境，觸動思維放飛

創設情境往往能夠有效避免復習教學的枯燥，教師應著眼于學生認知與情感的發展進行情境的創設，將統領復習核心內容的情境引進課堂以暗示學生思維放飛的方向.本課所創設的“龜兔賽跑”及問題2中的“感知信息”都是圍繞本課復習核心而創設的，學生在圍繞主體知識的探索中展現出了積極放飛的思維.

2.開放問題，思維放飛有空間

開放的數學問題往往能為學生創造出思維任意馳騁的空間，提出問題往往依賴學生從新的角度思考問題所展現出的創新能力與想象能力.學生在問題2、4、6的解決中所提出的問題相當精彩，教師預設的復習重點及未曾預料的“未來知識”都在學生熾熱、繽紛的思考中得以展現.不僅如此，條件或結論上的開放與探索也使學生在更加寬闊的思維空間進行了思路的自我醞釀、矯正，元認知監控水平大力提升的同時也令學生的思維更為活躍而有深度.

3.圍繞主題，思維放飛有引領

教師在設計復習教學的問題串時應考慮學生的知識基礎、經驗基礎與能力基礎，然后設計出緊扣主題并明確指向核心知識的問題以促進學生的思考與探索.設計的問題可以看似無拘無束，但教師在設計問題時一定要注意其核心思想是統一的，緊緊圍繞復習的核心內容并令學生的思維在問題探索中肆意馳騁，學生只有在方向明確的思考中才會順利達成學習目標的實現.本案例的所有設計都是緊緊圍繞一次函數的圖像與關系式這一核心知識進行的，坐標法、數形結合、轉化思想等也都是本課教學目標中所包含的內容.因為案例中所有問題思想性的一致，學生的思維也始終在核心內容的范疇中盡情馳騁，有的放矢的設計令學生在綜合、抽象、創新中不斷挑戰自己的思維能力，很多學生也在切中題眼的問題分析與解決中展現出了靈活的解題能力，學習收獲與效率也因為思維的放飛而提升.

放飛學生思維令數學復習課堂充滿智慧，教師應極力促進學生思維的馳騁并因此獲得復習課堂的豐盈、生動、深刻與多彩.