一堂初三專題復(fù)習(xí)課的三次備課經(jīng)歷與教學(xué)感悟

2018-10-11 05:50:46江蘇省無錫市太湖格致中學(xué)尤曉珍

中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年18期

☉江蘇省無錫市太湖格致中學(xué) 尤曉珍

☉江蘇省無錫市濱湖區(qū)教研中心王華民

☉江蘇省無錫市太湖格致中學(xué) 周建平

在2018年3月召開的無錫市初三數(shù)學(xué)教學(xué)研討會上，筆者執(zhí)教了一堂專題復(fù)習(xí)課——一線三等角，經(jīng)歷了三次備課、試講及教后反思，對復(fù)習(xí)課教學(xué)有了進(jìn)一步的認(rèn)識.以下簡要記錄幾次備課的設(shè)計(jì)方案，呈現(xiàn)設(shè)置意圖及優(yōu)點(diǎn)和不足，從中獲得不少感悟，與數(shù)學(xué)同行分享.

一、三次備課經(jīng)歷

【第一次備課簡案】

（一）導(dǎo)入

觀察圖形，如圖1，當(dāng)∠A=∠B=∠CPD時，△CAP與△PBD有什么關(guān)系？

圖1

（引導(dǎo)學(xué)生得出△CAP △PBD及相似的理由）

（二）模型

（1）常見“一線三等角模型”圖譜（如圖2）.

（2）所謂“一線三等角模型”，即兩個相等的角一邊在同一直線上，另一邊在該直線的同側(cè)或異側(cè)，第三個與之相等的角的頂點(diǎn)在前一組等角的頂點(diǎn)所確定的線段上或線段的延長線上，該角的兩邊分別位于一直線的同側(cè)或異側(cè)，并與兩等角兩邊相交，就會形成一組相似三角形，習(xí)慣上把該組相似三角形稱為“一線三等角”型相似三角形.（通俗地講，一條直線上有三個相等的角一般會存在相似三角形）

圖2

（三）載體

（1）等腰或等邊三角形底邊上的“一線三等角”模型（如圖3）.

圖3

（2）矩形或正方形中的“一線三等角”模型（“K”字型）（如圖4）.

圖4

（3）平面直角坐標(biāo)系中的“一線三等角”模型（如圖5）.

（四）應(yīng)用

例1 如圖6，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，連接AD、DE，使∠1=∠B.

圖5

圖6

（1）當(dāng)BD=2時，求線段CE的長；

（2）求線段CE的最大值；

（3）當(dāng)△ADE為等腰三角形時，求BD的長.

例2 （2017年無錫中考副卷第28題改編）如圖7，在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=2，AP=1，將三角板的直角頂點(diǎn)放于P處，三角板的兩直角邊分別與AB、BC邊相交于點(diǎn)E、F，連接EF.

圖7

圖8

（2）將三角板從圖7中點(diǎn)的位置開始，繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時停止.

①∠PEF的大小是否發(fā)生變化？

②寫出從開始到停止，線段EF的中點(diǎn)所經(jīng)過的路線長.

例3 在平面直角坐標(biāo)系中，如圖9，直線l1∶y=-2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，將△OAB沿l1翻折，求O的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖9

（五）總結(jié)

1.“一線三等角”模型提煉、變式和運(yùn)用；

2.從復(fù)雜圖形中提煉出基本圖形、快速靈活運(yùn)用基本結(jié)論、反思、拓展.通過知識間的串聯(lián)，找出一些通性、通法，提高解題效率.

（六）拓展

（2015年無錫）已知：平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC 的頂點(diǎn)分別為 O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.

（1）問：是否存在這樣的m，使得在邊BC上總存在點(diǎn)P，使∠OPA=90°？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

（2）當(dāng)∠AOC與∠OAB的平分線的交點(diǎn)Q在邊BC上時，求m的值.

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)由導(dǎo)入、模型等六個環(huán)節(jié)組成，清晰明了，用了一個具體問題導(dǎo)入，引導(dǎo)學(xué)生探究圖形中的相似三角形，提煉出“一線三等角”模型，力求幫助學(xué)生認(rèn)識圖形及鞏固對圖形的認(rèn)識，為之后從復(fù)雜圖形中抽象模型做鋪墊.載體為常見的“一線三等角”模型的背景圖，出示最常用的三角形、四邊形以及平面直角坐標(biāo)系，其中矩形或正方形中的“一線三等角”模型就是學(xué)生熟悉的“K”字型.應(yīng)用部分與載體部分匹配，各出一個相應(yīng)例題，直觀清晰，利于學(xué)生準(zhǔn)確掌握.

不足點(diǎn)：上課伊始就出現(xiàn)“一線三等角”的模型，顯得較為突兀.其一，對學(xué)生而言，直截了當(dāng)?shù)爻尸F(xiàn)模型，學(xué)生沒有體驗(yàn)，不清楚為何要學(xué)習(xí)“一線三等角”.

（1）如圖8，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合，求此時PC的長.實(shí)踐證明，如果不明白學(xué)習(xí)的必要性，學(xué)習(xí)的效率自然要打折扣.其二，拓展部分鏈接中考，雖與“一線三等角”有關(guān)，亦能通過其他方法求解，并不能體現(xiàn)此法解決問題的必要性和唯一性.因此放于此處價值不高.其三，教師鋪設(shè)太多，學(xué)生思維訓(xùn)練尚不到位，似乎缺少了思辨的味道.

根據(jù)備課組同行提出的上述不足點(diǎn)，筆者進(jìn)行第二次備課.

【第二次備課簡案】

（一）情景再現(xiàn)

問題：（濱湖區(qū)初三期末卷第27題）如圖10，在等邊△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，把△ABC折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D處，折痕為MN，

圖10

（通過學(xué)生的回顧、解答，抓住解題過程中的關(guān)鍵詞相似、“三等角”，凸顯解題方法——運(yùn)用相似解決三角形中的邊角關(guān)系問題）

（二）抽象模型

點(diǎn)P在線段AB上（如圖2）.

點(diǎn)P在線段AB的延長線上（如圖11）.

圖11

（三）問題探究

問題：第一次備課的例1，減少（3）.

變式1：第一次備課的例2，減少（2）中的②.

變式2：（1）第一次備課的例3；

（2）直線l2過點(diǎn)P，且與直線l1的夾角是45°，求兩直線l1、l2的交點(diǎn)的坐標(biāo).

（四）回顧反思

1.“一線三等角”模型的特征，以及模型的提煉、變式和運(yùn)用；

2.從復(fù)雜圖形中提煉基本模型、快速靈活運(yùn)用基本結(jié)論、反思、拓展.

（五）課后思考

1.如圖12，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，有∠MDN=∠B，請找出圖中所有的相似三角形.

圖12

變式1：在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC上任一點(diǎn)，∠MDN=∠B.若DM⊥AB，是否有可能使S△DNC=4S△DMB？如果有可能，求BD的長.

變式2：在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC上任一點(diǎn)，∠MDN=∠B.若BD=4，是否存在這樣的位置，使△DMN成為直角三角形？若存在，求BM的長.

【設(shè)計(jì)意圖】第二次備課是以無錫市濱湖區(qū)初三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷的第27題作為導(dǎo)入，是基于以下考慮，其一，出示熟悉的考試題，讓學(xué)生有一種親切感，便于喚醒記憶，激發(fā)興趣；其二，通過回顧較難問題的解法，從等邊三角形中逐步抽象出“一線三等角”模型，讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)這一模型的必要性和現(xiàn)實(shí)意義；其三，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——數(shù)學(xué)抽象.等邊三角形是強(qiáng)條件，在此基礎(chǔ)上弱化條件——等腰三角形，只要底邊上出現(xiàn)一個與底角相等的角，就可以得到一條直線上的三個等角，由三等角可得相似，進(jìn)而能研究三角形中的邊角關(guān)系，以此讓學(xué)生覺得有必要深入研究“一線三等角”模型.緊接著呈現(xiàn)“一線三等角”兩類圖譜，讓學(xué)生找出其中的異同點(diǎn)，顯得非常自然，當(dāng)然本課側(cè)重于研究第一類常見圖譜.讓學(xué)生了解“一線三等角”模型可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得直觀、簡潔，便于歸納和內(nèi)化，有助于探索解決問題的思路.

在問題探究環(huán)節(jié)，有兩條主線.一是以“一線三等角”使用過程中的載體不同，分為三角形、四邊形，當(dāng)然它還能跟其他的如梯形、圓、拋物線等相結(jié)合，但都能回歸到三角形、四邊形這樣的基本圖形.而把平面直角坐標(biāo)系單獨(dú)分為一類，是因?yàn)榈玫较嗨坪笏凶约邯?dú)特的處理方式——坐標(biāo)法.第二條線是“一線三等角”的應(yīng)用也分三種不同情況，與前一條線結(jié)合起來運(yùn)用.已經(jīng)存在“一線三等角”，直接應(yīng)用模型解題，如果已有一線二等角，可以補(bǔ)上一等角后，利用模型解題，或者只有直線上一個角，可補(bǔ)上兩個等角，再利用模型解題.尤其是最后一種情況常作為壓軸題，當(dāng)給定一個特殊角或者指定該角的三角函數(shù)時，經(jīng)常通過構(gòu)造“一線三等角”解決.這樣設(shè)計(jì)，一方面，對原來幾個例題用“問題探究+變式”這條主線串起來，外延更清晰；另一方面，豐富了“一線三等角”模型的內(nèi)涵.課后思考部分主要是增加思維點(diǎn)，繼續(xù)研究模型，研究方向之一是點(diǎn)的特殊化，D為中點(diǎn)，得到三相似及兩角平分線；研究方向之二是角的特殊化，出現(xiàn)直角，可以結(jié)合三角函數(shù)進(jìn)行.整堂課采用從特殊到一般，再由一般回到特殊的方式展開教學(xué)活動.

不足點(diǎn)：以一道試題導(dǎo)入，學(xué)生難以抽象出“一線三等角”模型，對于實(shí)例進(jìn)行的抽象，一般實(shí)例不小于三個；這道試題作為一份試卷的壓軸題，難度較大，費(fèi)時偏多，有違課堂教學(xué)“低起點(diǎn)，高落點(diǎn)”的原則，雖然該班層次較高，但作為導(dǎo)入還是欠妥.在問題探究部分，課堂上引導(dǎo)學(xué)生識別“一線三等角”，還原“一線三等角”，創(chuàng)設(shè)“一線三等角”模型，即3個問題都是通過“一線三等角”模型解題，有點(diǎn)固化學(xué)生的思維，束縛其手腳，不利于學(xué)生思維的發(fā)展.我們可以預(yù)見，層次好的班級的學(xué)生必有不同解法，不妨提出來交流，師生一起比較不同解法的優(yōu)劣，促進(jìn)思維的碰撞.

根據(jù)同行的建議，筆者進(jìn)行第三次備課.

【第三次備課簡案】