基于數學核心素養視角下的命題嘗試
——以七年級數學期末考試壓軸題的命制為例

☉山東省濱州市鄒平縣實驗中學 郭春梅

☉山東省淄博市周村區王村中學 鄭學濤

一、問題提出

關于數學核心素養的內涵一直以來眾說紛紜，界定不一，但對于數學核心素養的終極取向，一線教師的定位基本一致，即培養學生的關鍵能力和必備品格，體現在課堂中就是綜合利用所學知識更快、更好地解決問題的能力，助力自己的成長和社會發展所需.考試是評價學生核心素養養成效果的重要手段，因此基于數學核心素養視角下的題目命制就要立足于綜合問題的解決，考查學生數學建模、邏輯推理、數學運算、幾何直觀等幾方面核心素養的調度、配合和切入能力，同時讓學生獲得終身受益的思維、能力和品格.

二、研發立意

命制試題的范圍主要包括的章節有全等三角形、軸對稱現象、勾股定理、實數、平面直角坐標系、一次函數.根據知識的特點和核心素養的終級目標的要求，壓軸題的命制落腳在重點考查一次函數的部分知識和技能，此外本次命題還有另外三個立意：第一，基于學生已經做過的習題，主要以教材例題和習題為主，增加原有問題的深度和廣度，設計新問題，使學生在解答問題時思維能夠快速切入新問題內部；第二，由于命制的題目為期末考試的壓軸題，因此要體現出一定的綜合性，最后的效果要保證解題需要應用兩個或者兩個以上的一級核心知識點或者核心技能，試圖挖掘學生對知識和技能的調配能力；第三，題目必須有一定的區分性，能夠立足于不同的人在數學上得到不同的發展，將具備不同數學素養的學生區別開來，體現出考試的區分性價值，便于教師作出學期末教學評價.

三、題目呈現

在平面直角坐標系中，有兩點A（0，2）和B（2，4）.

（1）如圖1，請在平面直角坐標系中找出這兩點的位置；（2分）

（2）如圖1，請在x軸上找一點P，使得PA=PB，請使用尺規作圖找到P點的位置，并結合具體運算求出P點的坐標，驗證尺規作圖所求點的正確性；（3分）

（3）如圖2，請在x軸上找一點Q，使AQ+BQ的值最小，找到Q的位置，并求出Q點的坐標；（3分）

（4）如圖3，請在x軸上找一點M，使MB-MA的值最小，求出M點的坐標，并簡要說明理由.（3分）

圖1

圖2

圖3

四、研發說明

本題依托平面直角坐標系命制，第一問體現出一定的基礎性，而第二問、第三問的首要要求是借助尺規作圖找到點的位置，其用到的知識、技能是作已知線段的垂直平分線和作已知點關于已知直線的對稱點，由于教材中有相關例題和習題，加之平時訓練充分，因此學生具有良好的思維和習慣基礎，能夠獲得一定的分數.而對于求出P點的坐標，按照筆者的預想，需要用到三角形全等和線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等兩個一級知識點，或者應用已知坐標求兩點之間的距離和線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等兩個知識點，雖然利用坐標求兩點之間的距離是立足于勾股定理這個一級知識點下的二級知識點，但學生在復習時有所觸及，也并非難題，也即從方法生成的角度來看，學生的選擇余地較大，視野也較為開闊，尺規作圖之后的幾何直觀能為學生提供良好的解題視角和端口.而第三問求Q點的坐標對于學生來說難度較大，要用到一次函數的模型解決問題，對于剛剛接觸一次函數模型的學生來說有一定的難度，但是只要學生擁有良好的“兩點確定一條直線”和“在平面直角坐標系中，已知兩點坐標即可求得過這兩點的直線表達式”及“Q點是直線與x軸的交點”的線性統籌能力，也能快速解決問題，獲得一定的分數，當然這需要學生有良好的幾何直觀（觀察Q的位置）、邏輯推理（幾何問題聯想代數方法）、數學建模（構造一次函數圖像模型）及數學運算（求一次函數表達式）等核心素養的調度統籌能力.第四問是本題的壓軸問，也是本試卷的壓軸一問，雖然并不難以計算，但對七年級學生來說，利用“三角形兩邊之差小于第三邊”求線段的最大值問題還是較為困難的，況且還要用到求一次函數的表達式的知識點，雖然二者均為課標規定的一級知識點或技能，但是二者跨度大，對優秀和良好的學生來說具有良好的區分性.

五、實際效果

從考查的知識點的全面性來說，本題基本達到了要求，這一點從題目的具體解答和本文所述的研發說明中即可看出.從考試的成績來看，本題基本達到預設的效果，本題滿分11分，全年級平均分為6.26分，與預設的難度系數0.6基本一致；而從閱卷卷面來看，幾乎所有的學生都能寫和畫，改變了以往學生看到壓軸題只字未寫的局面，而且本題的滿分率（優秀率）為8.37%，良好（8分）率為21.79%，基本實現了區分性；從考后的效果來看，試題具備了誘導反思的價值.由于七年級學生具備一定的反思能力，考試之后學生自發進行了幾方面的反思，主要體現在：第一，對于教師強調的重點知識、重要技能的掌握不夠精致，好高騖遠的思想普遍存在；第二，計算能力有待于提高（一些學優生將一次函數的表達式求錯）；第三，也是最重要的一點，體會數學各部分知識的整體性和聯系性對于解決綜合問題的價值，要更加注重課堂深度探究和深度思考，同時學生對教師的課堂教學增進了信任并產生合理范圍內的知識信仰.總體而言，題目對于學生的數學核心素養形成較為客觀的反映，對學生的學習態度和學習方法具有一定的引導和糾正價值.

六、命題感悟

1.數學核心素養下的數學命題要以公認的核心知識、技能為背景

數學核心素養具有高度聚合性，它是學生將來走上社會處理復雜問題經常使用的數學知識和技能，也是在教學中方便統籌其他數學知識和技能的“好東西”，因此教師在命題的時候要立足于數學核心素養的考查進行問題的設置，在本題中，解決第二問所用知識不但是課程標準明確規定的而且是所有版本教材中都會涉及的問題，先設計尺規作圖，實則是筆者想通過作圖幫助學生建立一定的幾何直觀，無論是利用全等還是兩點間的距離解決問題都要首先觀察到P點到A點和B點的距離是相等的，且證明全等和求兩點間的距離（其內涵還是勾股定理）都是數學核心的知識和技能，第二問和第三問的最終結果都是通過求解一次函數的表達式然后求一次函數與x軸的交點得到，能夠有效考查學生的建模思想和運算能力等數學核心素養.新課標修訂組負責人王尚志教授認為，在整個數學課程標準中，數學學科核心素養處于中心地位，“數學運算”是數學學科六個核心素養之一，因此考試題目的設置要基于一定量的計算，但考試設置“壓軸題”并不是為了為難學生，尤其是期末考試并非結業考試，試題不僅能對以前所學知識進行檢驗，也能夠為學生下一步的學習指明方向.

2.數學核心素養下的數學命題要具有積極的教學導向價值，更加有益于教與學

數學核心素養是著眼于學生未來的思維品質與關鍵能力，數學教學的問題性、過程性、整體性是數學核心素養培養的必由之路.數學核心素養不是一個學段的目標，而是終身學習的開始，因此每個學期學生所學的知識都會成為將來學生核心素養大廈中的一磚一瓦，為此數學核心素養下的數學命題要具有積極的教學導向價值，要使學生充分認識到課堂教學和課堂中的積極思考對于解決問題的價值，說教師不能說，言教師無法言的數學教學內涵，通過只可意會不可言傳的自覺反省、自覺頓悟傳遞給學生一些信息.數學的教育終歸是思維的教育，而無論這種思維是用數學的眼光看待具體的數學問題，還是通過解決數學問題培養了意志力、理想情操，只要題目設計得好都可以讓學生有所斬獲.本題很多小問題衍生于平時訓練的題目，如尺規作圖，求到兩點的距離相等和求距離之和最小，但是又對平時所解答的問題做出延伸，它讓學生認識到，隨著知識的學習，許多問題可以進行更加深入的思考和研究，包括學習新知識之后對舊問題更加細致的研究和探討，而教師通過這種手段進行價值引導，讓學生更加專注于課堂中的探索性問題，學生對教師的引導也能夠產生積極的信任，有益于下一步的教和學的達成，以便更好地在核心素養的養成中添磚加瓦.