關注基本圖形 滲透數學思想
——對一道七上期末統考壓軸題的命制與思考

☉浙江省海鹽濱海中學 姜黃飛

筆者有幸承擔了2018年嘉興市七年級上學期期末統考卷的命制工作，現將其中第26題（壓軸題）的命制過程及思考與各位同仁分享.

一、命題立意

作為七年級上學期期末統考的壓軸題，以關注初中數學核心知識和數學思想為前提，關注數學核心素養，要有一定的區分度，能夠反映出在思維上的較高要求；又想改變2016、2017年連續兩年對線段上動點問題的考查，改變一下壓軸題的試題背景，呈現一定的新意.綜合整份試卷的知識點的分布和思想方法的考查，制定雙向細目表，確定壓軸題以學生熟悉的一副三角板為素材，著重考查學生動手操作的實踐能力與數學基本素養，在問題解決的過程中突出考查角的和差、角平分線、一元一次方程等七年級核心知識點的應用，同時關注分類討論、方程思想等的考查.

二、命題過程

筆者將一副三角板如圖1所示放置，使得OA與OC在同一直線上，先固定三角板COD，將三角板AOB繞著點O順時針旋轉，在旋轉的過程中，OA、OB、OC、OD其中的一條邊所在直線均存在平分另兩邊組成角的情況，可以選取其中的一條用作命題的素材，既可以考查學生的動手操作，又可以考查分類討論的數學思想，同時在旋轉過程中，∠AOD、∠BOC等角度大小隨著旋轉在發生變化，可以研究它們在變化過程中存在的較特殊的關系，同時存在分類思想，這也可以用作命題的思考點，基于以上的思考形成一稿.

一稿：26.（8分）如圖1，一副三角板中各有一個頂點在直線EF的點O處重合，三角板AOB的邊OA和三角板COD的邊OC與直線EF重合，∠AOB=45°，∠COD=60°.

（1）則圖1中∠BOD的度數是多少？

（2）如圖2，三角板COD固定不動，若將三角板AOB繞著點O順時針旋轉一個角度α，在轉動過程中當OB平分OA、OC、OD其中的兩邊組成的角時（兩塊三角板都在直線EF的上方），求可能出現的所有情況的α的值；

（3）若將三角板AOB繞著點O順時針旋轉一周，請直接寫出OA所在直線恰好平分∠COD時∠AOE的值：_____.

圖1

圖2

診斷分析：第（1）問求∠BOD的度數，考查平角等于180°，也可以考查余角（過O作EF的垂線分割成兩個直角），進行角的和差計算.第（2）問學生可以通過操作按照順時針旋轉的順序依次發現，OB平分∠AOD，平分∠AOC，平分∠DOC時α的值.當OB平分∠AOD時，只需∠BOD=∠AOB，所以由第一問75°-α=45°，求得α=30°；當OB平分∠AOC時，只需∠BOC=∠AOB，即75°＋60°-α=45°，所以可得α=90°；當OB平分∠DOC時，α=75°＋30°=105°.第（3）問OA所在直線恰好平分∠COD時∠AOE的值恰好為互補的兩個角，即從直線EF的上方轉到了下方，進行完整的一周的旋轉.但考慮到第（2）問學生也可以直接通過角度的加減得到答案，沒有較好地考查一元一次方程知識的運用，且第（3）問還是考查角平分，沒有多大必要，需要改進，所以有了二稿.

二稿：題干和第（1）（2）問保持不變只改變第（3）問.

（3）在（2）的條件下，是否存在∠BOC=2∠AOD？若存在求出此時α的值，若不存在，請說明理由.

診斷分析：本小題抓住了在旋轉過程中，∠BOC和∠AOD的大小在發生變化，從而研究它們在變化過程中存在的兩倍關系，在旋轉的過程中還需要學生關注到一開始兩角都在減小，但∠AOD轉到AO與OD重合后又開始變大，所以要以OD為界即α在120°前后分段討論.有較好的區分度，又考查了核心知識一元一次方程的應用，題目的層次感和區分度都較為理想.但在審稿時各縣市的教研員提到一點，（2）（3）兩小問都需要分類討論，難度偏大，也考慮到2018年2月考試后就要過農歷的新年，同時七年級的孩子應該多一些鼓勵給孩子信心，快快樂樂過新年，建議降低難度.基于對孩子的人文關懷，筆者忍痛割愛有了第3稿，同時改進了一些語言上的表述，讓試題更簡潔、更嚴謹.

定稿：26.（8分）已知一副三角板按如圖1方式拼接在一起，其中邊OA、OC與直線EF重合，∠AOB=45°，∠COD=60°.

（1）求圖1中∠BOD的度數.

（2）如圖2，三角板COD固定不動，將三角板AOB繞著點O按順時針旋方向轉一個角度α，在轉動過程中當兩塊三角板都在直線EF的上方時：

①若∠BOC為90°，求旋轉角度α的值.

②是否存在∠BOC=2∠AOD？若存在，求此時的α的值；若不存在，請說明理由.

診斷分析：最后的定稿將第2稿的第（2）問角平分時的分類討論刪除，換成∠BOC為90°時，求旋轉角度α的值，難度降低了不少，但整個試題圍繞旋轉角度α展開，環環相扣，試題有較好的層次感，第（2）問的第②小問若要解答完整還是有一定難度的，試題有一定的區分度，能較好地考查核心知識，考查學生的分類意識、方程思想等數學素養.

三、試題解答及分值

解：（1）∠BOD=75°.（2分）

（2）①當∠BOC=90°時，α=45°.（2分）②ⅰ當0≤α≤120°時，∠AOD=120°-α，∠BOC=135°-α.

當∠BOC=2∠AOD時，135°-α=2（120°-α），所以α=105°，成立.（2分）

ⅱ當120°＜α＜135°時，∠AOD=α-120°，∠BOC=135°-α.

當∠BOC=2∠AOD時，135°-α=2（α-120°），所以α=125°，成立.（2分）

所以當α=105°，α=125°時存在∠BOC=2∠AOD.

四、命題思考

1.考查核心知識，聚焦核心素養

本題命制選取學生最熟悉的三角板為題材，以《義務教育數學課程標準（2011年版）》為指導，要求學生能探索圖形變換的性質，感悟圖形研究中運動變換的思想，以動態和相互聯系的觀點理解圖形的性質和相互關系，發現運動中的變與不變，研究變化中的數量關系.本題作為整份試卷的壓軸題，重點考查了七年級在幾何和代數上的兩大核心知識，角的相關知識和一元一次方程的應用.本題可以通過操作去發現問題，從兩塊三角板的擺放、旋轉通過數學抽象轉化成數學模型，可以直觀感受圖形的變化，聚焦直觀想象、數學抽象、數學建模，又通過等量關系列出一元一次方程，通過方程求解，考查學生的運算能力，可以說本道壓軸題既考查七年級上冊的核心知識，又充分聚焦了初中數學的幾大核心素養.

2.突出數學思想，兼顧人文關懷

從試題的設計初衷到最后的敲定終稿，除了關注核心知識的考查，還尤為關注數學思想方法的考查，從初稿的角平分線的分類討論，到定稿角二倍關系研究中的分類討論，由“形”：圖形的運動中的分界位置（本題中AO與DO重合時）前后變化，對應“數”（∠AOD由120°減小到0°，再變大的過程），都突出了數學思想方法的考查.另外定稿的降低難度，以及答案分值的設定，都充分體現對不同階段學生的人文關懷，七、八、九三個年級可以逐步提高一點難度，這使得這份試卷既有深度又有溫度，命制一份試卷真的要從多方面思考，不容易.

對于最后一題的解答，能解答完整的學生也不太多，30名學生的一個考場平均比例不到15%.統計結果顯示嘉興市海鹽縣整卷的平均分為77分，前15%學生的分數線在92分，較好地達成了預定目標.