靜定結構學與三角形的穩定性的來源及其表達

☉湖北省武漢科學技術館 張忠斌

三角形的穩定性的來源可以追溯到靜定結構學，其中有剛架、桁架、拱等結構，存在結構穩定性和結構不穩定性的論述；而在后來諸多結構力學中，所使用的術語是幾何不變體系和幾何可變體系.

本文結合靜定結構學、早期幾何、結構力學等相關內容，進行對比分析.或可讓我們更深刻地了解有關三角形的穩定性的來源，以及早期表達，并審視其作為幾何知識所存在的問題.

一、靜定結構學中的結構穩定性

錢今希編1952年版《靜定結構學》［1］有剛架、桁架等內容，摘錄如下：

剛架——這類結構的組成桿件是相互剛接的，即各桿件在接端是不可能有任何相對移動和轉動的意思.圖1所示的連續梁和房架即是代表這類型的.

桁架——這類結構的桿件是相互鉸接的，即各桿件的接端不能有相對的移動，但是在受荷重后結構發生形變時，桿件間的角度可以自由變動.圖2表示幾種常見的靜定桁架.

圖1

圖2

穩定和不穩定——自由度每一個結構，在外力的作用之下，都會發生形變，這是因為它的各部桿件，在受力中發生了壓縮、拉長或彎曲等應變的緣故.但是這些應變比起桿件原來的尺寸來是很微小的，所以結構的形變很小，不足以影響它的穩定.這種僅在桿件發生應變后才引起形變的結構是穩定的.

另外有些結構，在極微小的外力作用下，它就會發生很大的形變.形變的來源，不是因為各部桿件發生了應力和應變，而是結構本身組織的不健全的緣故，這就是不穩定結構.

圖3

圖4

圖3（a）的結構是不穩定的.經過增加一根斜桿，如圖3（b），便變成穩定的了.

又如三個構件用三個鉸相互聯結（如圖4），總的自由度該是3×3-3×2=3.這和一個單構件的自由度相同，這說明鉸接三角形本身是穩定的，這就是以后將敘述的桁架組織的基本原理.

該《靜定結構學》介紹分析了剛架、桁架、穩定和不穩定等概念，并論述了桁架組織的基本原理“鉸接三角形本身是穩定的”.但這個原理并不涉及剛架.從圖1中可以看出局部為U型的房架是剛架，具有穩定性.U型剛架都具有穩定性，那么剛接四邊形更具有穩定性.

二、三角形的穩定性的早期表達

對于三角形的穩定性，1960年的名稱是三角形的堅固性（穩定性）、三角形具有固定性（即三角形的剛性），1972年的名稱是三角形的穩定性.

1.彭樂元編著1960年版《平面幾何與生產實踐》［2］

當兩三角形三邊對應相等時，這兩個三角形就全等.根據這個定理可以知道，當三角形的三邊已知時，它的形狀就被固定了.三角形的這種堅固性（穩定性）可以應用到起重機的移動臂（如圖5）、橋梁及房屋架頂（如圖6）上去……木柵欄門上所釘的一根斜木條也是利用了三角形的堅固性.

2.陜西省紡織工業局編1960年版《幾何與三角教學參考資料》［3］

三角形具有固定性（即三角形的剛性），它在實際生活和生產中的應用是非常廣泛的.例如：建筑上“人”字形的屋梁和橋梁結構等，都是應用了三角形的固定性，關于這部分，最好用三角形和四邊形的架子，一面講一面做實驗.

3.成都電訊工程學院編1972年版《幾何》［4］

當你們坐的椅子或凳子搖晃了，如果釘上一根木條，使椅腿和座板構成一個三角形（如圖7），椅子就牢固了.你想過這里面的道理嗎？這是因為只要三角形的三條邊的長度固定了，這個三角形的形狀和大小就完全確定了.這就是三角形所具有的穩定性.三角形的穩定性在工程技術和日常生活中應用很廣，例如人字梯，只要用鐵鉤把梯子的兩邊連在一起，構成一個三角形，梯子就穩定不動.橋梁、屋架、吊架等多采用三角形結構，都是利用它的穩定性.容易看出，四邊形就不具備穩定性，當四邊形的四條邊長固定時，四邊形可以有各種不同的形狀.

圖5

圖6

圖7

三、三角形的穩定性與結構穩定性的對比

上述這幾本書都屬于理工類的課本或教學參考，而書中“三角形所具有的穩定性”觀點來源于《靜定結構學》桁架組織的基本原理“鉸接三角形本身是穩定的”；但前者存在兩個比較突出的問題：

（1）《平面幾何與生產實踐》中有“三角形”，《幾何與三角教學參考資料》中有“三角形和四邊形的架子”，《幾何》中有“四邊形就不具備穩定性”.簡單地用“三角形、四邊形”替代“鉸接三角形、鉸接四邊形”是否合理？

桁架組織的基本原理“鉸接三角形本身是穩定的”，并不適用于鋼架.除了“鉸接”多邊形之外，還應該有“剛接”多邊形，那么剛接四邊形具不具備穩定性呢？上述問題在幾何中都沒有討論.

“三角形所具有的穩定性”、“四邊形就不具備穩定性”分別等同于“鉸接三角形本身是穩定的”、“圖3（a）的結構是不穩定的”嗎？顯然，靜定結構學只能得出它自己的結論.

（2）《平面幾何與生產實踐》中有“當兩三角形三邊對應相等時，這兩個三角形就全等”，這就是三角形全等判定邊邊邊公理；“根據這個定理可以知道，當三角形的三邊已知時，它的形狀就被固定了”，即是說“三角形的這種堅固性（穩定性）”的依據是邊邊邊公理，但這與下文結構力學的“三角形規則”不相符.

作為幾何的一個知識點，三角形的穩定性既沒有設置鉸接、剛接、鉸接三角形和鉸接四邊形等概念，也沒有作出其幾何圖形，因而出現概念混淆、邏輯混亂等問題，讓人很難理解甚至被誤導.遺憾地說，三角形的穩定性并沒有建立良好的開端.

四、結構力學中的幾何不變體系

劉金春主編2008年版《結構力學》［5］有幾何不變體系、幾何可變體系內容，摘錄如下：

由梁和柱等直桿全部或部分采用剛性連接組合而成的結構，稱為剛架（或框架）.剛架的形式很多，有單跨單層的，見圖8.

圖8

圖9

僅在兩端與鉸結點相連的直桿，稱為鏈桿.全部由鏈桿和鉸結點組成的結構，稱為桁架.當其支座性質與梁的支座相同時，稱為梁式桁架，見圖9.

圖10（a）所示的是由兩根桿件與地基組成的鉸接三角形，當其受到任意荷載作用時，若不考慮材料的變形，則其幾何形狀與位置均能保持不變，稱這樣的體系為幾何不變體系.而圖10（b）所示鉸接四邊形，即使不考慮材料的變形，在很小的荷載作用下，也會發生機械運動而不能保持原有的幾何形狀和位置，這樣的體系稱為幾何可變體系.一般工程結構都必須是幾何不變體系，而不能采用幾何可變體系，否則將不能承受任意荷載而維持平衡.

圖10

圖11

圖11所示的三個剛片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由B、A、C三個單鉸兩兩相聯.假定剛片Ⅰ不動，我們來研究各剛片之間相對運動的可能性.由于剛片Ⅱ與剛片Ⅰ用鉸B相聯，故剛片Ⅱ只能繞鉸B轉動，其上A點的運動軌跡是以B為圓心，以AB為半徑的圓弧；而剛片Ⅲ與剛片Ⅰ用鉸C相聯，剛片Ⅲ只能繞C點轉動，其上A點的運動軌跡是以C為圓心，以AC為半徑的圓弧.而實際上剛片Ⅱ、Ⅲ是用鉸A相聯結的，A點既是剛片Ⅱ上的點，也是剛片Ⅲ上的點，它不可能同時沿兩個方向不同的圓弧運動，只能在兩個圓弧的交點處固定不動.于是各剛片間不可能發生任何相對運動，故該體系是幾何不變的，且無多余聯系.

……

平面幾何不變無多余約束體系的組成規則有三個：

①三剛片規則：三剛片用不在一直線上的三個鉸兩兩相聯.

②二剛片規則：兩剛片用一個鉸和一根不通過此鉸的鏈桿或三個既不全平行也不交于一點的三根鏈桿相聯結.

③二元體規則：在一個體系上增加一個二元體或拆除一個二元體，不改其幾何不變性.

三個規則的實質是三角形規則，即三角形的三個邊長一定，其幾何圖形是唯一確定的.

……

剛架和桁架都是由直桿組成的結構，兩者的區別是：桁架中的結點全部都是鉸結點，剛架中的結點全部或部分是剛結點.圖12（a）是一個幾何可變的鉸結體系，為了使它成為幾何不變體系，一種辦法是增設斜桿，使它成為桁架結構（圖12（b）），另一種辦法是把原來的鉸結點B和C改為剛結點，使它成為剛架結構（圖12（c））.由此看出，剛架中由于具有剛結點，因而不用斜桿也可組成幾何不變體系，使結構內部具有較大的空間，便于使用.

圖12

與鉸結點相比，剛結點具有不同的特點.從變形角度來看，在剛結點處各桿不能發生相對轉動，因而各桿間的夾角始終保持不變，如圖12（c）中虛線所示.

對該《結構力學》的上述內容進行分析：

（1）從幾何的角度看，該書的一大亮點是論述了“三角形規則”，即“三角形的三個邊長一定，其幾何圖形是唯一確定的”.這是三角形的確定性命題［6］. 顯然，結構力學中的幾何不變體系的三角形規則一直在尋求幾何依據.

（2）圖11是三剛片規則的論證過程，其描述與幾何作圖題“給定三邊作三角形，所作的三角形是唯一的”如出一轍.

（3）圖8單跨單層剛架看起來像U型結構，是幾何不變體系.

（4）若連接圖12中的A、D兩點，則圖12（c）可看作將圖12（a）的鉸結四邊形桁架改造成剛結四邊形剛架；那么圖12（c）是剛結四邊形，是幾何不變體系.

（5）“剛架和桁架都是由直桿組成的結構……剛架中的結點全部或部分是剛結點”，在理論上預示了剛結四邊形的存在.設若四邊形的四個結點都是剛結點，那么這個剛結四邊形是幾何不變體系.

五、結束語

幾何作圖可以看作數學上的理想實驗.有這樣一類幾何作圖題，即僅給定合適的邊長而不給定角度作多邊形，所作的三角形只有唯一一個，而四邊形、五邊形等則不是唯一一個.因而有三角形的確定性的一個結論：給定三邊，則三角形唯一確定.這就是結構力學中的三角形規則.另外還有四邊形的一個不確定性結論：給定四邊，四邊形不能唯一確定.

筆者不久前提出鏈式多邊形［7］，并幾何作圖鏈式三角形和鏈式四邊形.只是對應于幾何不變體系，三角形的穩定性應該更名為鏈式三角形的不變性或鉸結三角形的不變性.