夯實基礎是根本所在 落實素養為應然旨歸
——2018年安徽中考數學試題分析及教學啟示

☉安徽省阜陽師范學院附屬中學 劉國超

2018年安徽中考數學試卷結構繼續保持穩定，命題樸實，各種難度的試題比例適當.整體上試題較為常規，不少題目讓考生一見如故，平和親切，主要表現在注重基礎，關注數學的應用意識與創新意識，重視考查學生的基本數學素養.整卷試題對培養學生的創新精神、實踐能力，提升學生核心素養的數學課程、教學改革都有積極的導向作用.

一、試題特點分析

1.重視“四基”，著重考查數學核心內容

試題重視測量學生作為一名合格的初中畢業生應具備的數學基礎，這與《課程標準》《中考考試綱要》的相關要求保持一致.其中選擇與填空題的第1、2、3、4、5、6、7、8、9、11、12、13題都是單一知識點或者是在最基礎的知識交匯點上設置的，約占選擇與填空題的80%，考查了實數的有關概念、科學記數法、同底數冪的運算法則、常見幾何體的三視圖、因式分解、增長率問題、一元二次方程根的判別式、數據分析觀念與概率、函數圖像判斷題、數式規律、解一元一次不等式、格點作圖、列方程解應用題、三角函數的應用、圓的計算等知識點，都是近五年反復考查的，它們約占總量的70%，體現了《課程標準》倡導的“面向全體學生”的基本理念，考生解答這部分題目沒有太大的障礙，有利于考生心態的平穩，也有利于考生的正常發揮.

例1 （2018年安徽中考第3題）下列運算正確的是（ ）.

分析：根據整式的運算法則即可找出答案D.本題考查同底數冪的乘法、除法，冪的乘方與積的乘方：（ab）n=anbn，（am）n=amn等運算法則.

例2 （2018年安徽中考第16題）《孫子算經》中有過樣一道題，原文如下：

“今有百鹿入城，家取一鹿，不盡，又三家共一鹿，適盡.問城中家幾何？”

大意為：今有100頭鹿進城，每家取一頭鹿，沒有取完，剩下的鹿每3家共取一頭，恰好取完.問：城中有多少戶人家？

分析：本題考查一元一次方程的應用，要求學生熟練運用方程解決問題.根據鹿的頭數不變，列出一元一次方程求解即可：設城中有x戶人家，可列方程為100，解得x=75，所以城中有75戶人家.

數學素養考查方式分析：模型思想是從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學語言表達問題、用數學方法建立模型解決問題的素養.本題是一元一次方程模型的應用題，起點較低，入口較寬，考生上手容易，列出的方程也比較豐富，比如：設城中有x戶人家，列出的方程有x=3（100-x）；x+3（100-x）=2x；設城中有3x戶人家，列出的方程為3x+x=100；還有考生列出二元一次方程組的，甚至部分考生列出了分式方程進行解答.

2.強化數學思想方法，注重數學思維能力

安徽中考歷來重視數學思想與方法的考查，今年也不例外.如考查數形結合思想的有第10、13、17題；轉化思想則體現在第19、22、23題中；而分類討論思想則在第14題中體現.同時試題突出了對學生思維能力的考查.如第20題將尺規作圖（角的平分線）、勾股定理與圓的知識有機結合，考查學生的作圖能力和邏輯推理能力.總之，試題彰顯了數學核心素養從知識理解到運用數學知識解決問題的能力的提升，注重對學生數學思維能力的考查，體現《課程標準》的理念.

例3 （2018年安徽中考第14題）矩形ABCD中，AB=6，BC=8.點P在矩形ABCD的內部，點E在邊BC上，滿足△PBE △DBC，若△APD是等腰三角形，則PE的長為_____.

解析：由于四邊形ABCD是矩形，所以∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6，所以BD=10.

因為△PBE △DBC，所以∠PBE=∠DBC，所以點P在BD上.

如圖1，當DP=DA=8時，BP=2.

因為△PBE △DBC，所以PE∶CD=PB∶DB=2∶10，所以PE∶6=2∶10，即PE=1.2.

如圖2，當AP=DP時，P為BD的中點.

因為△PBE △DBC，所以PE∶CD=PB∶DB=1∶2，即PE∶6=1∶2，所以PE=3.

綜上所述，PE的長為1.2或3.

圖1

圖2

評析：這道填空題沒有提供圖形，卻滲透了分類討論思想，問題的設計具有一定的探索性，增加了該題的難度和區分度，使它成為填空題的一個亮點.從考生的答題情況看，有很多考生只填出來一個答案；也有部分考生填寫了三個、四個答案；只有很少的考生填對了兩個答案！因此該題是填空題中得分率最低的，這說明學生的畫圖能力和分類處理問題的能力都有待加強.建議在題目中注明相似三角形的對應頂點，以避免耽擱考生的思考時間.

例4 （2018年安徽中考第20題）如圖3，⊙O為銳角△ABC的外接圓，半徑為5.

（1）用尺規作圖作出∠BAC的平分線，并標出它與劣弧BC的交點E（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）若（1）中的點E到弦BC的距離為3，求弦CE的長.

圖3

分析：（1）以點A為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別與AB、AC有交點，再分別以這兩個交點為圓心，以大于這兩點距離的一半為半徑畫弧，兩弧交于一點，過點A與這點作射線，與圓交于點E，據此作圖即可.

（2）連接OE交BC于點F，連接OC、CE.由AE平分∠BAC，可推導得出OE⊥BC，然后在Rt△OFC中，由勾股定理可求得FC的長，在Rt△EFC中，由勾股定理即可求得CE的長.

數學素養考查方式分析：本題考查了尺規作圖——作角平分線、垂徑定理等，熟練掌握角平分線的作圖方法、推導得出OE⊥BC是解題的關鍵.從閱卷的結果看，角平分線的尺規作圖失分嚴重.作圖能力是發展幾何直觀這一素養的主要途徑.試題將作圖能力、邏輯推理能力、數學運算相互融合，多角度考查學生的數學素養.

例5 （2018年安徽中考第23題）如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為邊AC上一點，DE⊥AB于點E，點M為BD的中點，CM的延長線交AB于點F.

（1）求證：CM=EM；

（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；

（3）如圖5，若△DAE △CEM，點N為CM的中點，求證：AN∥EM.

圖4

圖5

分析：（1）在Rt△DCB和Rt△DEB中，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半進行證明即可得.

（2）根據直角三角形兩銳角互余可得∠ABC=40°，根據CM=MB，可得∠MCB=∠CBM，從而可得∠CMD=2∠CBM，繼而可得∠CME=2∠CBA=80°，根據鄰補角的定義即可求得∠EMF的度數.

（3）由△DAE △CEM，CM=EM，∠DEA=90°，結合CM=DM以及已知條件可得△DEM是等邊三角形，從而可得∠EDM=60°，∠MBE=30°，繼而可得∠ACM=75°. 連接AM，結合AE=EM=MB，可推導得出AC=AM，根據N為CM的中點，可得AN⊥CM，再根據CM⊥EM，即可得出AN∥EM.

數學素養考查方式分析：本題作為全卷的壓軸題，要求學生結合題目條件，綜合三角形全等、相似的知識進行邏輯推理與計算，有效承載了其應有的選拔和區分功能.

這也是一個梯度合理、層次發明的題目，第（1）和（2）問考生比較熟悉，絕大部分考生都能正確尋找條件完成解答；其中第（3）問的證法多樣，不同思維層次的學生添加不同的輔助線，構造出豐富的全等或相似圖形，公平、合理地考查學生分析問題和解決問題的能力與數學推理能力.充分展示了學生的數學素養！

3.適度創新，監測學生的數學素養

試卷的第14題以矩形ABCD為背景，考查了對等腰三角形進行的分類討論思想；第16題，選自《孫子算經》中的一元一次方程應用問題，使考生感受到中華民族優秀傳統文化的博大精深和源遠流長，激勵他們創造出更加輝煌的成就；第18題的數學抽象和推理、第19題的數學應用和數學建模；第20題意在考查學生的尺規作圖能力和邏輯推理能力，都具有較好的區分度，都對學生的核心素養進行了很好的考查，體現了“大穩定、小創新”的命題理念.

例6 （2018年安徽中考第18題）觀察以下等式：

……

按照以上規律，解決下列問題：

（1）寫出第6個等式：___________________；

（2）寫出你猜想的第n個等式：__________（用含n的等式表示），并證明.

數學素養考查方式分析：本題考查了等式變化的規律，通過觀察、歸納、抽象出等式的規律與序號的關系是解題的關鍵；同時考查了學生的抽象概括能力和推理能力，反映合情推理與演繹推理的關系，試題將邏輯推理和數學運算的數學素養有機結合起來進行考查.

4.關注應用，注意理論聯系實際

試卷重視數學知識的應用，背景來自于學生所能理解的生活現實與社會現實，如第19題以測量旗桿高度、第22題以大學生家鄉創業為命題背景，將數學知識與實際問題相結合，考查考生的閱讀理解能力及應用數學知識解決實際問題的能力，體現了數學的應用價值與人文特色，其中知識難度并不復雜，主要在計算能力上的要求較高，也對考生的閱讀理解能力、數據處理計算能力和數學思維進行了全方面的考查.

例7 （2018年安徽中考第19題）為了測量豎直旗桿AB的高度，某綜合實踐小組在地面D處豎直放置標桿CD，并在地面上水平放置個平面鏡E，使得B、E、D在同一水平線上，如圖6所示.該小組在標桿的F處通過平面鏡E恰好觀測到旗桿頂A（此時∠AEB=∠FED）.在F處測得旗桿頂A的仰角為39.3°，平面鏡E的俯角為45°，FD=1.8米，問：旗桿AB的高度約為多少米？

（結果保留整數）

（參考數據：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02）

解析：如圖6，因為∠AEB=∠FED=45°，所以∠FEA=90°.

答：旗桿AB的高度約為18米

數學素養考查方式分析：本題以現實生活中“測量旗桿高度”為背景設置問題，考查解直角三角形的基本方法、特殊三角函數值及數形結合的數學思想，把幾何直觀、數學建模與數學運算等數學核心素養有機結合起來進行考查，突出了應用意識和創新意識.雖然解題方法多樣，但是要求考生經歷實際問題→數學模型→應用模型→解決問題的過程，能讓不同層次的學生展示自己對數學建模的理解，同時要求考生能清楚地表達自己的思考過程和結果，具有良好的區分度，彰顯了《課程標準》增強數學應用意識的理念.

圖6

二、學生答題錯誤原因分析

1.基礎知識掌握不扎實

從試卷中的基礎題的答題情況看，部分學生對基本概念和基本原理掌握不牢，存在知識盲點.表現在對同底數冪的運算、科學記數法、因式分解的意義、立方根的定義、負整數指數冪等知識理解模糊，特殊角的三角函數值混淆，沒有掌握平行四邊形的判定方法等.另外，從第17題可以看出學生的位似作圖能力弱；第20題要求考生用尺規完成基本作圖——作角的平分線，得分率低于40%！

2.運算能力不過關，計算過程出錯

例如，第15題考查了實數的運算，是一道基礎題，但得分率僅為65%，失分的因素主要有：將5°錯誤寫成等于0或5；把錯誤寫成4；以及計算錯誤，如產生錯誤的原因是不理解零指數冪的意義、算數平方根的意義等.

又如，第22題第（2）小題求二次函數的最大值的過程中，部分考生出現160×50=800、160×50=9000、19×50=1350等錯誤；有的對二次函數解析式進行配方變形出現錯誤；還有的考生在配方變形中出現了較大的分數，就懷疑錯誤而終止了繼續解答；這一小題平均得分僅為1.03分（本小題滿分6分），反映了很多考生不具備較扎實的基本功和運算能力.

3.推理論證不縝密

考查思維和推理能力是中考數學試卷的主要功能之一，通過閱卷反映出學生在這兩方面的能力欠缺，表現出不能從已知條件出發，判斷結論的真偽、不能對題目中的信息進行整合、轉化、不能從復雜的圖形中分離出基本圖形、幾何證明思路混亂等.例如，第23題的證明就是如此，考生普遍感覺有些難度（本題滿分14分，第一問第（1）小題4分，實際平均得分1.21分；第（2）小題5分，平均得分0.94分；第（3）小題5分，平均得分0.23分），在整個試題中本題得分最低！

三、教學啟示

1.夯實基礎是根本所在

中考試題體現了《課程標準》倡導的“對基礎知識和基本技能的考查，還要注重考查學生對其中所蘊含的數學本質的理解，考查學生能否在具體情境中合理應用，這為我們的教學指明了方向.中考試卷中的很多問題來源于教材，教材的編寫突出基礎知識、基本技能、基本數學思想和數學基本活動經驗.

比如，教材中的幾何內容，在教學中要重視學生對概念、公理、定理的理解與運用，中考幾何題多以基礎題為主，試題源于教材又異于教材，綜合題的原型基本是教材中的例題或習題，是教材中題目的引申、變形和組合.注重基礎和突出思維能力仍是教學的著力點.

因此，在教學中應立足于教材，合理定位、準確把握教學方向，要注重觀察歸納能力、抽象能力、想象力和創造力的培養，不以解決問題作為教學的終結點，而應將數學基本活動經驗的積累貫穿在全過程中，讓學生在學好基礎知識、掌握基本技能的同時強化思維能力培養，并通過不斷的積累運用，內化為自己的知識經驗，切實夯實基礎.

2.落實素養為應然旨歸

在平常的課堂教學中，讓學生夯實基礎是培養學生數學素養的必然途徑.在復習教學中，發揮評價的激勵功能.一方面通過變式訓練，讓學生理清問題的實質，找到易混的知識點，并加以區別、辨析，有助于學生鞏固所學知識、提高復習效率，同時進一步總結蘊含數學核心素養的重要知識的表現形式、總結體現數學思維和問題解決型的題目的規律，提升復習效果；另一方面，在教學過程中，要給學生反思自己思維過程的時間和機會，引導學生重視反思解決問題用到的數學思想方法和技能，在解決問題的過程中走過哪些彎路、犯過什么錯誤，這有助于學生克服再錯現象，積累經驗教訓，提高思維能力，在面對考試的時候，就可以找出合理的解答路徑，從容應對.讓平常的課堂教學與中考復習教學一以貫之，培養與發展學生的數學素養得到真正落實！

3.在學生解題表達的邏輯上反思教學要嚴謹思維習慣，注重有條理地表達

數學語言是數學思維和數學交流的工具.閱卷時我們發現部分考生因看不懂題干而無法做題；有部分考生因解題不規范，證明時語言不準確、思維混亂而失分的現象普遍存在；也有部分考生認為作答題目時需要怎樣的條件和結論，就想當然地寫出這個條件和結論，憑自己對幾何圖形的觀察直接寫出需要的結論，全然不考慮它的依據.因此，在教學中，我們不僅要重視培養數學推理必須步步有據，解題表達要合乎邏輯，還要重視細節教學（如書寫格式的規范化、證明依據的規范使用等），加強學生數學語言的訓練，讓學生能夠自覺地將文字語言、圖形語言、符號語言相互轉換，養成合乎邏輯、有條理地表達的素養.

總之，今年中考試卷持續體現對數學核心素養的重視，既考查了數學的核心內容，又對數學課堂教學產生積極的導向作用.因此，在教學中要注重數學“四基”，提高學生的思維水平，提升應用意識與創新意識，加強教學思想方法的滲透及數學素養的培養，夯實基礎是根本所在，落實素養為應然旨歸.