回顧反思想清結構，預設鋪墊拾級而上
——“菱形存在性”考題的解析與教學建議

☉江蘇蘇州高新區實驗初級中學 楊 穎

菱形的存在性綜合題是不少中考把關題的設問方式，這類問題往往只給出待定菱形的兩個頂點，而另外兩個點都是動點（其中一個在某直線上運動，另一個則隨前一動點而定），本文選擇兩道2018年中考試題的最后一問，講評思路突破，并跟進教學建議，供研討.

一、“菱形存在性”考題的思路突破

考題1：（2018年重慶A卷，第26題，有刪減）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點A在拋物線y=-x2+4x上，且橫坐標為1.直線AB平行于x軸，交拋物線于另一點B，點P為線段AB上方拋物線上的任意一點，過點P作AB的垂線交AB于點H，點F為y軸上一點，連接FH.

（2）如圖2，設點Q在直線AB上，且Q點的橫坐標為-1，點R為拋物線的對稱軸上一點，在平面直角坐標系中是否存在點S，使以點D、Q、R、S為頂點的四邊形為菱形？若存在，求點S的坐標；若不存在，請說明理由.

圖1

圖2

圖3

（2）菱形的分類討論本質上是等腰三角形的分類討論，分析出△DQR為等腰三角的不同情形，構造圖4，可分析出符合要求的共有4個點，依次得出它們的坐標

圖5

圖4

進一步分離圖形分析出點S的4處對應位置（如圖5），依次求出它們的坐標為

考題2 （2018年浙江衢州，第24題，有刪減）如圖6，Rt△OAB的直角邊OA在x軸上，頂點B的坐標為（6，8），直線CD交AB于點D（6，3），交x軸于點C（12，0）.動點P在x軸上從點（-10，0）出發，以每秒1個單位的速度向x軸的正方向運動，過點P作直線l垂直于x軸，設運動時間為t.請探索當t為何值時，在直線l上存在點M，在直線CD上存在點Q，使得以OB為一邊，O、B、M、Q為頂點的四邊形為菱形，并求出此時t的值.

圖6

思路突破：先分析△OBQ為等腰三角形的不同情形，構造圖7、圖8進行分析，得出Q的4種不同位置，Q點的橫坐標依次為再依次分析出對應的M點的位置，M點的橫坐標依次為：-10、6、對應著點P從（-10，0）向右出發，可得對應的t的4個值依次為：0、16、

圖7

圖8

二、教學建議

1.教師注重解后反思，想清問題結構，明辨備課重點

對于各地中考壓軸題來說，很多老師都有解題興趣，往往能基于個人解題經驗或喜好，構思出很多不同解法.然而，相對于一題多解的解法研究，多解歸一的反思是更有意義的解題研究，因為多解歸一往往就能看清問題結構，問題結構則可與學生所學的基本概念、重要定理、基本圖形等直接聯系起來，這樣就有了備課時的起點，可以選擇從基本概念、重要定理或基本圖形的復習出發，通過恰當的變式拓展演變到待講評的問題中去，這當然也是備課重點，也就可以有效化解學生處理這類問題的難點.比如，上文中的考題1“求PH+的最小值”，這一設問的結構是垂線段最短，如何向這個方向轉化，則需要熟悉正比例函數y=kx的圖像與坐標軸的夾角，熟悉含30°角的直角三角形的邊角關系，想清以上幾點，預設講評時就可把這些知識點或基本圖形的性質做一個梳理、整合，起到一個預熱的情境創設的作用，對后續問題的攻克與講評起到很好的鋪墊作用.

2.引導學生排除干擾，善于目標解析，學會逐個突破

綜合題講評的效率問題是值得深入研討的，常常是一道綜合題講評之后，會的學生原來就會，不會的學生還是“云里霧里”、似懂非懂，問題稍一變式則又陷入僵局.以本文關注的菱形存在性問題來看，菱形存在性問題的本質是等腰三角形的存在性.這類菱形存在問題首先要引導學生回顧復習菱形的性質，不只是教材上關于菱形的邊、角、對角線的性質，還要把菱形與等腰三角形聯系起來，思考菱形的對角線將菱形分成的三角形都為等腰三角形這一性質，這樣就可以把菱形存在性問題轉化為等腰三角形的存在性問題，而探究等腰三角形的存在，往往是已知兩個定點，第三個頂點待定，這時需要以兩個定點的連線段為邊、對角線分別討論，確定第三個頂點的不同位置；在此基礎上再研究菱形的第4個頂點的位置.等學生都熟練掌握了菱形的存在性問題如何探求之后，再把原問題中的無關線條、圖形通過刪減或重新畫圖的方法，引導學生學會排除干擾，開展目標解析，逐個突破，攻克這類問題.

3.設計鋪墊式問題，讓學生拾級而上，自主挑戰難題

開展這類綜合題或壓軸題的解題教學時，教師需要精心設計教學的各個環節，在明辨教學重點與難點之后，對于重點或難點之處要適當“停下解答”，通過一些鋪墊式問題引導學生拾級而上，想清問題，開展目標解析，而不是匆忙給出解答.比如，當學生對已知兩個定點探求菱形另外兩個點的坐標沒有明確的解題方向時，就需要引導學生“以退為進”，先思考“已知兩個定點、第三個頂點在某條直線上運動，分析這三個點形成等腰三角形”的解題流程，并在此基礎上再思考菱形與等腰三角形的關系，從而最終攻克菱形第四個頂點的坐標.在這個過程中，如果學生的構圖誤差大，則不利于等腰三角形的分析，進而影響菱形第4個頂點的分析.解題教學時，如果能夠常常引導學生“以退為進”地思考問題，不但能解決一道試題，更重要的是能讓學生在此過程中收獲、感悟“善于退”（華羅庚先生 語）解題策略，而且在“退”的過程中，教師也可診評出學生的真正障礙所在，有哪些知識或方法上的薄弱點，在后續跟進的練習或講評中還需要進行訓練或變式再練.

三、寫在后面

中考解題研究是很多一線教師的教研熱點，然而從很多網絡（QQ群、微信群或一些自媒體公眾號）可見，解題研究的興趣點往往是解法探討，模型化小結（甚至很多個性化的名詞或“無厘頭”概念），有些“網紅”模型甚至被少數中考試卷借鑒.筆者無意評論上述現象的積極與消極，只是想提醒有此喜好的老師們，在研究解法之余，最好能從解法研究走向教學研究，構思教學微設計、鋪墊式問題或同類結構問題的鏈接與拓展，這樣也許就在解法研究的同時，更好走上服務到解題教學的方向了吧.