外接球的四種解法案例

□ 海南省東方市東方中學(xué) 王懷丹

□ 海南省東方市民族中學(xué) 張利平

球是空間幾何中的重要幾何體，也是普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修二的重要知識點(diǎn)之一。求一些簡單幾何體外接球的表面積、體積，以及與外接球有關(guān)的簡單幾何體的體積和距離等計(jì)算問題是高考考查的重點(diǎn)、難點(diǎn)和命題的熱點(diǎn)，解決這類問題的關(guān)鍵在于確定外接球的球心位置，球心到幾何體任一頂點(diǎn)的距離即為外接球的半徑。因此，從觀察空間幾何體，認(rèn)識整體圖形入手，以我們熟悉的正方體、長方體為載體，推廣到對正棱柱、棱錐的結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識和理解，由這些幾何體的結(jié)構(gòu)特征抽象出外接球的球心位置，尋找?guī)缀误w中點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，進(jìn)而求出外接球的半徑。

從近幾年全國各省的高考試題來看，經(jīng)常出現(xiàn)與外接球有關(guān)的問題，這一類問題在各省高考中得分率較低，大部分學(xué)生都感覺不知道如何下手。歸根結(jié)底在于學(xué)生對空間問題的想象能力、推理能力和計(jì)算能力都有所欠缺。本文將結(jié)合自己在教學(xué)過程中的做法，從四道高考題中歸納出有關(guān)外接球問題的四種題型，進(jìn)而推廣出與外接球有關(guān)問題的四種具體解法，以便學(xué)生比較容易地掌握球的性質(zhì)及與外接球的有關(guān)的計(jì)算問題。

案例一：求與長方體（正方體）外接球有關(guān)的計(jì)算問題

例1.（2007年天津卷理科第12題）已知各頂點(diǎn)都在一個球面上的長方體的三條棱長分別為1、2、3，則此球的表面積為__________。……