初中生解圓與函數(shù)綜合題中存在問題分析

梁丹

摘要：從中考試卷來看，圓與函數(shù)綜合題是各省中考中出現(xiàn)頻率最高的題目之一。但是，對(duì)于初中生來說，此類題目難度較大，始終是中考中的一大失分點(diǎn)。調(diào)查顯示，學(xué)生對(duì)該類題目的興趣、態(tài)度、認(rèn)知、解題習(xí)慣、總結(jié)與反思上存在問題，建立在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生樹立并逐個(gè)實(shí)現(xiàn)小的學(xué)習(xí)目標(biāo)，建立和諧通暢的師生關(guān)系，注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)和反思。

關(guān)鍵詞：初中生；圓與函數(shù)；調(diào)查

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2018）08-0031

圓與函數(shù)綜合題重點(diǎn)考查的是學(xué)生綜合運(yùn)用幾何知識(shí)和函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。平面幾何有助于學(xué)生邏輯推理和論證能力的培養(yǎng)，函數(shù)有助于學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。將兩大模塊知識(shí)融合在一起，可以形成綜合性強(qiáng)、形式多變的綜合類問題。從中考試卷來看，圓與函數(shù)綜合題是各省中考中出現(xiàn)頻率最高的題目之一。但是，對(duì)于初中生來說，此類題目難度較大，始終是中考中的一大失分點(diǎn)。在此，筆者就對(duì)學(xué)生解決圓與函數(shù)綜合題中存在的問題加以分析，并提出相應(yīng)的對(duì)策。

一、研究方法

為了對(duì)初中生解圓與函數(shù)綜合題中存在的問題進(jìn)行定量研究，筆者選取自己所在學(xué)校九年級(jí)的285名學(xué)生作為樣本，對(duì)其對(duì)圓與函數(shù)綜合題的興趣、態(tài)度、認(rèn)知、解題習(xí)慣和總結(jié)反思情況進(jìn)行了問卷調(diào)查。此次調(diào)查共發(fā)放調(diào)查問卷285份，回收問卷280份，其中有效問卷276份，回收率和有效率分別為98.2%和98.6%。對(duì)于調(diào)查數(shù)據(jù)，采用Excel2003進(jìn)行了系統(tǒng)分析。

二、調(diào)查結(jié)果分析

1. 學(xué)生對(duì)圓與函數(shù)綜合題的興趣

俗話說，興趣是最好的老師。如果學(xué)生沒有學(xué)習(xí)興趣，那么學(xué)習(xí)就會(huì)成為一種折磨，不可能學(xué)懂、學(xué)會(huì)和解決問題。從調(diào)查來看，表示“喜歡”和“非常喜歡”圓與函數(shù)綜合題的學(xué)生累計(jì)達(dá)到了69.6%，這說明超過三分之二的學(xué)生對(duì)圓與函數(shù)綜合題并不反感，這一結(jié)果是令人欣慰的。另外，選擇“一般”的學(xué)生占10.8%，選擇“不喜歡”的學(xué)生占19.6%。走訪選擇“不喜歡”的學(xué)生，他們給出的理由主要有三個(gè)，分別是數(shù)學(xué)教師要求太嚴(yán)，不喜歡他的教學(xué)風(fēng)格；數(shù)學(xué)基礎(chǔ)太差，跟不上，不喜歡數(shù)學(xué)；多次努力學(xué)習(xí)成績(jī)都不理想，內(nèi)心很失落。這說明，教師的行為對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣有一定的影響，九年級(jí)學(xué)生思想和行為都相對(duì)稚嫩，容易受外界影響，教師應(yīng)該注意自己教學(xué)行為、教學(xué)風(fēng)格和教學(xué)方法對(duì)學(xué)生的影響，努力促進(jìn)學(xué)生的健康發(fā)展。

2. 學(xué)生對(duì)圓與函數(shù)綜合題的態(tài)度

調(diào)查顯示，當(dāng)平時(shí)遇到圓與函數(shù)的綜合題時(shí)，11.6%的學(xué)生會(huì)翻閱自己做過的題目或教科書，這部分學(xué)生的思想是積極的，具有專注精神和獨(dú)立思考精神，思維始終處于興奮狀態(tài)，有助于解題效率的提高；43.8%的學(xué)生會(huì)求助同學(xué)或教師，其獨(dú)立精神和解決問題的積極性略顯不足，教師應(yīng)該適當(dāng)?shù)馗淖兎绞剑膭?lì)他們從自己做過的題目或教科書中尋找答案，如仍失敗可給予適當(dāng)提示；27.2%的學(xué)生會(huì)胡亂寫寫應(yīng)付了事，對(duì)于此類學(xué)生應(yīng)當(dāng)尤其注意，不能直接置之不理，否則學(xué)生會(huì)變本加厲，長(zhǎng)期下去遇到題目將不知如何下手。剩下的17.4%的學(xué)生會(huì)直接忽略掉，此類學(xué)生應(yīng)該多給予鼓勵(lì)，找準(zhǔn)其興趣點(diǎn)，引導(dǎo)其構(gòu)建起適合自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，逐漸增加其學(xué)習(xí)興趣和解題的積極性。

調(diào)查中還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)教師講解圓與函數(shù)綜合題時(shí)，72.5%的學(xué)生會(huì)跟著教師的思路聽講，17.4%的學(xué)生表示遇到聽不懂的地方就不聽了，另有4.3%的學(xué)生表示根據(jù)自己的心情決定聽還是不聽。聽不懂就不聽的學(xué)生多是注意力不能長(zhǎng)時(shí)間集中，遇到較長(zhǎng)的題目或者題目關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)時(shí)，可適當(dāng)?shù)亻_玩笑，讓其思維稍微休息一下再重新回到問題上來；聽課隨心情的學(xué)生明顯過于情緒化，應(yīng)該給予更多情感上的關(guān)注和關(guān)心。還有5.8%的學(xué)生表示聽也聽不懂，主要是因?yàn)槠鋵W(xué)習(xí)屢受挫折，缺少成功感，不妨在課堂教學(xué)過程中讓其多解決一些比較容易的問題。

3. 學(xué)生對(duì)圓與函數(shù)綜合題的認(rèn)知

對(duì)于圓與函數(shù)綜合題，學(xué)生的回答基本相同，都認(rèn)為就是綜合了圓與函數(shù)知識(shí)的問題，這說明他們對(duì)此類問題的特征認(rèn)識(shí)并不深刻。對(duì)于教師講解的圓與函數(shù)的綜合題，能全部理解的學(xué)生占48.6%，能理解絕大部分的學(xué)生占18.8%，能理解一半以上的學(xué)生占9.4%，其他學(xué)生則是理解一半以下的。這說明67.4%的學(xué)生能理解教師講解的題目。走訪中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生不能理解的往往是圓與函數(shù)綜合題的最后一問，能聽懂一半以上或一半以下的學(xué)生多是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生。能理解教師講過的題目，但經(jīng)常不會(huì)自己獨(dú)立解題的學(xué)生所占比例高達(dá)82.9%，這說明他們的知識(shí)遷移能力較弱，沒有將教師講的數(shù)學(xué)方法優(yōu)化整合到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，遇到同樣的問題情境都不能提取到有效的數(shù)學(xué)方法，更不能解決全新的數(shù)學(xué)問題了。

4. 學(xué)生解決圓與函數(shù)綜合題的習(xí)慣

初中圓與函數(shù)綜合題通常文字?jǐn)⑹鲚^多，理解題意是解題的第一步。從調(diào)查來看，初中學(xué)生往往難以理解此類題目的題意，因而無(wú)法進(jìn)入后續(xù)的解題步驟。其中只有39.5%的學(xué)生會(huì)在閱讀題目時(shí)提取重要信息，52.9%的學(xué)生表示偶爾會(huì)有該類行為，另有7.6%的學(xué)生則完全不會(huì)有該類行為；有61.6%的學(xué)生在解題時(shí)，都是先看問題，而后根據(jù)問題尋找已知條件的，這非常令人滿意。在遇到圓與函數(shù)的綜合性大題時(shí)，43.8%的學(xué)生會(huì)“解一步是一步”，而且更多的學(xué)生會(huì)先建立各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系之后再解題，這說明學(xué)生在知識(shí)點(diǎn)提取時(shí)遇到了障礙，只要突破了這一個(gè)問題，就會(huì)順利解題了。

5. 學(xué)生對(duì)綜合題解題的總結(jié)與反思

對(duì)錯(cuò)題的收集、整理和反思是極有必要的。調(diào)查顯示，學(xué)生對(duì)于自己解題中出現(xiàn)的錯(cuò)誤態(tài)度不一，總是及時(shí)改正錯(cuò)誤的學(xué)生占58.7%，經(jīng)常會(huì)及時(shí)改正錯(cuò)誤的學(xué)生占31.2%，7.2%和2.9%的學(xué)生出現(xiàn)此類行為的頻率分別是偶爾和從不。走訪發(fā)現(xiàn)，偶爾會(huì)改正錯(cuò)誤的學(xué)生認(rèn)為只要聽得懂就行了，那么長(zhǎng)的答案，抄不抄無(wú)所謂，聽不懂抄了也白抄。而從不改正錯(cuò)誤的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)完全沒有興趣，不會(huì)做也不想聽。對(duì)于錯(cuò)題反思總結(jié)，有14.5%的學(xué)生認(rèn)為非常重要，認(rèn)為一般和不重要的學(xué)生分別占23.2%和27.5%，另有34.8%的學(xué)生不知道怎樣進(jìn)行反思。在所有學(xué)生中，擁有錯(cuò)題本的學(xué)生占49.3%，即使這部分學(xué)生，也僅僅是把錯(cuò)題和正確答案抄下來，而不會(huì)分析自己究竟錯(cuò)在哪里。

三、初中生圓與函數(shù)綜合題教學(xué)策略

針對(duì)前面的調(diào)查結(jié)果，在圓與函數(shù)綜合題的教學(xué)中，應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)：

1. 引導(dǎo)學(xué)生樹立并逐個(gè)實(shí)現(xiàn)小的學(xué)習(xí)目標(biāo)

在教學(xué)過程中，應(yīng)該認(rèn)真研究學(xué)生的解題障礙，因人而異地設(shè)立小的學(xué)習(xí)目標(biāo)，為其提供最為恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)任務(wù)，讓他們逐漸體驗(yàn)到成功的樂趣，逐漸喜歡上挑戰(zhàn)思維極限，消除畏難情緒，擁有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信心。如在“圓與二次函數(shù)的綜合運(yùn)用”的教學(xué)中，可將核心目標(biāo)“圓與二次函數(shù)的綜合運(yùn)用”分解為圓與二次函數(shù)的位置關(guān)系、取值范圍和特殊圖形的構(gòu)造三個(gè)小的學(xué)習(xí)目標(biāo)，并分別選擇一道例題、兩道練習(xí)題進(jìn)行教學(xué)。在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，應(yīng)該與學(xué)生共同分析出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因，幫其消除解題障礙，通過鼓勵(lì)為其傳遞積極進(jìn)取的情緒，獲得成功的快樂，逐步實(shí)現(xiàn)既定的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

2. 建立和諧通暢的師生關(guān)系

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該在保持自己教學(xué)風(fēng)格的同時(shí)，讓學(xué)生感受到平等的態(tài)度。對(duì)于學(xué)生問的問題、犯的錯(cuò)誤，要多些耐心，時(shí)刻注意學(xué)生的心理變化，給予足夠的關(guān)心和幫助，真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)上的合作者和引導(dǎo)者，關(guān)于通過語(yǔ)言行為和非語(yǔ)言行為來表達(dá)自己對(duì)學(xué)生的情感，讓學(xué)生感覺到自己的期待。如當(dāng)學(xué)生掌握了最基本的圓與一次函數(shù)的綜合題目的解答思路之后，可以回報(bào)以會(huì)心的微笑、微微的點(diǎn)頭，讓他們感到教師對(duì)他們的肯定；當(dāng)學(xué)生遇到了圓與二次函數(shù)的綜合題目一時(shí)找不到思路時(shí)，親切地注視著學(xué)生，讓他們感覺到教師的期待。如此，師生的獨(dú)立性都得到了尊重，創(chuàng)造性得到了充分發(fā)揮，教與學(xué)在相互融合中都得到了發(fā)展。

3. 注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力

在講解圓與函數(shù)綜合題時(shí)，應(yīng)該注意已知條件的分析，并用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)符號(hào)寫在黑板上，遇到動(dòng)態(tài)問題則要標(biāo)注清動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)，深入挖掘題目隱含條件，逐漸培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力和數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力，學(xué)會(huì)將陌生的問題情境轉(zhuǎn)換成為熟悉的問題情境，逐漸形成程序性的知識(shí)鏈接。如對(duì)于二次函數(shù)與拋物線交點(diǎn)的問題，可以指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形，整理成為簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言：兩個(gè)二次方程聯(lián)立得出根的判斷式，如果Δ>0，有兩個(gè)交點(diǎn)；如果Δ=0，有一個(gè)交點(diǎn)；如果Δ<0，沒有交點(diǎn)。這樣，學(xué)生就會(huì)對(duì)題目隱含條件有更加清晰的認(rèn)識(shí)，再次遇到類似的問題就會(huì)直接將其轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

4. 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)和反思

只有不斷地反思和總結(jié)，才能實(shí)現(xiàn)更加有效的提高。因此，在教學(xué)中，應(yīng)該注重學(xué)生錯(cuò)題本的建立，并制訂相應(yīng)的監(jiān)督措施，引導(dǎo)學(xué)生利用好錯(cuò)題本。在錯(cuò)題本上，不僅僅應(yīng)該抄下做錯(cuò)的題目和正確答案，還應(yīng)該針對(duì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤反思錯(cuò)誤的原因，反思錯(cuò)誤答案與正確答案之間的差距。只有這樣，學(xué)生才能具有更加明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)，總結(jié)出更為科學(xué)的解題經(jīng)驗(yàn)。

具體如以下案例：

在Rt△ABC中，∠C為直角，AC=3，BC=4，如果以C為圓心、以R為半徑所做的圓與Rt△ABC的斜邊有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則R的大小為（ ）

A. R=2.4 B. 3

C. R=2.4或3

錯(cuò)誤答案：A

正確答案：C

錯(cuò)誤原因：將三角形的邊等同于直線，從而只考慮到了斜邊與圓相切時(shí)有且只有一個(gè)交點(diǎn)的情況；實(shí)際上三角形的邊是線段，除了相切的情況之外，還有三角形的邊與圓相交于邊上一點(diǎn)的情況。

參考文獻(xiàn)：

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（作者單位：廣東省茂名市信宜市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 525300）