基于排隊論的快速路出口匝道反饋控制算法

嚴 穎，嚴 凌 （上海理工大學 管理學院，上海 200093）

YAN Ying,YAN Ling (Management School,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

0 引 言

城市快速路是城市內部的主要交通干線，具有舒適、快速、大容量等特點，能夠很好地滿足交通需求。快速路系統在提供大容量交通走廊、屏蔽過境交通、調節城市路網結構和優化土地利用布局等方面發揮著巨大的效益。城市快速路系統在城市交通中承擔著大部分的交通量，其中北京市主要快速路總長度僅占北京市路網總長度的8%，卻承載了近50%的交通量[1]。上海市高架道路僅占市區道路總長度的5%，卻承載著市內35%的交通量[2]。隨著經濟水平的不斷發展，交通壓力與日俱增，交通需求分布不均衡，與交通資源不匹配成為導致擁堵的主要內在原因。快速路的上下匝道由于車流交織、車道數變化、與地面道路銜接不恰當等原因造成通行能力下降，成為交通瓶頸。當前對于入口匝道控制，國內外學者做出了大量研究，而對出口匝道控制的研究比較少，主要集中在通行能力和交通組織方法[3-5]。國內馬繼萍[6]在出口匝道超長排隊時提出在保證相連交叉口其他流向損失最小的條件下提前激活關聯相位綠燈的控制策略。王秀英[7]提出了基于Q學習算法和可拓控制相結合的出口匝道控制方法，自適應地改變綠燈時間，從而使不同的交通狀態下應有不同的信號配時方案，適當地截止了輔路車輛，優先保證出口匝道車輛駛出，對出口匝道超長排隊具有一定的緩解。

以上研究是在提高出口匝道的通行能力，提高地面交叉口來自出口匝道的車流交通優先級方面提出的控制策略，而與快速路出口匝道相連的地面交叉口其他相位可能也具有較大交通壓力，如果一味的提高快速路交通流的優先級，可能會造成地面路網的擁堵甚至癱瘓。另一方面，城市快速路基礎設施周圍道路資源非常有限，可供改造的空間不足，對通行能力的提升也是有限的。由于交通需求的不均勻分布或者特殊公共事件的影響，例如上海世博會期間世博園附近的出口匝道和奧運會期間奧運主會場附近的出口匝道的交通壓力遠超過出口匝道通行能力，就會在某個特定的出口匝道形成超長排隊，進而影響到主線車流的運行。基于此種情形，本文基于排隊論構建了出口匝道排隊模型，提出了出口匝道動態反饋控制策略，同時利用VMS交通誘導信息，將車流誘導分流至相鄰交通壓力較小的出口匝道，促使交通需求均衡分配，提高出口匝道整體利用率。雖然可能會增加部分車流的交通延誤，但有利于快速路系統整體效率的提升。

1 排隊論介紹

排隊論又稱“隨機服務系統理論”[8]，屬于運籌學的重要分支，是研究“服務”系統因“需求”擁擠而產生等待行列即排隊現象，合理協調二者關系的數學理論。排隊論廣泛應用于公共服務事業以及任何需要排隊接受服務的場合，包括人、物和信息等接受服務而產生的排隊現象。

1.1 排隊系統組成

排隊系統由三部分組成：輸入過程、排隊規則和服務機構。如圖1所示。

輸入過程是指車輛以怎樣的規律進入排隊系統，可以從三個方面來描述：顧客源，又稱輸入源，可以是有限或者無限的。顧客到達方式，描述顧客以怎樣的方式到達，可以是成批到達也可以是單個到達。顧客流概率分布，描述顧客到達時間間隔分布概率，可以理解為在一段時間間隔內達到顧客數為K的概率。常見的分布有定長分布、二項分布、泊松分布、愛爾朗分布等若干種。

圖1 排隊系統組成[9]

排隊規則又稱服務規則，是指服務臺從隊列中選取顧客進行服務的順序，可分為損失制、等待制和混合制三大類。損失制是指當顧客達到時，服務臺都處于繁忙狀態，那么顧客立即離開系統，不再回來。等待制是指當服務臺都被占用時，這時到達的顧客加入排隊等待服務。對于等待制，服務臺為顧客服務可采用先到先服務（FCFS）、后到先服務（LCFS）、隨即服務（SIRO）、有優先權的服務（PR）幾種規則。混合制是損失制和等待制相結合的一種排隊方式，是指允許排隊但又不能無限長排隊，一般會在排隊長度和排隊時長兩方面進行限制。在交通排隊現象中，車流排隊就遵從混合制，先到先服務的排隊規則，允許車輛排隊，但由于空間限制或者延誤時間控制，排隊一定是有限的，在合理范圍內。

服務臺是在排隊系統中為顧客提供服務的節點，顧客通過該節點就離開了排隊系統，服務臺的數量和排列方式構成了排隊系統的不同構成形式，有單服務臺式，多服務臺并聯式，多服務臺串聯式等。

1.2 排隊模型的符號表示

由上述內容可知，排隊系統的特征包括顧客源、排隊規則、服務規則、服務臺數量等，根據這些特征的不同可以對排隊系統進行描述和分類，為了便于對眾多模型的描述，采用下述方式：

其中：A為顧客到達系統時間間隔服從的分布；

B為服務時間分布；

C為服務臺數量 （C=1,2,3,…）；

D為排隊系統內部的容量，即系統中能容納的顧客總數；

E為顧客源的總體數目，（m, ）∞ ；

F為服務規則（FCFS，LCFS，SIRO，PR）。

2 排隊模型

為了建立排隊模型，對快速路出口匝道和地面交叉口的情況做如下假設：（1）本文研究的是特殊事件影響時段或者高峰時段內出口匝道交通需求暫時性增加的交通狀況，所以在有限的時間內，車輛來源是有限的，假設顧客源是有限的。（2）快速路出口匝道與地面道路銜接方式有中間式、內側式和外側式[10]三種。不同的銜接方式導致出口匝道輔路車輛與地面道路車輛形成交織。地面道路車輛與輔路車道車輛部分交換，影響排隊車輛總數，在實際應用時可以對顧客到達系統時間間隔分布函數修正，標準模型中暫不考慮此影響。（3） 假設每條車道上排隊長度一致。（4） 交叉口的信號配時等參數在控制時段內不發生變動。基于以上假設，可構建出口匝道標準排隊控制系統，如圖2所示。

圖2 出口匝道排隊控制系統示意圖

出口匝道排隊可以根據實際情況建立有限顧客源、多通道、單服務臺等待制的排隊系統，即M/M/1等待制排隊系統。假設(0,t]在時間段內，車輛隨機到達交叉路口排隊，前后車輛之間的時間間隔是獨立的隨機序列αn｛｝，假定它們具有相同的分布函數，記此分布函數為，稱作輸入流函數。假設其概率密度函數存在且記為a（t），平均到達率為λ，平均時間間隔為則有：

假設車輛通過交叉口的時間序列為｛βn｝，每一輛車通過交叉口的時間是相互獨立的，它也是一個獨立隨機變量，假定它們具有相同的分布函數則稱它們是輸出分布。如果概率密度函數存在且用b（t）表示，交叉口的輸出率為μ，平均服務時間為，則有：

q等待時間Wq滿足下列等式：

排隊長度與等待時間存在下面的關系：

3 最優控制策略

3.1 排隊情況分析

設與出口匝道相連的交叉口進口道相位的信號周期為T，綠燈時間為g，為了計算簡潔，黃燈時間不計。相位綠信比已經取得最大值且固定不變，在綠燈放行期間的交叉口服務率，紅燈期間車輛依次排隊。匝道排隊容量為Cmax，有三種情況：

紅燈期間排隊車輛w=λ（T-g）；

綠燈期間釋放的車輛數n=μ'g；

綠燈期間排隊減少的車輛數p=（μ'-）λg。

wp，且排隊長度不超過匝道排隊容量Cmax的三種情況下的排隊車輛消散情況如圖3、圖4、圖5所示。

圖3 w

圖4 w=p

圖5 w>p

由以上分析可知，當w

當w>p時，紅燈期間積累的排隊車輛將會出現二次排隊現象，每個信號周期，都會有部分滯留車輛，車輛排隊長度不斷增加，直至超過匝道容量。此時λ的值滿足：

為了描述某個出口匝道出現過量車流的情況，即當車流在短時間內突然大量增加，出口匝道的通行能力和交叉口的信號配時未做調整的情況，假設此時的排隊系統輸入車流的概率密度函數符合參數為λ的泊松流，與之相連交叉口相位綠信比以及綠燈時的飽和流率保持不變。

控制觸發條件：排隊長度到達閾值?。

匝道中排隊車輛數達到閾值?時，根據檢測到的輸入交通流λ的值分為兩種情況：當λ滿足式（6）時，匝道排隊長度由紅燈期間積累的車輛數確定，并且處于動態平衡。如果此值不大于匝道排隊容量，那么匝道中的排隊長度基本保持不變，不需要采用暫時關閉匝道的控制策略。當λ滿足式（7）時，匝道排隊長度隨著時間的增加不斷增加，如果不采取控制措施，排隊很快就會蔓延至主線車道，影響主線交通流運行。控制算法流程示意圖如圖6所示：

3.2 控制模型

出口匝道采用三色信號燈控制，為計算簡潔，黃燈時間計入紅燈。為保持一致，信號控制周期采用與出口匝道相連的交叉口的控制周期。控制模型如下：

r（k）是第k控制周期的控制率，r（k-1）是第k-1周期的控制率，它等于綠燈時長。KR是參數，用來調節外部擾動。?是排隊長度控制閾值，考慮到匝道的交通安全，該值一般取平直段長度，將出口匝道排隊長度盡量控制在平直段區域。?（k-1）是第k-1周期實測的排隊長度。KR的值對控制效果不敏感，要根據出口匝道實際數據標定。其中ω為標準車輛換算長度，一般取ω=4m。λ（k-1）是第k-1周期的車輛到達率，該算法屬于反饋控制算法，無法對未來車流變化做出預測，式中是用λ（k-1）代替λ（k）。實際的出口匝道車流波動性較大，在應用中可引入預測機制，用λ（k）的預測值帶入計算，能夠提高控制效果。根據排隊理論，r（k）的取值應該滿足排隊系統平衡條件和平均排隊長度限制，整理如下：

圖6 控制算法流程圖

其中：Lq是在控制情況下的平均排隊長度，式（8）、式（9）、式（10）、式（11） 共同構成了反饋控制模型。該模型以出口匝道排隊長度為輸入變量，控制率r（k）為控制變量，在匝道排隊閾值和排隊容量的限制下，由M/M/1等待制排隊系統最優參數值范圍得到最優控制率。

3.3 相位差計算

由于交叉口信號燈的作用，在綠燈時，排隊車輛依次啟動通過路口。紅燈時車輛依次在路口停車。這就會分別形成啟動波和停止波[11]，考慮到啟動波和停止波對出口匝道信號控制的影響，控制信號的綠燈開始相位與交叉口的綠燈開始相位之間的間隔，相位差計算如下：

式中：vt為相位差，l1為匝道長度，l2為地面輔路長度，vsta為啟動波波速，vstp為停止波波速。

4 結束語

本文以排隊論為基礎，將快速路出口匝道和與之相連的地面交叉口構建均衡態排隊系統，在平均排隊長度和排隊控制閾值限制下，提出最優控制率的反饋控制模型。最優控制率隨著匝道排隊長度的變化而變化，在每一個控制周期內，使得排隊長度保持在閾值附近，避免了超長排隊回溯到主線，對快速路主線交通流的影響。在出口匝道進行控制的同時，利用VMS交通信息誘導，將過量車流引導至上游和下游相鄰出口匝道，充分利用上下游出口匝道的通行能力，提高快速路整體通行效率。