挖掘教材知識(shí)，巧用四點(diǎn)共圓解難題

一、根據(jù)教材中圓的定義，判定四點(diǎn)共圓

到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上。

例 1.如圖(1)，在等腰 Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于點(diǎn) D，∠ABC 的平分線分別交AC、AD于E、F兩點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)N，連接DM，求∠BMD的度數(shù)。

圖(1)

如圖(2)，取AB的中點(diǎn)O，

圖(2)

連接 DO、MO，

∴AO=BO=DO=MO，

∴A、B、D、M 四點(diǎn)共圓，

∴∠BMD=∠BAD=45°。

我們發(fā)現(xiàn)，∠BMD所在的多邊形中，很難尋找出與它有關(guān)的角度關(guān)系。通過(guò)觀察圖形，容易證得線段AB的同側(cè)有兩個(gè)直角∠AMF和∠ADB，通過(guò)取斜邊AB的中點(diǎn)O，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，得到A、B、D、M到斜邊中點(diǎn)O的距離相等，根據(jù)“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上”，巧妙地在多邊形中構(gòu)建出了圓的模型，結(jié)合圓的相關(guān)性質(zhì)，使得思路立刻開(kāi)闊明朗起來(lái)。

圖(3)

例2.(2017年廣東省中考卷第25題改編)如圖(3)，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是(0，2)和，點(diǎn) D 是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、C重合)，連結(jié)BD，作 DE⊥DB，交 x軸于點(diǎn)E，以線段DE、DB為鄰邊作矩形BDEF。求證

常規(guī)方法：

如圖(4)所示，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥OC于點(diǎn)G，DH⊥BC于點(diǎn)H，

圖(4)

該方法采用了相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形。

下面賞析四點(diǎn)共圓的證法：

證明：如圖(5)，連接BE，取BE的中點(diǎn)K，連接DK、KC.

圖(5)

∵四邊形ABCO與四邊形BDEF是矩形，

在2017年廣東省中考數(shù)學(xué)卷的最后一題中，兩個(gè)矩形交疊在平面直角坐標(biāo)系中出現(xiàn)了多個(gè)直角，本文對(duì)這道壓軸題進(jìn)行了適當(dāng)改編，采用常規(guī)方法和四點(diǎn)共圓法進(jìn)行對(duì)比證明，可以看出四點(diǎn)共圓證法所具有的明顯優(yōu)勢(shì)。此題實(shí)際上是兩個(gè)直角在公共斜邊異側(cè)的情況，通過(guò)對(duì)比例1、例2可以發(fā)現(xiàn)，共斜邊的兩個(gè)直角三角形頂點(diǎn)共圓是常見(jiàn)的四點(diǎn)共圓模型。

二、探究四點(diǎn)共圓

在人教版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第二十四章《圓》章末的“數(shù)學(xué)活動(dòng)2”中，教材頗有用意地安排了“探究四點(diǎn)共圓的條件”這一探究活動(dòng)，其探究結(jié)論即為四點(diǎn)共圓常用的另一判定方法：如果四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形是圓內(nèi)接四邊形，也就是四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。下面對(duì)該判定方法進(jìn)行證明：

已知：四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°

求證：A，B，C，D 四點(diǎn)共圓。

證明：過(guò) A，B，D 作圓 O，

假設(shè)C不在圓O上，點(diǎn)C在圓外或圓內(nèi)，如圖(6)，

圖(6)

若點(diǎn)C在圓外，

設(shè)BC交圓O于C′，連結(jié)DC′，

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠A+∠DC′B=180°，

這與三角形外角定理矛盾，

故C不可能在圓外。

類似地，如圖(7)，可證C不可能在圓內(nèi)

∴C在圓O上，也即A，B，C，D四點(diǎn)共圓

圖(7)

例3.如圖，矩形ABCD中，連接AC、BD相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)CB到E，使CE=AC，連接 AE，F(xiàn) 是 AE 中點(diǎn)，連接 DF，與AB相交于點(diǎn)G，連接BF。

求證：BF⊥DF。

常規(guī)方法：

證明：如圖(8)，延長(zhǎng) BF，交 DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，

圖(8)

∵四邊形ABCD是矩形，

本題考查了矩形對(duì)邊平行且相等、對(duì)角線相等的性質(zhì)、全等三角形的判定和對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，其中求證DB=DM是解題的關(guān)鍵。

下面賞析四點(diǎn)共圓的證法：

第1步：如圖(9)，連接 CF，在等腰△ACE中，用三線合一性質(zhì)得CF⊥AE，即∠CFA=90°；

圖(9)

第2步：可證∠CFA+∠ADC=180°，得點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D共圓，即F在△ACD的外接圓上；

第3步：可證∠ABC+∠ADC=180°，得點(diǎn) A，B，C，D 共圓，即B在△ACD的外接圓上；

第4步：可得F，B，C，D共圓，由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)可證∠BFD+∠BCD=180°，可得∠BFD=90°，即 BF⊥DF。

此證法在已知條件和結(jié)論中都沒(méi)有出現(xiàn)圓弧的情況下，根據(jù)“如果四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形就是圓的內(nèi)接四邊形，也就是四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓”這一判定方法得出四點(diǎn)共圓，起了關(guān)鍵作用。

雖然四點(diǎn)共圓問(wèn)題在中考中直接考查的意圖不明顯，在一些頗有難度的試題中，用我們常規(guī)使用的基本圖形、基本技能和基本思想也能解決，但較為繁瑣。而構(gòu)造四點(diǎn)共圓，通過(guò)引入圓的模型，仿佛幫我們打開(kāi)了另一扇窗戶，使人豁然開(kāi)朗。可以認(rèn)為，四點(diǎn)共圓問(wèn)題是圓弧線形式的輔助線，其作為研究方法的多樣性和靈活性，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的思維水平與提高推理能力有著非常重要的作用。