例談“分類思想”在一元一次不等式（組）中的運用

唐海樹

摘 要：“分類”是一種重要的數學思想。“分類思想”的靈活、適當和準確的應用，可以化不等式的難點為易，化抽象為直觀……

關鍵詞：分類 數學思想 一元一次不等式（組） 運用

對當前大多數農村初中學生而言，數學基礎差，能力弱已經成為一種不可避而不談的趨勢。本文結合新課標要求，針對農村初中學生的學學習特點和基礎，結合筆者的授課經驗，用實例來談一談 “分類思想”在一元一次不等式（組）中的運用，以培養學生良好的數學思想和意識。

《義務教育數學課程標準》（2011版）指出：“分類，是一種重要的數學思想。……學會分類，可以有助于學習新的數學知識，有助于分析和解決新的數學問題。”可伴隨著升學和考試的壓力，不少老師在授課中只注重于讓學生在題海中遨游，而忽視了總結題目本身所反應的數學思想。如此，不但事倍功半，更失去了數學學習的核心價值。

一元一次不等式（組）的問題中牽涉到的數學思想比較多，如整體思想、方程思想、轉化思想等，分類思想在其中占據重要一席地位。筆者在教授滬科版七年級數學（下）第7章一元一次不等式（組）時，常發現學生在解決牽涉字母的一元不等式（組）和一元一次不等式（組）的實際問題時，或者錯誤百出，或者束手無策。現針對農村初中學

生的學學習特點和基礎，結合筆者的授課經驗，談一談 “分類思想”在一元一次不等式（組）中的應用。

1 巧分類，靈活運用不等式的基本性質

不等式的五個基本性質，教學時，我是通過類比等式的基本性質而引入和講解的。通過比較，得出不等式和等式基本性質的異同，體現了類比的數學數學思想，有助于學生的理解。但是，不等式和等式基本性質的異同，學生初學時難以熟練的運用，然而這個難點卻是習題和考卷中的“家常菜”。

例1：比較2a與3a的大小。

對于農村七年級的學生而言，看到字母前沒有“-”號，便認為a是正數，從而錯誤的認為2a<3a。其實a是字母，在題目沒有明確說明a的范圍時，a可以表示任何的實數，所以a的取值可能有三種情況：（1）a>0，（2）a=0，（3）a<0，在三種不同的可能取值情況下，因為2<3已然成立，所以不難得出：（1）當a>0時，2a<3a（2）當a=0時，2a=3a（3）當a<0時，2a>3a。此處分類，價值有三：（1）體現了用字母表示數的優點；（2）培養了學生嚴謹的數學思維；（3）鞏固學習了不等式的基本性質。

2 善分類，能解數字系數的一元一次不等式組

新課標要求：“會用數軸確定由兩個數字系數的一元一次不等式組成的不等式組的解集”。于是，不少出題者在出此類題目時，總會設置一些障礙，以此來考察學生思維的全面性和解題能力。對于農村中學生而言，數學基礎決定了其思維的局限性，再加上平時獲取數學知識的方式有限，訓練少，對數學概念的理解不夠透徹，在遇到這些障礙時，也會顯得力不從心，顧此失彼。

例2：已知兩個代數式4a+5與2a-1的值符號相同，求a得取值范圍。

當時我在改作業中的這題時，全班70%以上的學生不會做，經過提示后仍有為數不少的學生出現了這種不全面的解題：

圖1 學生的不完整解答

對大多數農村學生而言，缺乏對數學概念的理解，更不善于進行分類。

“符號相同”就意味著“同正”或“同負”，二者皆可，所以要進行分類討論：

或

可以借助數軸，確定兩個不等式組的解集分別為，因為兩種情況都有可能，所以a的取值范圍是。

教學時，對于作業中的出現的問題，我也常把它們先分類，再講解，我認為這樣可以幫助學生更有效的掌握與接受知識。上述例2 的出現與講解之后，我便將之后作業中的一個類似問題讓學生思考并解答：

例3：如果關于x，y的方程組，的解同號，求k的取值范圍。

雖然此時學生在對把方程組的解x，y用含k的代數式表示時有困難，但是可喜的是，只要把方程組的解求出的學生都能正確的列出不等式組，從而借助數軸求出k的取值范圍是k>3或k<。

通過這兩題的練習，不僅幫助學生鞏固復習了已學的數學概念，培養了數學計算能力，更讓學生樹立了正確思考和分類的數學思想和意識，為進一步學好數學奠定了一定的基礎。

3 適時分類，借助數軸攻破思維障礙

一元一次不等式這一章，喜歡也習慣出這樣一種題型：

例4：已知關于x的不等式只有四個正整數解1，2，3，4，那么正數a的取值范圍是什么？

對于農村初中生而言，本題很抽象，無處入手。如果能適時分類，并借助數軸，便能很直觀地解決此類題型。教學時，我先讓學生求出這個不等式的解集，再讓學生畫出一條數軸，并把這個不等式的四個正整數解在數軸上用點表示出來，接下來，就是將借助數軸讓分類思想來發揮作用：若<1，很明顯，原不等式便沒有正整數解，若，原不等式的正整數解只有1個，就是1，不合題意，所以表示數點一定在表示數1點的右邊，于是在數軸上，將表示數的點繼續往右移動，很直觀的將不正確的范圍一一排除，直到時，原不等式的解集才包含1，2，3，4，若表示數的點繼續往右移動，當時，解集依然符合題意，但當時，符合條件的正整數解便逐漸增多，不止1，2，3，4四個。綜上分析，可列不等式組因而輕松解出

因為數軸是解決數學問題的一種重要的模型，將分類思想和數軸應用于此題的分析與講解，通俗易懂，事半功倍！由此可見，正確的分類是解決一元一次不等式（組）問題的關鍵。

數學的基礎性、普及性和發展性要求我們的學生學習必需的數學，讓不同的學生在數學上得到不同的發展，作為重要的一種數學模型，一元一次不等式（組）的學習和學好顯得尤為必要。而“分類思想”的靈活、適當和準確的應用，可以化不等式的難點為易，化抽象為直觀……，因而，在教學中我們盡可能地讓每一名學生都來嗅一嗅“分類思想”這朵盛開之花的芳香！

參考文獻

[1]錢小剛：《例談一元一次不等式（組）中的數學思想》，《初中生世界：七年級》2015年 第6期

[2]《義務教育數學課程標準》（2011版），北京師范大學出版集團2012年1月第1版，第29，第46頁