也談數(shù)學(xué)概念教學(xué)

蘇藝偉　張兵源

摘 要：以《函數(shù)的概念》為案例，運(yùn)用建構(gòu)主義理論和APOS方法進(jìn)行概念教學(xué)，能夠較好地從整體上把握概念，實(shí)現(xiàn)概念教學(xué)的效益最大化.

關(guān)鍵詞：建構(gòu)主義；APOS；函數(shù)概念

數(shù)學(xué)概念是客觀對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性的反映，是導(dǎo)出全部數(shù)學(xué)定理、法則的邏輯基礎(chǔ)可以說(shuō)，整個(gè)高中階段對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)最重要的就是對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)只有掌握了數(shù)學(xué)概念，才能形成知識(shí)，掌握技能，形成基本思想，促進(jìn)思維發(fā)展就像建一座高樓，只有基礎(chǔ)打扎實(shí)了，樓房才會(huì)建得高和穩(wěn)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）指出：教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)對(duì)基本概念和基本思想的理解和掌握，對(duì)一些核心概念和基本思想要貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)在整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的基礎(chǔ)性作用

在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，很多老師對(duì)概念教學(xué)并沒(méi)有真正重視起來(lái)在課堂上，經(jīng)常有老師對(duì)概念進(jìn)行簡(jiǎn)單的敘述，然后通過(guò)做題目來(lái)加深學(xué)生對(duì)概念的理解與應(yīng)用這樣的概念教學(xué)存在如下缺點(diǎn)：（1）缺少必要的情境引入，既不能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的原動(dòng)力，也使得概念教學(xué)顯得生硬；（2）缺少概念的生成過(guò)程，使得學(xué)生喪失了思考，探究的思維過(guò)程，嚴(yán)重阻礙學(xué)生思維能力的發(fā)展和提升；（3）學(xué)生無(wú)法真正理解概念的內(nèi)涵和外延，無(wú)法形成數(shù)學(xué)概念體系造成上述錯(cuò)誤概念教學(xué)的主要原因有：（1）教師不了解學(xué)生的認(rèn)知心理，學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格；（2）教師沒(méi)有透徹地理解概念，回避概念的深入講解；（3）缺乏相應(yīng)的概念教學(xué)理論知識(shí)和指導(dǎo)，對(duì)概念教學(xué)的定位不準(zhǔn)確等

基于上述數(shù)學(xué)概念的重要性以及現(xiàn)實(shí)教學(xué)中存在的概念教學(xué)問(wèn)題，應(yīng)該如何較好地進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的教學(xué)？筆者認(rèn)為首先要弄清楚數(shù)學(xué)概念教學(xué)的理論依據(jù)；其次應(yīng)該掌握具體的概念教學(xué)的方法：APOS理論

一、數(shù)學(xué)概念教學(xué)的理論依據(jù)

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)建構(gòu)新知識(shí)的過(guò)程學(xué)生的學(xué)習(xí)涉及同化和順應(yīng)兩個(gè)基本過(guò)程同化是指學(xué)生把新授知識(shí)整合到自身已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程；順應(yīng)則是指在新授知識(shí)的促動(dòng)下，原來(lái)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，進(jìn)一步平衡與完善的過(guò)程學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是在同化與順應(yīng)的過(guò)程中建立起來(lái)的，在一系列的“平衡——不平衡——重新平衡”中達(dá)到認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷提高和完善

比如有理指數(shù)冪概念的學(xué)習(xí)，通過(guò)對(duì)整數(shù)指數(shù)冪和有理數(shù)構(gòu)成的回顧與復(fù)習(xí)，引發(fā)學(xué)生思考“指數(shù)冪的發(fā)展是否到此為止”該問(wèn)題提出后，雖然此時(shí)尚未學(xué)習(xí)有理指數(shù)冪的概念，但學(xué)生已經(jīng)產(chǎn)生了“指數(shù)冪可以從整數(shù)指數(shù)冪推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，進(jìn)而完善有理指數(shù)冪概念”這一感知，那么有理指數(shù)冪概念自然地被同化到學(xué)生原有指數(shù)冪概念中通過(guò)對(duì)根式的學(xué)習(xí)以及根式可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的學(xué)習(xí)，學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)受到?jīng)_擊，為了達(dá)到知識(shí)結(jié)構(gòu)的進(jìn)一步平衡，“指數(shù)概念可以由整數(shù)指數(shù)冪向有理數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)展”就自然地被納入到學(xué)生的知識(shí)體系，這就是一個(gè)順應(yīng)的過(guò)程

建構(gòu)主義理論反映出學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)以及數(shù)學(xué)概念體系的建立就是在一系列舊知與新知的同化和順應(yīng)過(guò)程中實(shí)現(xiàn)的因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)必然遵守建構(gòu)主義理論，它是以學(xué)生為主體，經(jīng)歷引入、概括、分析、應(yīng)用等程序，把新授概念利用同化或順應(yīng)的方式，在概念自身內(nèi)在的，概念與概念之間的聯(lián)系的指引下，逐步完善自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成概念體系的過(guò)程

二、數(shù)學(xué)概念教學(xué)的具體方法——APOS理論

有了正確的理論指導(dǎo)，教師還要選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法來(lái)實(shí)施概念教學(xué)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一般可以按照“感覺(jué)—知覺(jué)—表象—概念”的認(rèn)知規(guī)律來(lái)進(jìn)行，讓學(xué)生形成新的概念圖式美國(guó)的杜賓斯基等人建立的針對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的APOS理論強(qiáng)調(diào)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是需要心理建構(gòu)的，這一建構(gòu)過(guò)程經(jīng)歷四個(gè)階段：Action（活動(dòng)）—Process（過(guò)程）—Object（對(duì)象）—Scheme（概型），簡(jiǎn)稱APOS理論

第一階段—活動(dòng)階段：這是概念的引入階段.教師必須認(rèn)真分析所授概念的具體內(nèi)容與其在概念體系中的位置，結(jié)合學(xué)生的學(xué)情和認(rèn)知規(guī)律，設(shè)置出合適的情境或者活動(dòng)，以此讓學(xué)生親身經(jīng)歷，主動(dòng)建構(gòu)，從而對(duì)所授概念形成較直觀的理解也就是說(shuō)，活動(dòng)階段是學(xué)生通過(guò)一系列外顯性的指令去改變數(shù)學(xué)對(duì)象的過(guò)程，它是獲得數(shù)學(xué)概念的一個(gè)必要條件

第二階段—過(guò)程階段：這是概念的定義階段.它是在對(duì)活動(dòng)階段進(jìn)行思考的基礎(chǔ)上，通過(guò)抽象得出概念的若干本質(zhì)特征，從而初步形成數(shù)學(xué)概念的一般定義的過(guò)程過(guò)程階段是對(duì)外顯數(shù)學(xué)活動(dòng)的進(jìn)一步思考過(guò)程，當(dāng)學(xué)生經(jīng)過(guò)多次重復(fù)活動(dòng)且被個(gè)體所熟悉后，便會(huì)在頭腦中對(duì)活動(dòng)進(jìn)行描述，通過(guò)一系列心理操作，抽象出概念的本質(zhì)特征

第三階段—對(duì)象階段：這是概念的分析階段.它是對(duì)“活動(dòng)”與“過(guò)程”的升華，將抽象出的概念賦予其形式化的定義及符號(hào)，使其達(dá)到精致化，成為一個(gè)具體的“對(duì)象”，并由學(xué)生主動(dòng)將其納入已有概念體系的階段

第四階段—概型階段：這是概念的運(yùn)用階段.它是“對(duì)象”階段中概念本質(zhì)和概念體系進(jìn)一步的理解，揭示和實(shí)例化概型階段并不僅僅靠幾個(gè)例題來(lái)完成，它既包括活動(dòng)階段的特例，過(guò)程階段的抽象，對(duì)象階段的定義及符號(hào)，也包含概念體系的建立，還包括在運(yùn)用過(guò)程中產(chǎn)生新的理解，新的聯(lián)系，甚至它還能成為更新概念的建構(gòu)材料“概型”最終要形成綜合的心理圖式，因此，概型階段也稱為圖式階段

APOS理論和建構(gòu)主義理論是一致的，它更注重揭示概念的形成過(guò)程，更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理發(fā)展規(guī)律，將其應(yīng)用到概念教學(xué)中效果更為顯著

三、案例分析——人教A版必修一第一章第12節(jié)《函數(shù)的概念》

1活動(dòng)階段

復(fù)習(xí)初中函數(shù)概念：

在初中，我們對(duì)函數(shù)是這樣定義的：在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)

問(wèn)題1 上述函數(shù)概念是建立在什么觀點(diǎn)上？有什么優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)？

問(wèn)題2 該定義體現(xiàn)出x與y有什么樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系才能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖 （1）根據(jù)建構(gòu)主義理論，學(xué)習(xí)者相關(guān)領(lǐng)域的知識(shí)，乃至最一般的經(jīng)驗(yàn)背景會(huì)對(duì)新概念的形成產(chǎn)生影響，成為新概念的背景同時(shí)，直接與新概念有關(guān)的純數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)也會(huì)影響到新概念的建構(gòu)高一年級(jí)的學(xué)生剛剛經(jīng)歷了初中的學(xué)習(xí)，因此從初中知識(shí)引入不僅為新概念的學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)情境，也使新舊知識(shí)之間建立起有機(jī)的聯(lián)系，使新舊知識(shí)形成一個(gè)完整的體系

（2）問(wèn)題1的設(shè)計(jì)是讓學(xué)生明白初中對(duì)函數(shù)的定義是建立在運(yùn)動(dòng)與變化的觀點(diǎn)上，這樣的定義較為直觀、簡(jiǎn)捷，適合初中生的思維但是顯然該定義缺少相關(guān)的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，不適合高中的數(shù)學(xué)化定義，從而讓學(xué)生意識(shí)到必須對(duì)函數(shù)的概念重新定義以滿足高中的需求此時(shí)，學(xué)生會(huì)積極思考：高中對(duì)函數(shù)的定義應(yīng)該是什么？從而將學(xué)生的思維引入下面的“過(guò)程階段”問(wèn)題2的設(shè)計(jì)是要讓學(xué)生理解定義中“對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)”這句話的真正含義，也就是要讓學(xué)生明白并不是所有的對(duì)應(yīng)關(guān)系都可以構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，只有滿足“一個(gè)x對(duì)應(yīng)一個(gè)y”或者“多個(gè)x對(duì)應(yīng)一個(gè)y”才能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，這為后面“圖式階段”的學(xué)習(xí)打下一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)

2過(guò)程階段

多媒體展示課本中的三個(gè)實(shí)例（詳見(jiàn)課本第15頁(yè)）：

問(wèn)題3 上述三個(gè)實(shí)例有何不同點(diǎn)和相同點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖 （1）從學(xué)生熟悉的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，由感覺(jué)過(guò)渡到知覺(jué)同時(shí)讓學(xué)生懂得數(shù)學(xué)并不僅僅是課本知識(shí)，更是現(xiàn)實(shí)生活的一環(huán)，它來(lái)源于生活，也為生活服務(wù)多媒體的使用，讓課堂更加生動(dòng)直觀，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣

（2）對(duì)每個(gè)實(shí)例的講解，都從集合A中找出若干個(gè)特殊值，然后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在各自對(duì)應(yīng)關(guān)系的作用下，在集合B中都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，為歸納總結(jié)共同特征做好鋪墊

（3）通過(guò)三個(gè)具體的例子，引導(dǎo)學(xué)生得到共同特征：第一，都有兩個(gè)非空數(shù)集A和B；第二，從數(shù)集A到數(shù)集B都有一個(gè)明確的對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)例1中的對(duì)應(yīng)關(guān)系是一個(gè)表達(dá)式，實(shí)例2中的對(duì)應(yīng)關(guān)系式是一個(gè)圖象，實(shí)例3中的對(duì)應(yīng)關(guān)系是一張表格；第三，在確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)集A中任意一個(gè)數(shù)在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)與之對(duì)應(yīng)這些共同特征的講解為“對(duì)象階段”概念的精致刻畫(huà)做好準(zhǔn)備，并引出課題函數(shù)的概念，讓知覺(jué)過(guò)渡到表象

（4）本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)重點(diǎn)是“重復(fù)”（三個(gè)實(shí)例的講解實(shí)際上就是一個(gè)重復(fù)的過(guò)程，只是例子不一樣）和大部分?jǐn)?shù)學(xué)概念的形成一樣，函數(shù)概念的形成也需要經(jīng)歷一個(gè)抽象的過(guò)程，而形成抽象的基礎(chǔ)就是不斷的“重復(fù)”和操作

上述兩個(gè)活動(dòng)階段，以初中知識(shí)和現(xiàn)實(shí)生活中的例子來(lái)激活背景圖式，為新概念的建構(gòu)做出了必要的知識(shí)準(zhǔn)備和心理準(zhǔn)備而要使新概念得到有效合理的建構(gòu)，還有賴于學(xué)生積極主動(dòng)地探索和思考教師可以設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題情境，讓學(xué)生積極思考，自主探究，并對(duì)已有知識(shí)進(jìn)行遷移，提煉出函數(shù)概念的本質(zhì)特征，初步建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

3對(duì)象階段

問(wèn)題4 如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)的概念？

設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f（如實(shí)例中的表達(dá)式、圖象、表格），使得A中任意一個(gè)數(shù)x，在B中都有唯一確定的數(shù)fx和它對(duì)應(yīng).則稱f：A→B為從數(shù)集A到數(shù)集B的一個(gè)函數(shù)，記作y=fx其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域與x相對(duì)應(yīng)的fx叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合fxx∈A叫做函數(shù)的值域

設(shè)計(jì)意圖 （1）對(duì)象階段是給抽象出來(lái)的概念本質(zhì)和特征賦予形式化的定義和符號(hào)，使其成為一個(gè)具體的“對(duì)象”將函數(shù)的概念作為一個(gè)新的對(duì)象來(lái)認(rèn)識(shí)，對(duì)其進(jìn)行形式化的表述，這是“對(duì)象”階段應(yīng)該達(dá)到的目的學(xué)生在經(jīng)歷了活動(dòng)階段和過(guò)程階段的學(xué)習(xí)后，函數(shù)概念“呼之欲出”，此時(shí)拋出問(wèn)題4顯然水到渠成

（2）本環(huán)節(jié)將表象過(guò)渡到概念，逐層呈現(xiàn)、深化，形成了完整的“函數(shù)的概念”的概念圖式，便于學(xué)生在不同背景下提取信息，為將來(lái)在更多領(lǐng)域（如求函數(shù)的定義域，判斷兩個(gè)函數(shù)相等，求函數(shù)的解析式等方面）的應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)