芻議萬有引力定律在天體運動中的學習及應用

閆哲鈺

【摘 要】在高中階段的物理學中，萬有引力與航天雖然不是學習的重點，但卻是高考的考查內容之一。本文通過萬有引力定律的概念的引出，對萬有引力定律在天體運動中的規律進行精辟描述。并從創設學習情境、創新學習模式、建立物理模型三個方面對萬有引力定律的學習方法進行深入探討，對萬有引力定律在天體運動中的“疑難問題”進行歸納總結，給出了相應的思維方法和求解方式。

【關鍵詞】萬有引力定律；天體運動；學習；應用

引言

在萬有引力定律的學習中，公式比較多，變式也繁雜，計算量又很大，對學生的空間想象能力的要求也比較高。相關習題大多以天體運動為核心，以我國航天事業發展為背景，側面反映了我國航天科技發展的最新動態。例如，應用萬有引力定律計算天體的質量、天體的密度、天體的重力加速度、衛星在回收的過程中產生的物理變化等方面的問題，在解題的過程中常用的方法為使用黃金代換公式和向心力的公式。

一、萬有引力定律

（一）萬有引力定律的概念

1687年，萬有引力定律被牛頓發表在《自然哲學的數學原理》中，其概念為：自然界中任何兩個物體都是相互吸引的，引力的大小與兩個物體的質量的乘積成正比，與它們之間距離的二次方成反比。這一發現，成為17世紀自然科學中最偉大的成果這一，牛頓成功解釋了天體運行的規律，向人們揭示了天上和地上的物體都遵循著完全相同的科學法則。時至今日，太空中數千顆人造衛星正在按照萬有引力定律為它們“設定”的軌道繞地球運轉著。

（二）萬有引力定律與天體運行

當衛星在發射的過程中具有一定速度時，可以圍繞地球轉動，在這一過程中萬有引力提供向心力，公式中m 表示地球質量，m 表示衛星質量，可以得出F= = 進一步推出v= ，由于環繞天體的運行的線速度不同，運行角速度、運行周期與天體間的距離之間具有如下的關系：第一，天體間距離越遠，運行線速度越小；第二，天體間距離越遠，運行角速度越小；第三，天體間距離越遠，運行周期越長。

二、萬有引力定律在天體運動中的學習方法

（一）創設學習情境

天體在太空的運行狀態非常復雜，受到許多引力和引力場的作用，在學習認知的過程中，我們可以自主創設學習情境的方式，突破思維瓶頸。例如，上課之前，我們可以上網查找卡文迪許實驗的相關視頻，從視覺上深刻感受假如沒有萬有引力，那么地球上的物體會漂浮在空中這一現象。在學習的過程中，我們通過“四個畫面”來獲知萬有引力對天體運行的主導作用：第一幅，宇宙中八大行星與地球之間的位置關系；第二幅，月球與地球之間的位置關系；第三幅，人造衛星與地球之間的運行關系；第四幅，在地球上向上空拋擲任何物品都能落回地面。通過四個畫面，可以對萬有引力定律有一定的了解。這種自主創設學習情境的方法，能夠培養我們獨立探索的能力，進而在探知的過程中掌握天體運動狀態的物理知識，內化為自身的認知結構。

（二）創新學習模式

我們從小就聽過“牛頓與蘋果”的故事，在學習萬有引力定律的過程中，可以合理結合這一故事，創新學習模式。如，在學習萬有引力定律之前，可以查找一些有關牛頓的資料，例如，牛頓日記中“我不知道世人怎樣看我，但我自己認為我是一個在海邊玩耍的孩子，在發現比尋常更加美麗的卵石時沾沾自喜，卻沒有發現展現在我面前浩瀚的海洋”。進而在抱著探尋的心態學習萬有引力定律。在學習的過程中，我們還可以自主推導一遍公式內容，由紛繁的數據到定律內容，再到推導出一個具體的公式，形式簡潔但是意義深刻，使我們在重溫牛頓發現萬有引力定律的歷程時，培養了探究復雜運動中隱藏著簡潔科學規律的核心素養。

（三）建立物理模型

理想模型的構建是物理學研究問題的一種重要方法，在學習萬有引力定律時，涉及物理學和天體學，知識很抽象，不容易理解和想象，需要我們加強對構建物理模型能力的培養。如，衛星繞地球的運動狀況十分復雜，如何把這種實際狀況轉化成容易接受的簡單的物理模型來解決問題，結合天體運動學的基礎知識進行分析，在各種作用力對衛星運行狀態的影響中，地球引力場的影響為主，其它作用力的影響相對較小，可以將衛星繞地球的運動視為勻速圓周運動，進而得知在衛星繞地球的運動中，萬有引力為該運動提供向心力。通過這樣建立物理模型的方法，突出物理問題的主干，簡化次要因素，既可以幫助我們建立起清晰的物理情境，也使問題化難為易，化繁為簡，進而提升了靈活思變、創造性思維的能力。

三、萬有引力定律在天體運動中的應用

（一）赤道上的物體、近地衛星及同步衛星運行參數的比較問題

學習萬有引力定律與航天知識后，我們知道：同步衛星的半徑>近地衛星的半徑>赤道上物體的半徑，其中近地衛星和同步衛星滿足萬有引力充當向心力，而赤道上的物體是由萬有引力的分力充當向心力。例如，在地球周圍，有a，b，c，d，四個衛星，其與地球之間的距離由近及遠依次為a，b，c，d，其中a還未發射，在赤道上隨著地球一起轉動，b為近地軌道衛星，c為地球同步衛星，d為高空探測衛星，所有衛星運動視為勻速圓周運動，設地球的自轉周期為24h，那么b在相同時間內，轉過的弧長是否最長？在解決這一問題時，根據人造衛星的萬有引力等于向心力，推導出V= ，繞地球做勻速圓周運動的衛星，離地球越近線速度越大，因為b的線速度最大，所以在相同時間轉過的弧長就最長。再如，近地軌道衛星與地球同步衛星的運行周期的比較問題，同步衛星在對近地衛星的半徑進行比較后，分別帶入T=2π 這一公式，解決近地衛星、同步衛星運行周期的比較問題。可以得出：赤道上的物體、近地衛星及同步衛星運行參數的比較問題，可以通過對衛星運行軌道半徑的比較來解決。

（二）衛星變軌道問題

衛星在空間運行的軌跡叫軌道。在變質量天體運動中的衛星變軌道問題的學習中，首先需要了解到衛星的變軌道往往是由于對接或空氣阻力引起的，當衛星的速率突然增加時，萬有引力不足以提供向心力，就會做離心運動，促使衛星變軌道，并且軌道半徑變大。當衛星進入新的軌道并且穩定運行時，根據公式V= 可得出，運行速率小于原軌道。當衛星在阻力的作用下，運行速率小于原軌道運行速率時，萬有引力將大于向心力，衛星會做近心運動。例如，嫦娥三號在衛星變軌道的過程中，就利用了這一部分的知識。在“嫦娥三號”運行的過程中，其第一次通過近月制動，使其在距離月球高度為100KM的高度運動，第二次對其近月制動后，使其距離月球高度為15KM，第三次對其近月制動，使其高度變為100KM。問：“嫦娥一號”在第一次變軌道之后的運動周期，是否大于第二次變軌道之后的運動周期？在解決這一問題時，需要根據上述公式V= 進行帶入，可以得出在衛星做離心運動的過程中，軌道半徑變大。在進行向心運動的過程中，軌道半徑變小，“嫦娥一號”在進行第一次變軌道的運動周期大于第二次變軌道的運動周期。

（三）天體表面重力加速度的問題

天體有自然天體和人造天體，其中自然天體有地球、月亮，人造天體有宇宙飛船、人造衛星，在研究天體表面的重力加速度的過程中，需要將天體看作一個點，并將研究對象看作質點，建立一質點繞著另一質點做勻速圓周運動的物理模型，天體表面的萬有引力近似為重力，可以得出：G =mg 當對衛星方面的問題進行研究的過程中，若已知中心天體表面的重力加速度為g 時，可以得出：GM=g R 這一代換式，又叫做黃金代換式，適用于萬有引力完全提供重力的天體的計算。

（四）計算天體的質量與密度

在使用萬有引力對中心天體表面的重力加速度進行計算的過程中，可以不考慮中心天體自轉的影響，其所受的重力等于所受的萬有引力，可得出mg=G ，并對其進行推斷，可得出M= ，若將天體看作為均勻球體，其體積可以通過公式V= πR 計算出球體的體積，為了能夠計算出天體的密度，將其設為ρ，將上述公式帶入，可得天體密度的表達公式為ρ= ，在之后對天體密度進行計算的過程中，可以將這一公式進行帶入，繼而對題目中所求的密度進行計算。例如：已知地球半徑，地球表面的重力加速度，求地球的質量？在對這題進行解答的過程中，可將上述公式進行帶入，進而得出：M=6.4×10 ，ρ=5.56×10 Kg/m 。

結論

綜上所述，在萬有引力與航天章節的學習中，我們要積極轉變思維方式，創新學習方法，培養構建物理模型的能力，熟悉萬有引力定律，能夠應用定律解決變質量天體運動中的應用中“疑難問題”，進而激發我們探究天體運動奧秘的動力，形成堅定的科學信念。

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