芻議萬有引力定律在天體運(yùn)動(dòng)中的學(xué)習(xí)及應(yīng)用

閆哲鈺

【摘 要】在高中階段的物理學(xué)中，萬有引力與航天雖然不是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，但卻是高考的考查內(nèi)容之一。本文通過萬有引力定律的概念的引出，對萬有引力定律在天體運(yùn)動(dòng)中的規(guī)律進(jìn)行精辟描述。并從創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境、創(chuàng)新學(xué)習(xí)模式、建立物理模型三個(gè)方面對萬有引力定律的學(xué)習(xí)方法進(jìn)行深入探討，對萬有引力定律在天體運(yùn)動(dòng)中的“疑難問題”進(jìn)行歸納總結(jié)，給出了相應(yīng)的思維方法和求解方式。

【關(guān)鍵詞】萬有引力定律；天體運(yùn)動(dòng)；學(xué)習(xí)；應(yīng)用

引言

在萬有引力定律的學(xué)習(xí)中，公式比較多，變式也繁雜，計(jì)算量又很大，對學(xué)生的空間想象能力的要求也比較高。相關(guān)習(xí)題大多以天體運(yùn)動(dòng)為核心，以我國航天事業(yè)發(fā)展為背景，側(cè)面反映了我國航天科技發(fā)展的最新動(dòng)態(tài)。例如，應(yīng)用萬有引力定律計(jì)算天體的質(zhì)量、天體的密度、天體的重力加速度、衛(wèi)星在回收的過程中產(chǎn)生的物理變化等方面的問題，在解題的過程中常用的方法為使用黃金代換公式和向心力的公式。

一、萬有引力定律

（一）萬有引力定律的概念

1687年，萬有引力定律被牛頓發(fā)表在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中，其概念為：自然界中任何兩個(gè)物體都是相互吸引的，引力的大小與兩個(gè)物體的質(zhì)量的乘積成正比，與它們之間距離的二次方成反比。這一發(fā)現(xiàn)，成為17世紀(jì)自然科學(xué)中最偉大的成果這一，牛頓成功解釋了天體運(yùn)行的規(guī)律，向人們揭示了天上和地上的物體都遵循著完全相同的科學(xué)法則。時(shí)至今日，太空中數(shù)千顆人造衛(wèi)星正在按照萬有引力定律為它們“設(shè)定”的軌道繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)著。

（二）萬有引力定律與天體運(yùn)行

當(dāng)衛(wèi)星在發(fā)射的過程中具有一定速度時(shí)，可以圍繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)，在這一過程中萬有引力提供向心力，公式中m 表示地球質(zhì)量，m 表示衛(wèi)星質(zhì)量，可以得出F= = 進(jìn)一步推出v= ，由于環(huán)繞天體的運(yùn)行的線速度不同，運(yùn)行角速度、運(yùn)行周期與天體間的距離之間具有如下的關(guān)系：第一，天體間距離越遠(yuǎn)，運(yùn)行線速度越小；第二，天體間距離越遠(yuǎn)，運(yùn)行角速度越小；第三，天體間距離越遠(yuǎn)，運(yùn)行周期越長。

二、萬有引力定律在天體運(yùn)動(dòng)中的學(xué)習(xí)方法

（一）創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境

天體在太空的運(yùn)行狀態(tài)非常復(fù)雜，受到許多引力和引力場的作用，在學(xué)習(xí)認(rèn)知的過程中，我們可以自主創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境的方式，突破思維瓶頸。例如，上課之前，我們可以上網(wǎng)查找卡文迪許實(shí)驗(yàn)的相關(guān)視頻，從視覺上深刻感受假如沒有萬有引力，那么地球上的物體會(huì)漂浮在空中這一現(xiàn)象。在學(xué)習(xí)的過程中，我們通過“四個(gè)畫面”來獲知萬有引力對天體運(yùn)行的主導(dǎo)作用：第一幅，宇宙中八大行星與地球之間的位置關(guān)系；第二幅，月球與地球之間的位置關(guān)系；第三幅，人造衛(wèi)星與地球之間的運(yùn)行關(guān)系；第四幅，在地球上向上空拋擲任何物品都能落回地面。通過四個(gè)畫面，可以對萬有引力定律有一定的了解。這種自主創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境的方法，能夠培養(yǎng)我們獨(dú)立探索的能力，進(jìn)而在探知的過程中掌握天體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理知識(shí)，內(nèi)化為自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（二）創(chuàng)新學(xué)習(xí)模式

我們從小就聽過“牛頓與蘋果”的故事，在學(xué)習(xí)萬有引力定律的過程中，可以合理結(jié)合這一故事，創(chuàng)新學(xué)習(xí)模式。如，在學(xué)習(xí)萬有引力定律之前，可以查找一些有關(guān)牛頓的資料，例如，牛頓日記中“我不知道世人怎樣看我，但我自己認(rèn)為我是一個(gè)在海邊玩耍的孩子，在發(fā)現(xiàn)比尋常更加美麗的卵石時(shí)沾沾自喜，卻沒有發(fā)現(xiàn)展現(xiàn)在我面前浩瀚的海洋”。進(jìn)而在抱著探尋的心態(tài)學(xué)習(xí)萬有引力定律。在學(xué)習(xí)的過程中，我們還可以自主推導(dǎo)一遍公式內(nèi)容，由紛繁的數(shù)據(jù)到定律內(nèi)容，再到推導(dǎo)出一個(gè)具體的公式，形式簡潔但是意義深刻，使我們在重溫牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的歷程時(shí)，培養(yǎng)了探究復(fù)雜運(yùn)動(dòng)中隱藏著簡潔科學(xué)規(guī)律的核心素養(yǎng)。

（三）建立物理模型

理想模型的構(gòu)建是物理學(xué)研究問題的一種重要方法，在學(xué)習(xí)萬有引力定律時(shí)，涉及物理學(xué)和天體學(xué)，知識(shí)很抽象，不容易理解和想象，需要我們加強(qiáng)對構(gòu)建物理模型能力的培養(yǎng)。如，衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)狀況十分復(fù)雜，如何把這種實(shí)際狀況轉(zhuǎn)化成容易接受的簡單的物理模型來解決問題，結(jié)合天體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行分析，在各種作用力對衛(wèi)星運(yùn)行狀態(tài)的影響中，地球引力場的影響為主，其它作用力的影響相對較小，可以將衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而得知在衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)中，萬有引力為該運(yùn)動(dòng)提供向心力。通過這樣建立物理模型的方法，突出物理問題的主干，簡化次要因素，既可以幫助我們建立起清晰的物理情境，也使問題化難為易，化繁為簡，進(jìn)而提升了靈活思變、創(chuàng)造性思維的能力。

三、萬有引力定律在天體運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用

（一）赤道上的物體、近地衛(wèi)星及同步衛(wèi)星運(yùn)行參數(shù)的比較問題

學(xué)習(xí)萬有引力定律與航天知識(shí)后，我們知道：同步衛(wèi)星的半徑>近地衛(wèi)星的半徑>赤道上物體的半徑，其中近地衛(wèi)星和同步衛(wèi)星滿足萬有引力充當(dāng)向心力，而赤道上的物體是由萬有引力的分力充當(dāng)向心力。例如，在地球周圍，有a，b，c，d，四個(gè)衛(wèi)星，其與地球之間的距離由近及遠(yuǎn)依次為a，b，c，d，其中a還未發(fā)射，在赤道上隨著地球一起轉(zhuǎn)動(dòng)，b為近地軌道衛(wèi)星，c為地球同步衛(wèi)星，d為高空探測衛(wèi)星，所有衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)地球的自轉(zhuǎn)周期為24h，那么b在相同時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)過的弧長是否最長？在解決這一問題時(shí)，根據(jù)人造衛(wèi)星的萬有引力等于向心力，推導(dǎo)出V= ，繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，離地球越近線速度越大，因?yàn)閎的線速度最大，所以在相同時(shí)間轉(zhuǎn)過的弧長就最長。再如，近地軌道衛(wèi)星與地球同步衛(wèi)星的運(yùn)行周期的比較問題，同步衛(wèi)星在對近地衛(wèi)星的半徑進(jìn)行比較后，分別帶入T=2π 這一公式，解決近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星運(yùn)行周期的比較問題。可以得出：赤道上的物體、近地衛(wèi)星及同步衛(wèi)星運(yùn)行參數(shù)的比較問題，可以通過對衛(wèi)星運(yùn)行軌道半徑的比較來解決。

（二）衛(wèi)星變軌道問題

衛(wèi)星在空間運(yùn)行的軌跡叫軌道。在變質(zhì)量天體運(yùn)動(dòng)中的衛(wèi)星變軌道問題的學(xué)習(xí)中，首先需要了解到衛(wèi)星的變軌道往往是由于對接或空氣阻力引起的，當(dāng)衛(wèi)星的速率突然增加時(shí)，萬有引力不足以提供向心力，就會(huì)做離心運(yùn)動(dòng)，促使衛(wèi)星變軌道，并且軌道半徑變大。當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道并且穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，根據(jù)公式V= 可得出，運(yùn)行速率小于原軌道。當(dāng)衛(wèi)星在阻力的作用下，運(yùn)行速率小于原軌道運(yùn)行速率時(shí)，萬有引力將大于向心力，衛(wèi)星會(huì)做近心運(yùn)動(dòng)。例如，嫦娥三號在衛(wèi)星變軌道的過程中，就利用了這一部分的知識(shí)。在“嫦娥三號”運(yùn)行的過程中，其第一次通過近月制動(dòng)，使其在距離月球高度為100KM的高度運(yùn)動(dòng)，第二次對其近月制動(dòng)后，使其距離月球高度為15KM，第三次對其近月制動(dòng)，使其高度變?yōu)?00KM。問：“嫦娥一號”在第一次變軌道之后的運(yùn)動(dòng)周期，是否大于第二次變軌道之后的運(yùn)動(dòng)周期？在解決這一問題時(shí)，需要根據(jù)上述公式V= 進(jìn)行帶入，可以得出在衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)的過程中，軌道半徑變大。在進(jìn)行向心運(yùn)動(dòng)的過程中，軌道半徑變小，“嫦娥一號”在進(jìn)行第一次變軌道的運(yùn)動(dòng)周期大于第二次變軌道的運(yùn)動(dòng)周期。

（三）天體表面重力加速度的問題

天體有自然天體和人造天體，其中自然天體有地球、月亮，人造天體有宇宙飛船、人造衛(wèi)星，在研究天體表面的重力加速度的過程中，需要將天體看作一個(gè)點(diǎn)，并將研究對象看作質(zhì)點(diǎn)，建立一質(zhì)點(diǎn)繞著另一質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物理模型，天體表面的萬有引力近似為重力，可以得出：G =mg 當(dāng)對衛(wèi)星方面的問題進(jìn)行研究的過程中，若已知中心天體表面的重力加速度為g 時(shí)，可以得出：GM=g R 這一代換式，又叫做黃金代換式，適用于萬有引力完全提供重力的天體的計(jì)算。

（四）計(jì)算天體的質(zhì)量與密度

在使用萬有引力對中心天體表面的重力加速度進(jìn)行計(jì)算的過程中，可以不考慮中心天體自轉(zhuǎn)的影響，其所受的重力等于所受的萬有引力，可得出mg=G ，并對其進(jìn)行推斷，可得出M= ，若將天體看作為均勻球體，其體積可以通過公式V= πR 計(jì)算出球體的體積，為了能夠計(jì)算出天體的密度，將其設(shè)為ρ，將上述公式帶入，可得天體密度的表達(dá)公式為ρ= ，在之后對天體密度進(jìn)行計(jì)算的過程中，可以將這一公式進(jìn)行帶入，繼而對題目中所求的密度進(jìn)行計(jì)算。例如：已知地球半徑，地球表面的重力加速度，求地球的質(zhì)量？在對這題進(jìn)行解答的過程中，可將上述公式進(jìn)行帶入，進(jìn)而得出：M=6.4×10 ，ρ=5.56×10 Kg/m 。

結(jié)論

綜上所述，在萬有引力與航天章節(jié)的學(xué)習(xí)中，我們要積極轉(zhuǎn)變思維方式，創(chuàng)新學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)構(gòu)建物理模型的能力，熟悉萬有引力定律，能夠應(yīng)用定律解決變質(zhì)量天體運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用中“疑難問題”，進(jìn)而激發(fā)我們探究天體運(yùn)動(dòng)奧秘的動(dòng)力，形成堅(jiān)定的科學(xué)信念。

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