從“飯來張口”到“自己動手”

徐騰云

摘 要：數學題目，不管是課本上，還是作業本上或試卷上，如果題目有圖，一般的題目都會給出圖形，這樣學生節省了畫圖的時間，但學生的畫圖能力、動手能力、分類討論的意識卻缺失了，近幾年杭州中考數學試卷在這方面動了腦筋，有意識地增加了學生自己畫圖題的數量，對培養學生的動手能力起到了良好的導向作用.

關鍵詞：初中數學；動手能力；分類討論

數學題，有圖的題大多給我們畫好，一般總是有“如圖”兩個字出現在題目當中，這種題有助于學生理解題意，不會走彎路，使學生把主要精力放在數學思維上.但是，數學題把圖畫好也有它的局限性，如一題多解的題它可能有多種圖示，如果把它都畫出來，就禁錮了學生的分類討論，傷害了題目的“靈魂”.同時，自己畫圖，也可以培養學生的動手能力，迫使學生仔細讀題，認真畫圖.有的學生做有圖題時，看題目“走馬觀花”，看圖形卻“一心一意”.導致疏忽了題目當中的重要條件，如“直線”看成“線段”，“延長BA”看成“延長AB”，“直線上”當作“線段上”等等.當然培養學生的動手能力，也是《義務教育數學課程標準》所要求的，《義務教育數學課程標準》指出：“動手實踐，自主探究，合作交流是學生學習數學的主要方式.有效的數學學習方式不能單純地依靠模仿與記憶.”“學生是數學學習的主人，應當給予學生以最多的思考、動手和交流的機會，經歷知識的生成，發展，變化的全過程.”“使學生親身經歷數學問題的提出過程、解決方案的探究過程.”課標從“雙基”到“四基”新增的“數學基本活動經驗”也強調學生自己的動手操作尤為重要，它是學生認知的首要環節.新課程標準倡導學生獲得知識應該是一個主動的過程，學生不是信息被動接受

者，而是知識獲得的主動者.這就要求我們讓學生動起來，使課堂活起來.有些學生，特別是幾何證明題，你叫他思考沒有問題，如果叫他寫出來則漏洞百出，缺乏條理.叫他根據題意畫圖，則無從下手，舉步維艱.就是叫他對著圖畫他也會把線段畫成弧.這方面，杭州中考的命題者做了有益的嘗試，近幾年杭州中考數學試卷增加了自己畫圖題的分量，淡化了繁雜的運算和解題的技巧性，著重考查學生的數學綜合素養，顯現了“反對題海戰術，提倡輕負高質”的導向.下面我們來看一下近幾年杭州中考數學的自己畫

圖題.

一、只需畫出圖形

只要根據題意畫出圖形，題目就迎刃而解.

例1.（2016杭州中考）已知直角三角形紙片的兩條直角邊長分別為m和n（m

A.m2+2mn+n2=0 B.m2-2mn+n2=0 C.m2+2mn-n2=0 D.m2-2mn-n2=0

簡析：畫出圖形，如圖1，由題意得到等腰直角△ABC的三邊長，利用勾股定理就可以做出選擇.

例2.（2016杭州中考）在平面直角坐標系中，已知A（2，3），

B（0，1），C（3，1），若線段AC與BD互相平分，則點D關于坐標原點的對稱點的坐標為_________________.

簡析：根據題意畫出圖形，如圖2，利用平行四邊形的性質求出點D的坐標，再利用中心對稱的性質求出點D對稱點的坐標.

二、畫圖時注意分類討論

分類討論是初中數學的難點，畫圖題學生也經常不能考慮

周全.

例3.（2016杭州中考）在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面內，以對角線BD為底邊作頂角為120°的等腰三角形BDE，則∠EBC的度數為 .

簡析：如圖3，這道題學生在畫圖的過程中一定要注意E點的位置有兩個，這樣∠EBC的度數也有兩個.

例4.（2015杭州中考）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，設點P（1，t）在反比例函數y=2/x的圖象上，過點P作直線l與x軸平行，點Q在直線l上，滿足QP=OP，若反比例函數y=k/x的圖象經過點Q，則k= .

簡析：如圖4，這道題先利用關系式求出t的值，然后再根據題意畫出圖形，注意Q點的位置有兩個，Q點的坐標就有兩個，k的值就有兩個.

例5.（2014杭州中考）點A，B，C都在半徑為r的圓上，直線AD⊥直線BC，垂足為D，直線BE⊥直線AC，垂足為E，直線AD與BE相交于點H，若BH=AC，則∠ABC所對的弧長等于

（長度單位）.

簡析：這道題與上面兩道分類討論畫圖題不同的是要畫兩個圖，∠ABC分銳角和鈍角兩種情況.兩種情況都考慮到的學生應該是非常優秀了.

三、題目雖有圖，但還需自己畫

（1）寫出其余滿足條件的⊙P的圓心坐標；

（2）在圖中標出所有圓心，并用線段依次連結各圓心，求所得幾何圖形的周長.

簡析：第（1）畫圖時要注意利用對稱分兩類求解①相鄰直線是對稱軸②不相鄰直線是對稱軸.

例7.（2016杭州中考）23.在線段AB的同側作射線AM和BN，若∠MAB與∠NBA的平分線分別交射線BN，AM于點E，F，AE和BF交于點P.如圖9，點點同學發現當射線AM，BN交于點C；且∠ACB=60°時，有以下兩個結論：

①∠APB=120°；②AF+BE=AB.

那么，當AM∥BN時：

（1）點點發現的結論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請求出∠APB的度數，寫出AF，BE，AB長度之間的等量關

系，并給予證明；

（2）設點Q為線段AE上一點，QB=5，若AF+BE=16，四邊形ABEF的面積為32，求AQ的長.

簡析：這道題雖然有圖，但（1）（2）兩題還需自己畫圖，第（2）題還需分類討論，注意∠MAB是銳角和∠MAB是鈍角兩種情況，如圖10.

例8.（2013杭州中考）射線QN與等邊△ABC的兩邊AB，BC分別交于點M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm.動點P從點Q出發，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動，經過t秒，以點P為圓心，cm為半徑的圓與△ABC的邊相切（切點在邊上），請寫出t可取的一切值.（單位：秒）

簡析：題目雖有圖，但還需自己畫，根據切點的位置分三種情況，如圖.

四、數形結合有助理解題意

例9.（2017杭州中考）在平面直角坐標系中，設二次函數y1=（x+a）（x-a-1），其中a≠0.

（1）若函數y1的圖象經過點（1，-2），求函數y1的表達式；

（2）若一次函數y2=ax+b的圖象與y1的圖象經過x軸上同一點，探究實數a，b滿足的關系式；

（3）已知點P（x0，m）和Q（1，n）在函數y1的圖象上，若m

簡析：這道題的第（3）小題，不用畫圖用解析法也可解，但通過畫圖，數形結合能夠更直觀、形象.

因為二次函數y1=（x+a）（x-a-1）的對稱軸x=0.5是個定值，當x=0與x=1時，函數值相等.通過畫圖很容易就可求出x0的取值范圍，如圖16.

有人會說，數學不是有尺規作圖題嗎？何必要多此一舉呢？這不一樣，尺規作圖題更加規范，要求更高.而自己畫圖題，則更自由，只要畫出題目的意思就行.對自己畫圖題，平時要加強對學生讀題能力的培養，老師少讀題，讓學生自己去理解、感知，通過設置“陷阱”“隱含條件”提高讀題能力，防止學生讀題“一滑而過”，找不到問題的切入點和有效信息.對有些例題也可考慮不給出圖形，讓學生根據題意自己來畫圖，以鍛煉學生對點、線、面的感知能力，提高作圖的速度和準確性，避免因作圖不準確等問題而束手無策.近幾年，杭州中考試卷幾乎都有自己畫圖題出現，自己畫圖題對題目命制要求更高，需要題目敘述清晰，不能模棱兩可，自己畫圖題讓學生既掌握了知識，又獲得了能力.自己畫圖題，有利于增加學生的感性認識，有助于激發學生興趣，發展學生思維.鄉村教育家陶行知說：“人有兩個寶，雙手和大腦.用手不用腦，飯也吃不飽.用腦不用手，就要被打倒.用手又用腦，才是開天辟地的大好老.”有意識地引導學生動手操作，使學生手腦得到更好的發展，使他們體驗到學習數學的快樂，同時在掌握知識的過程中，使學生的創新意識與創新能力得到有效發展.我想，從給出圖形“飯來張口”到自己畫圖“自己動手”，以后自己畫圖題會經常出現在中考試題中，直到動手能力弱這一缺陷得到彌補為止.

編輯 李建軍