常見三角函數數學思維方式的養成和探究

趙熙瑞

摘要： 三角函數是高中數學中的基礎知識，其思維方式十分靈活多變，其思索過程能夠培養人們深刻、高效的邏輯推理能力。因此，本文以三角函數為例，通過案例分析的方式，探索其常見的數學思維方式，并探討養成良好思維方式的基本措施，最后對各種思維方式的運用提出建議。

關鍵詞： 三角函數;思維方式;案例分析

中圖分類號： G633??? 文獻標識碼： A??? 文章編號： 1672-9129（2018）09-0166-02

Abstract：?? trigonometric function is the basic knowledge in high school mathematics. Its thinking mode is very flexible， and its thinking process can cultivate people's profound and efficient logical reasoning ability. Therefore， this paper takes trigonometric function as an example， explores its common mathematical thinking mode through case analysis， discusses the basic measures to develop a good thinking mode， and finally puts forward Suggestions on the application of various thinking modes.

Key words：? trigonometric function; Mode of thinking; Case analysis

1 引言

三角函數是高中數學的重點和難點部分之一，高中階段的學習包括正弦、余弦及正切三種，需要高中生加以全面掌握。三角函數題型變化多樣，思維方式也十分廣泛。目前，以三角函數思維方式為研究方向的相關論述較多，研究者們從多種角度對三角函數的思維方式加以歸納整理。但是，現有的研究成果往往只考慮了三角函數的思維方式，并沒有從深層次對培養思維方式的措施進行分析。因此，本文以三角函數的經典題型的解析出發，對三角函數常見思維方式（聯想思維、變換思維和圖像思維）進行歸納分析，并從反思能力、創新能力和實踐能力的角度提出培養三角函數思維方式的具體措施。

2 三角函數常見思維方式及案例分析

2.1聯想思維方式及案例分析。所謂聯想思維方式，就是由一個問題聯想到另一個相關的問題，從而將后一個問題的解決思路運用到前一個問題當中，從而最終解決問題。這一思維方式，在數學研究當中十分常見，是解決數學問題的重要橋梁。而在三角函數中，采用聯想思維方式解決問題的模式十分常見和有效。

例題：在△ABC中，內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，cosB=4/5，若c=2a求sinB/sinC的值。

解法：在△ABC中，因為cosB=4/5，

所以（a2+c2-b2）/2ac/2=4/5

因為c=2a，

所以[（c/2）2+c2-b2]/2c×c/2=4/5，即b2/c=9/20，

所以：b/c=3√5/10，

由正弦定理得sinB/sinC=b/c

所以：sinB/sinC=3√5/10

從上述例題的解題過程可以看到，解題者可以從三角函數中cosB的數值開始，聯想到三角形中對應的邊的比值，從而找到解題思路。聯想思維方式的應用，有助于培養學生的發散思維，從而提高思維的靈活性。

2.2變換思維方式及案例分析。變換思維方式在三角函數中應用廣泛，三角函數問題的解決多依靠于利用切弦轉化、降冪公式、二倍角公式及正余弦定理對原函數進行變換，將已知信息與問題進行量化聯系，從而解決三角函數問題。

例題：已知cos（π/6-α）=2/3，求sin（α-2π/3）的值。

解法：因為cos（π/6-α）=2/3，且（π/6-α）+（α-2π/3）=-π/2，

所以sin（α-2π/3）=sin[-π/2-（π/6-α）]=-sin[π/2+（π/6-α）]=-cos（π/6-α）=-2/3

從上述例題的解題過程可以看到，解題者可以利用誘導公式，將所求函數與已知函數相聯系，從而抓住解題要點。變換思維方式注重學生對各公式的理解和熟悉程度，有利于學生對題目進行重點剖析，提升思維的準確性。

2.3圖形思維方式及案例分析。在函數問題的解析過程中，其圖形思維方式即由函數的解析式作出圖像，通過圖像特征簡便求解函數單調性、值域、極值、最值等內容的解題方式。這種解題思路有利于快速對陌生函數進行初步了解，從而解決較為復雜的函數問題，在三角函數的解題過程中應用十分廣泛。

例題：求解f（x）=sinx/sinx+2的值域

解法：令t=sinx∈[-1，1] 則g（t）=t/t+2=1-2/t+2

然后建立平面直角坐標系，作出類反比例函數圖象如圖1所示。

由圖可得，值域為[-1，1/3]

從上述例題的解題過程可以看到，解題者可以通過換元方式將函數進行簡化，從而做出函數的圖像，并依據圖像進行快速解題。通過對圖形思維方式的應用，學生可以掌握三角函數快速解題的技巧，從而提高思維深度。

3 培養思維方式的措施

3.1培養反思能力。在三角函數的解題過程中，學生可以從現有題目解題過程進行總結和反思，尤其是可以對錯題的解題過程進行逐步對照，找出自己在解題過程中出現錯誤的根源，從而避免下次在面對同類型題目時出現類似的錯誤。

3.2培養創新能力。三角函數問題中常需采用發散性思維解決問題，學生可以對舊題進行思考，尋找新解法，找出最優解，從而加深對題目的理解，拓展解題思維能力，并有利于培養和鍛煉創新思維能力。

3.3培養實踐能力。為進一步加強解題能力，學生可以通過探究和實踐的方式，對三角函數各題型進行整理，并通過與自己所掌握的知識體系進行對比，從而找出知識盲區，總結解題方式，掌握三角函數解題技巧。

結論：本文從三角函數常見的聯想、變換和圖形思維方式出發，通過具體的案例，分析思維的過程，從而培鍛煉學生在三角函數領域思維的靈活性、準確性和思維深度，并從反思能力、創新能力和實踐能力的角度提出培養思維方式的具體措施。

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