論歐幾里得與幾何原本

羅子涵

摘要： 歐幾里得是古希臘的最負盛名的數(shù)學家，他的代表著作《幾何原本》對后世產生了極為深遠的影響，以他的作品為載體的眾多教科書軍均起到了顯著的教學效果。文章從高中生的角度出發(fā)，結合所學數(shù)學知識，試論對歐幾里得和幾何原本在數(shù)學發(fā)展史上的意義做一個探究。

關鍵詞： 歐幾里得;幾何原本;歐洲;奠基人

中圖分類號： O18??? 文獻標識碼： A??? 文章編號： 1672-9129（2018）09-0269-01

Abstract：? Euclid was one of the most famous mathematicians in ancient Greece. His representative work "the origin of geometry" had a profound influence on later generations. From the point of view of high school students， this paper discusses the significance of Euclid and geometry in the development of mathematics.

Key words：? Euclid; The original geometry; Europe; founder

歐幾里得是一位和藹可親的教育家，對有志學士，總是耐心指導。他極其厭惡投機取巧，不肯刻苦專研的行為和作風。在他的帶領下，歐洲數(shù)學蓬勃健康發(fā)展，研究氣氛濃厚，成為培養(yǎng)科研工作的搖籃。

1 幾何原本的意義

偉大的“幾何之父”歐幾里得著作了被譽為歐洲數(shù)學奠基的《幾何原本》，書中關于透視，圓錐曲線，球面幾何學以及數(shù)論的作品更是成為了幾何學研究的新方向。《幾何原本》對于后世的影響是深遠的，其意義是重大的，不僅僅是幾何意義，還包括歷史意義和對世人的借鑒意義。盡管《幾何原本》依然存在著一些不足，具有自身的局限性，但它確實推動了歐洲數(shù)學的發(fā)展，使無數(shù)人領悟到了幾何學的美妙，并運用在社會生產和生活中，進而推動了社會生產力的發(fā)展。總的來說，歐幾里德的《幾何原本》具備幾何意義、歷史意義以及借鑒意義，以下對其進行逐一介紹：

1.1幾何意義。歐幾里德的《幾何原本》中的透視，圓錐曲線，球面幾何學在幾何學的發(fā)展中起到了至關重要的作用。以透視和球面幾何學為例，透視利用了假設的原則，將人們看到事物的表面消去或隱藏，使人們直觀地看到了事物的整體。這種方法使得人們看到了事物的整體，其而事物在繪畫上的特點是產生形的虛實變化，色調的深淺變化，形的平面變化，形的繁簡變化。球面幾何學是建立的平面幾何和立體幾何上發(fā)展出來的新幾何學，它研究的方向是球面上的幾何知識，例如二面角，投影，映射等內容，它對天文學和氣象學的發(fā)展有重要的推動作用。

1.2歷史意義。《幾何原本》推動了歐洲數(shù)學史的發(fā)展，因為歐幾里得在其中對幾何進行了全面的解析和注釋，并以最直觀簡單的方式呈現(xiàn)了幾何的美妙，闡述了幾何的數(shù)學本質。歐幾里得的功績可謂全無古人后無來者，他的著作將幾何學推到了一個全新的高度，使得幾何學成為了一個獨立的數(shù)學體系，被當下的人們稱之為“數(shù)學中的科學”。不僅如此，歐幾里得還發(fā)現(xiàn)了勾股定理，為后世之人研究三角形的邊角關系提供了強大的理論基礎，在兩千年后的今天，人們至今還無法找到像《幾何原本》那樣邏輯縝密、推理直觀的出色數(shù)學教材。

1.3借鑒意義。《幾何原本》的誕生對后世產生了深遠的影響，使無數(shù)的人接觸到幾何學并且深入了解幾何學，歷史上有數(shù)不勝數(shù)的科學家因為學習《幾何原本》而提高了自己的認知水平，最終作出了偉大的貢獻。《幾何原本》從兩千多年流傳至今，并沒有因為時間的流逝而被人們遺棄，反而在現(xiàn)代社會作出了極其巨大的貢獻。在二十一世紀的今天，《幾何原本》的內容被教輔人員編寫進教科書中，成為當下中學數(shù)學教材中必不可少的內容，依舊影響著無數(shù)的中學生。

2 幾何原本的局限性

《幾何原本》具備幾何意義、歷史意義以及借鑒意義等多種意義，對后世產生了深遠的影響，可謂是幾何學的“百科全書”。盡管如此，《幾何原本》還是存在著一些不足和缺陷，因為幾何學并不能在所有的條件下使用，其系統(tǒng)還不夠完善以及許多問題和解法沒有涉及。經(jīng)過總結，《幾何原本》的局限性主要又三點，第一是幾何學只適合于所謂平直的空間，第二是公里系統(tǒng)并不完備，第三是很多幾何例題沒有在書中涉及與說明。以下將《幾何原本》的局限性進行逐一分析：

2.1幾何學只適合于所謂平直的空間。事實上，《幾何原本》中的假設和公式并不能放之四海而皆準，因為這些假設和公式的成立是需要特定的條件的。在《幾何原本》里第五公設（平行公設）尚，后人發(fā)現(xiàn)在特定的情況下并沒有辦法適用，經(jīng)過研究和分析發(fā)現(xiàn)，這種公設只適合在平直的空間里。一旦不在平直空間上，在曲面和球面的空間里，《幾何原本》中的定理和公設將變得不再奏效，因此歐幾里得的研究并非十全十美。

2.2公理系統(tǒng)并不完備。《幾何原本》中的公理系統(tǒng)并不完備，沒有嚴格地按照假設-演繹推理的方法得出完整的公理系統(tǒng)，因此后人在學習的時候也容易陷入數(shù)學誤區(qū)。舉個例子，比如著名的第一條命題——可以做一個等邊三角形——本身就隱含了圓心距小于半徑和的兩圓一定能相交的前提。雖然《幾何原理》的絕大多數(shù)證明和公式定理都是無法推翻的，但一些公理系統(tǒng)卻不完整，比較容易造成學習障礙。

2.3很多幾何問題沒有涉及到。雖然人們將《幾何原本》成為“幾何學的百科全書”，但許多幾何問題并沒有在《幾何原本》中涉及，例如歐幾里得在某條定理中說明了“圓是和內接正方形成正比的”，但他卻沒有表示圓的面積到底是多少，也沒有給出圓周率的近似值。《幾何原本》只討論了部分類型的無理數(shù)，用線段、面積等概念來說明計算問題，我們在看待《幾何原本》的不足的同時，也應該看到《幾何原本》的光輝，因為這些不足絲毫無損于它的光輝。

綜上所述，《幾何原本》具備幾何意義、歷史意義以及借鑒意義等多種意義，對后世產生了深遠的影響，可謂是幾何學的“百科全書”。而我們在欣賞《幾何原本》的同時還應該看到它的不足，辯證看待問題，從而提高自身對幾何學的了解與認知。

參考文獻：

[1]梁衍章; 姚春峰.歐幾里得《幾何原本》溯源[J].哈爾濱師范大學自然科學學報.2013-08-20

[2]吳維煊.《幾何原本》的意義及對數(shù)學發(fā)展的深遠影響[J].廣東第二師范學院學報.2015-10-20