微積分的發展史簡述

周銳

摘要：微積分是數學的一個分支，在數學史上占有重要地位。本文根據時間進程闡述了微積分的發展史及其簡要應用。

關鍵詞：微積分;發展史;牛頓;萊布尼茲

微積分是數學中的基礎學科，也是近現代數學中的重要基石和起點。它在物理、化學、生物等自然學科中被普遍利用，在社會、經濟、人文等范疇也是重要的研究工具之一。

本文將沿著微積分學的發展時間歷程，簡要論述微積分的發展史。

一、微積分的萌芽之初

微積分學發展得最早的是積分學的思想，可以追溯到古希臘時期[1]。其中做出重要貢獻的有古希臘數學家芝諾提出的四大悖論。古希臘哲學家德謨克利特斯的原子論則充分體現了近代積分的思想，他認為任意事物都是由原子構成。古希臘詭辯家安提豐提出的“窮竭法”是極限理論最早的表現形式。古希臘數學家歐多克斯進一步研究原子論和窮竭法，使這兩個理論得以穩健前進。古希臘著名數學家阿基米德所提出的“平衡法”實質上是一種較原始的“積分法”。他在著作《拋物線求積法》一書中運用窮竭法求出了拋物線構成的弓形的面積。

二、微積分創立之前的醞釀

由于種種影響，微積分的概念在15世紀之前一直處于萌芽階段[2]。推動歐洲崛起的新航路開辟和文藝復興是15世紀的大事件。從14世紀到16世紀的文藝復興在意大利各城市興起，之后推廣到西歐各國，帶來了一場關于科學與藝術的革命。隨著文藝復興的興起，生產的發展帶動了科學的發展。與此同時希臘的著作大量進入歐洲，隨著活板印刷的發明，知識的傳播更加迅速，自然學科開始活躍，自然學科中的數學得以有進一步發展的機會。在時代背景下，數學成為唯一被公認的真理得以推廣。

天文學、光學、力學等自然學科的發展被生產力的發展所推動，為數學帶來了大量的研究問題[3]，許多學者開始考慮研究微積分的思想[4]。

開普勒是德國杰出的天文學家、物理學家、數學家和哲學家。他在《測量酒桶的新立體幾何》一書中主要對如何求解旋轉體體積的方法進行研究。他在研究過程中引入了無窮大和無窮小的概念，把旋轉體的體積分成若干極小的部分，得出一種“無限小元素法”，利用這個方法他求出了近百種旋轉體的體積。

笛卡爾是著名的法國哲學家、數學家、物理學家。他將幾何坐標這一體系進行公式化，大家公認為他是解析幾何之父。他在1637年完成的《幾何學》一書中創建了解析幾何學，他打破了自古希臘以來代數和幾何分離的狀態被改變，他把無關的“代數”與“幾何形式”統一起來，使得幾何曲線與代數方程得以結合。在書中提到用代數的方法求切線，這一天馬行空的見解為微積分的創建埋下基礎的種子，等待日后的萌芽成長。他的見解實現了數學史的飛躍，開拓了變量數學的發展空間。

帕斯卡是法國著名數學家、物理學家，他從無窮小分析的基礎上進一步研究不可分原理，由此得到求任一曲線所圍面積及重心的一般方法，利用積分學的原理解決了困擾已久的擺線問題。費馬在他的研究中注意到很小的弧與切線是可以互相代替的。這一觀點對萊布尼茲創立微積分學有很大啟發。

三、微積分理論的創立

牛頓用物理學的角度研究微積分。1665年5月，首次提出了“流數術”的概念。流數即微商。牛頓認為任何運動都在空間中進行，且與時間緊密相關。他將連續變量稱為“流動量”，那么流動量的導數是“流動率”。他在《流數術》一書中研究的問題是：“已知某些量之間的關系，算出它們的流數，以及反過來的計算;已知物體做連續運動的路程，確定某一時間的速度;已知物體運動的速度，確定某一時間段內的路程。”這一問題的研究使牛頓超過了所有的微積分先驅者。其中他在流數術中的他完整地指出微分與積分互為逆運算，并把求切線和求面積之間的互逆關系從巴羅提出的純幾何形式推廣到代數形式，這個公式現在成為微積分基本定理。萊布尼茲不同于牛頓從運動學的角度研究微積分，他是從幾何學的角度去思考，他創造的微積分符號要優于牛頓，促進了微積分的發展。

四、微積分理論的完善

自十七世紀以來，微積分的概念被廣泛用于解決天文學、力學、物理學中各種實際問題。牛頓和萊布尼茲在無窮和無窮小量的問題上十分含糊，因此就微積分的基礎是否穩固爆發了一場大爭論。許多數學家在微積分基礎不嚴密的情況下創立了許多輝煌成就。

歐拉用微積分的概念和技巧解決了大量天文學、物理學、力學等問題，開創了無窮級數、微分方程、變分學等諸多學科。他出版的《無限小分析引論》以及緊接著發表的《微分學》和《積分學》中都引進了一類標準符號。例如：函數符號、求和符號、自然對數底數、虛數符號等等。對微積分的分析表達的規范起重要作用。

勒讓德提出的橢圓函數論，是在麥克勞林和達朗貝爾研究過的可以用橢圓和雙曲線的弧表示的積分的基礎上。還有拉普拉斯、傅里葉等許多大數學家在分析學上都有巨大貢獻，但微積分學的基礎問題卻沒有找到解決辦法。對于數學分析是否嚴密的問題一直留在那里。

為了微積分自身的發展和完善，在十九世紀許多數學家開始重新考慮微積分的邏輯基礎和嚴密性，取得了重要成果。例如波爾查諾將連續函數的意義建立在極限概念上，并舉出了處處不可微函數的例子。

法國著名的數學家柯西在分析基礎、常微分方程、單復變函數等方面有卓越成就，他是極限理論即微積分的真正理論基礎的創建者。他在《分析教程》和《無限小計算教程概論》中，將嚴格化作為目標，給出了微積分基本概念例如變量、極限、連續性、導數、微分等的明確定義以及相關證明，建立了極限理論。

維爾斯特拉斯使極限理論成為微積分的基礎。從而使微積分進一步發展。黎曼認為可積函數不一定是連續的，還指出了不連續函數的積分。他建立了黎曼積分的概念，給出了它存在的充要條件。法國數學家勒貝格在定義積分的時候采取劃分值域的辦法，使積分歸結為測度，從而突破黎曼積分的局限性，進一步發展積分理論。

參考文獻：

[1]祁衛紅、羅彩玲，微積分的產生與發展[J].山西廣播電視大學學報，2003.2.103-104

[2]李濤，漫談微積分的產生與發展[J].數學史話，2006.2.40-41

[3]劉和義、劉旭浩，微積分發展簡史[J].衡水學院學報，2005.7（1）.7-9

[4]朱燕麟，微積分歷史上的兩個重要發展階段[J].江蘇教育學院學報，2010.26（12）.26-27