立足課堂教學 滲透數學轉化思想

黃澤容

【內容摘要】數學思想是數學方法的靈魂，轉化思想是數學思想的核心。轉化思想是把問題由一種形式轉化成另一種形式，使問題變得更簡單、更清楚、更容易求解的思維方法。在小學課堂教學中，教師要挖掘教材中所蘊含的轉化思想，并有意識地把轉化思想滲透到教學過程中，“授之以漁”，讓學生學會用轉化思想去分析、解決問題，開發智力，發展能力，提高數學素養。本文主要從三個方面闡述如何在課堂教學中滲透數學轉化思想：一、化陌生為熟悉，把握知識生長點；二、化曲為直，提高空間想象力；三、化繁為簡，優化解題策略。

【關鍵詞】課堂教學 化陌生為熟悉 化曲為直 化繁為簡

《數學課程標準》2011年版，總目標部分明確提出：“通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必須的數學基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。”《數學課程標準》從“雙基”發展到“四基”，數學思想得以彰顯出來，是課程目標發展走向縱深的必然結果和時代需求，也對廣大教師的課堂教學提出了新的要求。《數學課程標準》還指出：“課程內容不僅包括數學結論，而且包括數學結論的形成過程和數學思想方法”。數學思想是數學方法的靈魂，它重在讓學生經歷感悟、體會、發現、創造等過程，讓學生的學習觸及數學本質，并把數學思想作為引領教學的根本。而轉化思想是數學思想的核心，它是把問題由一種形式轉化成另一種形式，使問題變得更簡單、更清楚、更容易求解的思維方法。利用它可以把陌生的問題轉化為熟悉的問題，把復雜繁瑣的問題轉化為簡單的問題，把未知轉化為已知……轉化思想要以教材為載體，通過數學知識中的概念、公式、性質和例題等內容的“再創造”彰顯出來。因此，教師要系統地去發掘和梳理各年段教材中所蘊含的轉化思想，并根據不同年級，不同教材特點，不同教學內容，滲透到教學過程中，讓學生體驗和經歷數學轉化思想的過程，通過潛移默化、潤物無聲的手段扎根于學生的大腦，逐步形成數學素養，并服務于學生的學習及生活。例如，小學計算教學內容中滲透轉化思想的有：異分母分數的加減法，經過通分轉化為同分母分數加減法；除數是小數的除法，將被除數和除數同時擴大相同的倍數，轉化成除數是整數的除法；分數與小數的轉化；除法、分數和比之間的轉化等等。如北師大版三年級上冊《存零用錢》一課，在元、角、分的背景下學習小數加減法是教材最突出的一個特點，教材創設了存零用錢的現實生活情境，引導學生滲透轉化思想，探索小數加減法的三種不同計算方法：一是根據元、角、分與小數的關系，轉換成幾元幾角進行計算；二是根據小數的意義及小數與整數之間的關系，都轉換成以角為單位的整數來計算；三是根據位值的原理，直接借助豎式將兩個小數相加。再如教材中編排的假設問題的策略，重在讓學生體會假設、轉化、推理的思想與方法。

因此，教師要把握好教材中含有轉化思想的內容，引導學生通過回顧與反思來提升原有的認知結構，弄清新知與舊知之間的內在聯系，合理運用轉化思想方法，感悟數學轉化思想方法的內在魅力和作用，學以致用，以便更好地、有效地開展自主學習。在課堂教學中，如何滲透數學轉化思想，有意識地培養學生學會用轉化思想分析問題、解決問題，提高課堂教學效率，開發學生智力，發展能力，提高數學素養。結合本人教學實踐，談談幾點粗淺做法：

一、化陌生為熟悉，把握知識的生長點

如果說數學思想是數學中的靈魂，那么轉化思想就是數學思想的核心。轉化思想是數學學習和研究的一種重要思想方法，運用轉化思想的方法推導圖形面積計算公式，促進舊知與新知的正遷移， 轉化思想幾乎無處不在。在實際教學中，通過轉化，可以把學生感到陌生的問題轉化成熟悉的問題，化未知為已知，并利用已有的知識經驗進行解答，突破難點，掌握新知，而已有知識就是這個新知的生長點。

例如，三角形的面積是在學生學習掌握長方形、平行四邊形面積計算方法之后安排的，教學時，需要教師靈活運用“把未知轉化為已知”的基本轉化思想，融匯貫通，舉一反三，把三角形通過剪一剪、拼一拼、擺一擺轉化成熟悉的圖形，讓學生在猜想、實驗操作、合作交流 中，探究所研究圖形與轉化后的圖形之間的聯系，從而發現新圖形面積計算公式，體驗學習的成就感。我是這樣設計教學程 序的：先復習舊知識，讓學生說說平行四邊形的面積公式是怎樣推導出來的，然 后把新的問題直接拋給學生：“怎樣把三角形的面積轉化成已經學過的圖形面積？”接著，讓學生組成學習小組進行討論、探究。學生在小組合作交流中進行 轉化的深入探究，并利用銳角三角形、直角三角形、等腰三角形、鈍角三角形進行實踐操作。學生利用已有的知識和經驗，剪一剪、拼一拼、擺一擺，尋找可能方法，將三角形成功地轉化成已經學過的圖形，再通過合作交流的方式進行思維碰撞，在動手操作和實驗中，進一步發現三角形與拼成的平行四邊形、長方形、正方形的底和高的對應關系，輕松地推導出三角形的面積計算公式。這樣多層次的探究，既溝通新舊知識的聯系，又激發了學生的求知欲望，使學生不僅知其然，更知其所以然。緊接著，學生們迫不及待地舉手分享交流結果。學生A說：“我們用兩個完全一樣的銳角三角形拼成一個平行四邊形 ，三角形的底等于拼成的平行四邊形的底，高等于平行四邊形的高，三角形的面積等于拼成的平行四邊形面積的一半，因為平行四邊形的面積=底×高，所以，三角形的面積=底×高÷2”。學生B說：“我們用兩個完全一樣的直角三角形或等腰直角三角形拼成一個長方形 （或正方形 ），三角形的底等于拼成的長方形的長，高等于長方形的寬，因為長方形的面積=長×寬，三角形的面積是拼成的長方形面積的一半，所以，三角形的面積=底×高÷2”。學生C說：“我們用兩個完全一樣的鈍角三角形拼成一個平行四邊形 ，三角形的底是拼成的平行四邊形的底，高是拼成的平行四邊形的高，三角形的面積是拼成平行四邊形面積的一半，因為平行四邊形的面積=底×高，所以，三角形的面積=底×高÷2”。學生D說：“我們找到三角形的一條高，從高的二分之一處剪去一個小三角形，再把剪下來的小三角形拼到右邊，這樣就把三角形轉化成平行四邊形 。三角形的底就是拼成的平行四邊形的底，高是拼成的平行四邊形的高的一半，因為平行四邊形的面積=底×高，所以，三角形的面積=底×（高÷2）=底×高÷2，最后我利用多媒體課件，動態演示將三角形割補成平行四邊形的過程，直觀形象地突破難點，強化轉化思想的感悟。為了克服易錯點，當學生推導出三角形的面積=底×高÷2之后，我追問學生：“‘底×高表示什么意思？為什么要除以2呢？”生答：“‘底×高表示用兩個完全一樣的三角形拼成平行四邊形的面積，因為，一個三角形的面積等于拼成的平行四邊形（或長方形或正方形）面積的一半，所以，要除以2”。

在整個探究過程中，我精心設計，抓住知識的生長點，實現學習的正遷移。學生積極地參與到各項探究活動中，動手操作、合作交流，直觀形象地掌握了拼擺法和割補法，在不斷驗證、探究中體驗到應用轉化思想的樂趣，對自己推導出來的公式記憶猶新，轉化思想方法也在學習過程中潛移默化。

二、化曲為直，提高空間想象力

化曲為直的轉化方法是小學數學學習曲面周長和面積的主要思想方法，通過精心設計的教學情境，揭示事物的本質聯系，為學生創設一個更廣闊的思維空間，從而提高動手操作能力和空間想象力。例如：在教學圓柱的側面積時，我讓學生發揮手、眼、腦多種感官的協調作用，用手摸一摸、圍一圍，再動腦想一想，充分感知這個側面與平時學過的平面有何不同？接著我問學生：“圓柱的側面是個曲面，很難求出它的面積，哪位魔術師能把它變成別的形狀，轉化成我們已經學過的圖形來求出它的面積？”一石激起千層浪，學生情緒高漲，躍躍欲試，紛紛動手操作。有的魔術師說：“我沿著高把側面剪出，變成一個長方形，因為長方形的長相當于圓柱的底面周長，長方形的寬相當于圓柱的高，長方形的面積=長×寬，所以，圓柱的側面積=底面周長×高；”有的魔術師說：“我把側面斜著剪出，變成一個平行四邊形，因為平行四邊形的底相當于圓柱的底面周長，平行四邊形的高相當于圓柱的高，平行四邊形的面積=底×高，所以，圓柱的側面積=底面周長×高；”還有的魔術師說：“我沿著圓柱的高剪成一個正方形，因為這個圓柱的底面周長和高相等，所以我剪出來的側面積是個正方形，根據正方形的面積=邊長×邊長，所以，圓柱的側面積=底面周長×高；”有的魔術師用手把側面撕成一個不規則的圖形……緊接著，又讓學生討論：評評誰是最佳魔術師？哪種變法最優？最容易求出圓柱的側面積？為什么？學生經過討論交流，達成共識：把側面變為長方形的方法最優，因為這樣一變，最直觀易見，計算也最為簡便。

通過這樣的情境創設，讓學生充當魔術師，滲透轉化思想，引導學生化曲為直，提高空間想象力，既活躍了課堂氣氛，又讓學生在輕松愉快的氛圍中興趣盎然的投入學習，從而提高學習效率。

三、化繁為簡，優化解題策略

古人云：“學起于思，思源于疑。”人的思維是一個從發現問題、分析問題到解決問題的過程。課堂教學也是如此，學生只有發現問題，才能產生求知欲，喚起濃厚的學習興趣。在解決實際問題時，有些題目比較復雜，有些條件帶有欺騙性，也有些條件隱藏或條件缺失，經常讓學生的思維陷入“山重水復疑無路”的困境。這時候，教師如能應用轉化思想方法引導學生轉變解題思路，另辟蹊徑，尋求解題突破口，往往會讓學生感到“柳暗花明又一村”，使問題由難變易，化繁瑣為簡單，從而優化解題策略，以達到事半功倍的學習效果。例如：甲乙兩車同時由兩站相向開出，經過18小時相遇，如果甲車行駛完這兩站的路程需要45小時，求乙車行完全程需要多少小時？這是一道條件缺失的行程應用題，要求乙車行完全程需要多少小時，但是題目中沒有直接告訴我們總路程和速度的具體數量，如果用常規法解題就仿佛走進了“死胡同”，感到束手無策。我在教學這道題時就有學生舉手說：“老師，這道題出錯了！”我說：“錯在哪兒呀？”學生回答：“題目中沒有告訴我們總路程和速度的具體數量，所以沒辦法解答。”這時，我引導學生：“真的沒辦法解答嗎？如果我們用常規的方法無法解決問題，那么我們能不能試著用轉化的方法，把它轉化成其他類型的應用題呢？我們一起來討論討論。”學生一聽，茅塞頓開，教室里立刻炸開了鍋，大家議論紛紛。經過小組討論交流，最后學生興奮地說：“老師，把題目轉化成工程問題就能迎刃而解了。”接著，我讓學生分享轉化的過程：學生說：“可以把甲乙兩站的總路程轉化為工程問題的單位‘1；把經過18小時相遇，轉化成甲乙兩人的合作時間；把甲行完全程需要45小時轉化成甲獨做的工作時間；再把問題轉化成求乙單獨完成的時間，這道題就水到渠成地轉化成一道完整的工程問題。”即：1÷（1/18-1/45）=30（小時）答：乙車需要30小時行完全程。

實踐證明，轉化思想是數學解題的一個重要技巧，它能分散難點，化難為易，化繁為簡，優化解題策略，提高學生解決實際問題的能力。在應用轉化思想時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標準化原則，使轉化過程省時高效，猶如順水推舟，有利于培養學生思維的靈活性。

著名的數學家喬治·波利亞說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路。”在課堂教學中，教師要努力挖掘數學知識中所蘊含的數學思想，并在教學過程中滲透轉化思想，讓學生了解、掌握和運用轉化思想與方法，開發智力，發展能力，提高數學素養；讓轉化思想植根于學生頭腦，提高課堂教學效果；讓轉化思想為數學揭秘，使數學彰顯無窮魅力！

【參考文獻】

[1] 《數學課程標準》2011年版；

[2] 《小學數學教師》2017年第9期；

[3] 《新課程課堂教學技能與學科教學》小學數學，世界知識出版社。