可逆矩陣的應用

雷黃蕊?邱杰

摘要：可逆矩陣在矩陣理論中占有非常重要的地位。本文通過探討矩陣可逆的推廣以及在線性方程組中的應用，為以后學者關于可逆矩陣的研究奠定了基礎。

關鍵詞：可逆矩陣；推廣；應用

一、可逆矩陣的推廣——廣義逆

考慮非齊次線性方程組：Ax=b（1.1）

其中A∈Cm×n，b∈Cm給定，而x∈Cn為待定向量，如果存在向量x使方程組（4.1）成立，則稱方程組相容，否則稱為不相容或矛盾方程組。

關于方程組求解問題，常見的有以下幾種情況

方程組（1.1）相容時，求出其通解；

如果方程組相容，其解可能有無窮多個，求出具有極小范數的解，即（1.2）

其中為歐氏范數，滿足該條件的解是唯一的，稱為極小范數解。

如果方程組（1.1）不相容，則不存在通常意義下的解，但在許多實際問題中，需要求出極值問題

（1.3）

的解x，其中為歐氏范數，稱這個極值問題為求矛盾方程組的最小二乘問題，相應的x稱為矛盾方程組的最小二乘解。

一般說來，矛盾方程組的最小二乘解也不是唯一的，但在最小二乘解的集合中，具有極小范數的解

（1.4）

是唯一的，稱之為極小范數最小二乘解。

廣義逆矩陣與線性方程組的求解有著極為密切的關系，利用廣義逆矩陣可以求出上述諸多問題的解。

二、逆矩陣在線性方程組中的應用——相容方程組的求解

對于線性方程組（1.1），若系數矩陣A非奇異，則x=A-1b就是方程組的唯一解，但當A是奇異方陣或長方矩陣時，它的逆不存在或無意義，但是我們可以利用廣義逆矩陣來求方程組的解。

定理1.1 線性方程組（1.1）相容的充要條件是AA（1）b=b（1.5）

且其通解為x=A（1）b+（In-A（1）A）y（1.6）

其中y∈Cn任意。

證明：若方程組（1.1）相容，則設x是方程組的任意解，有

b=Ax=AA（1）Ax=AA（1）b，

反之，若AA（1）b=b，則A（1）b顯然就是方程組的解，所以，線性方程組（1.1）相容的充要條件是AA（1）b=b.

當方程組（1.1）相容時，顯然

Ax=AA（1）b（In-A（1）A）y=b，

即式（1.6）是方程組的解。

設x是方程組的任意解，則x=A（1）b+（In-A（1）A）x是方程組的解，因此，方程組的任意解都可以改寫成式（1.6）的形式，所以，式（1.6）是方程組（1.1）的通解。

定理1.2 相容方程組（1.1）的極小范數解唯一，且這個唯一解在R（AE）中。

證明： 設Ax=b的極小范數解為x0，假設x0∈R（AH），

則由，

知x0=y0+y1，y0∈R（AH），y1∈N（A）且y1≠0，

于是‖x0‖2=‖y0‖2+‖y1‖2>‖y0‖2，

與x0時方程組的極小范數解矛盾，所以，假設不成立，極小范數解在R（AH）中。

若y0∈R（AH）且Ay0=b，

則A（x0-y0）=Ax0-Ay0=0，

即x0-y0∈N（A）=R┻（AH），又x0-y0∈R（AH），

故x0-y0∈R（AH）∩R┻（AH），

即x0x0-y0y0，所以，極小范數解唯一。

定理1.3 設方程組（1.1）相容，則

x=A（1，4）b

是極小范數解，其中A（1，4）∈A{1，4}.

證明： 方程組（1.1）相容，則b∈R（A），由定理1.1知，對任意的A（1，4）∈A{1，4}，x=A（1，4）b都是方程組的解，由b∈R（A），則存在u∈Cn使b=Au，

所以A（1，4）b=A（1，4）Au=（A（1，4）A）HuR（AH），

根據定理1.2，x=A（1，4）b是方程組（4.1）的唯一極小范數解。

結語

本文主要討論了可逆矩陣的推廣以及在線性方程中的應用.計算機中在處理大的數據時，常運用Matlab計算方法得出我們需要的結果，避免了在數學計算中的復雜性，這給矩陣理論的深入研究和實際應用提供了發展空間，同時也需要我們進一步的學習和探究。

參考文獻：

[1]王龍，荊澤泉，王為. 可逆矩陣加密算法初步研究與應用設計[J]. 數字技術與應用，2012，09：111-112.

[2]姜同松. 矩陣的表示理論及其在數值計算中的應用[D].華東師范大學，2003.

作者簡介：

雷黃蕊（1995年—），女，四川成都人，碩士，成都理工大學管理科學學院，研究方向：計算數學。

邱杰（1992年—），女，四川攀枝花人，碩士，成都理工大學管理科學學院，研究方向：科學計算與算法分析。