無理數(shù)概念的PCK內(nèi)涵分析

智婧超

一、課標(biāo)的要求

了解無理數(shù)的概念。

二、無理數(shù)概念的理解以及其所蘊涵的學(xué)科教育價值

（一）無理數(shù)概念

教材給出的無理數(shù)的概念是：無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)，實質(zhì)上，無理數(shù)的本質(zhì)屬性是與無限不循環(huán)小數(shù)的等價性，從有理數(shù)的角度來看，無理數(shù)既不是整數(shù)又不是分?jǐn)?shù)。教材將認(rèn)識無理數(shù)這一內(nèi)容分為兩個課時，第一課時主要是為了讓學(xué)生感受到無理數(shù)在生活中的存在性和廣泛性。第二課時主要用估算的方法得到無理數(shù)的小數(shù)表示形式，從而得出無理數(shù)的概念。

（二）無理數(shù)概念的教育價值

無理數(shù)概念這一節(jié)內(nèi)容是在勾股定理及有理數(shù)概念的基礎(chǔ)上，再一次讓學(xué)生感受數(shù)不夠用了，從而引入無理數(shù)將數(shù)的范圍擴張大了實數(shù)。是上一章勾股定理的進一步深化，同時又是實數(shù)概念及運算的開始。

學(xué)好本節(jié)課，不僅能夠發(fā)展學(xué)生的抽象能力、推理能力，同時，也讓學(xué)生體會到逼近的思想和數(shù)形結(jié)合的思想。因此，在課堂中應(yīng)該注意滲透這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

有理數(shù)來源于生活，無理數(shù)來源于數(shù)學(xué)本身，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的過程中，進一步發(fā)展科學(xué)精神和理性思維，這也體現(xiàn)了本節(jié)課的教育價值。

三、無理數(shù)概念與其他數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系

小學(xué)階段，小數(shù)的分類和分?jǐn)?shù)與小數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系，是探索無理數(shù)與無限不循環(huán)小數(shù)之間關(guān)系的基礎(chǔ)。在七年級，數(shù)域擴張到了有理數(shù)數(shù)域，可以用有理數(shù)的概念來判斷一個數(shù)是否是有理數(shù)，從而發(fā)現(xiàn)不是有理數(shù)的新數(shù)，在初中階段，既不是整數(shù)又不是分?jǐn)?shù)的數(shù)就是無理數(shù)。高中階段，學(xué)生又將學(xué)習(xí)虛數(shù)，將數(shù)域擴充到復(fù)數(shù)數(shù)域。

八年級的勾股定理為無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)奠定了基礎(chǔ)。無理數(shù)的學(xué)習(xí)為以后學(xué)習(xí)二次根式及一元二次方程等知識做好了鋪墊。

四、學(xué)生學(xué)習(xí)無理數(shù)概念的經(jīng)驗、困惑以及容易發(fā)生的錯誤

（一）學(xué)習(xí)有理數(shù)概念的經(jīng)驗

1.學(xué)生已經(jīng)在小學(xué)學(xué)習(xí)了小數(shù)的分類，分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間的關(guān)系，體會了第一次數(shù)的擴張，對無理數(shù)的概念學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。

2.學(xué)生在七年級上半學(xué)期，體會了數(shù)的第二次擴張， 學(xué)習(xí)了有理數(shù)的概念和分類，可以運用有理數(shù)的概念判斷一個數(shù)是否是有理數(shù)，從而發(fā)現(xiàn)無理數(shù)這種新數(shù)。

3.八年級上第一章，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了勾股定理，為無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)奠定基礎(chǔ)，也為學(xué)生構(gòu)造無理數(shù)的線段提供了方法。

（二）學(xué)習(xí)有理數(shù)概念的困惑以及容易發(fā)生的錯誤

1. 學(xué)生在判斷當(dāng) 時， 是否為有理數(shù)時可能存在無從下手的感覺，沒有解題思路。

2. 學(xué)生在構(gòu)造三邊分別為有理數(shù)或無理數(shù)的直角三角形時可能存在問題。

五、確定無理數(shù)概念課的教學(xué)目標(biāo)

1.通過拼圖活動，能根據(jù)有理數(shù)的概念判斷一個數(shù)是否為有理數(shù)，從而感受無理數(shù)產(chǎn)生的實際背景和引入的必要性。

2.在探究過程中，提升動手實踐能力、發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力和推理的能力。

3.能正確地判斷一個數(shù)是否為有理數(shù)，能在方格紙中準(zhǔn)確地表示出有理數(shù)和無理數(shù)的線段，加深對有理數(shù)和無理數(shù)的理解。

六、幫助學(xué)生獲得無理數(shù)概念的教學(xué)策略

1.引入讓學(xué)生再一次感受數(shù)的擴張規(guī)律，引發(fā)思考：有理數(shù)夠用嗎？

2.問題設(shè)置具有梯度，在讓學(xué)生判斷 時， 是否為有理數(shù)時，設(shè)置一系列問題： 是否為整數(shù)，是否是分?jǐn)?shù)，從而得出 不是有理數(shù)的結(jié)論。

3.每一個例子之后都及時總結(jié)例子中的數(shù)是一種新數(shù)，不是學(xué)生熟悉的有理數(shù)，強化學(xué)生對生活中確實存在無理數(shù)的感受。

4.在判斷線段的長度是否為有理數(shù)時，引導(dǎo)學(xué)生回憶勾股定理，構(gòu)造直角三角形來判斷。為學(xué)生構(gòu)造符合條件的直角三角形打下基礎(chǔ)。