傾斜角與斜率

劉艷軍

一、教學(xué)目標(biāo)

1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素。

2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式。

3.體會(huì)數(shù)形結(jié)合及分類討論思想在概念形成及公式推導(dǎo)中的

作用。

重點(diǎn)：斜率的概念，用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，過兩點(diǎn)的直線

斜率的計(jì)算公式。

難點(diǎn)：直線的斜率和傾斜角之間的關(guān)系，即用代數(shù)方法推導(dǎo)斜率的過程。

二、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題

問題1、（出示幻燈片）給出的兩點(diǎn)P、Q相同嗎？

從形的角度看，它們有位置之分，但無大小與形狀之分。

從數(shù)的角度看，如何區(qū)分兩個(gè)點(diǎn)？（用坐標(biāo)區(qū)分）

問題2、過這兩點(diǎn)可作什么圖形？唯一嗎？只經(jīng)過其中一點(diǎn)（如點(diǎn)P）可作多少條直線？它們的區(qū)別用什么來刻畫呢？

若只想定出其中的一條直線，除了再用一點(diǎn)外，還有其他方法嗎？可以增加一個(gè)什么樣的幾何量？（估計(jì)不少學(xué)生能意識(shí)到需要有一個(gè)角）

由此引導(dǎo)學(xué)生歸納，確定直線位置可有兩種方式

（1）已知直線上兩點(diǎn)

（2）已知直線上一點(diǎn)和直線的傾斜程度

問題3、角的形成還需一條線，也就是說要有刻畫傾斜程度的角，就必須還有一條形成角的參照的直線。在平面直角坐標(biāo)系下，以哪條軸線為基準(zhǔn)形成刻畫傾斜程度的角？（學(xué)生可能回答x軸或y軸）

以x軸或y軸為基準(zhǔn)都可以，習(xí)慣上我們用x軸。

問題4、過點(diǎn)P與x軸形成45角的直線有幾條？

選擇哪個(gè)角來描述直線的傾斜程度，就能保證坐標(biāo)系下的任何一條直線都有唯一的角與它對(duì)應(yīng)呢？

（教師引導(dǎo)學(xué)生選取不同的方向來描述角，并區(qū)分L1與L2）。

數(shù)學(xué)概念來刻畫事物時(shí)，講求統(tǒng)一美與簡潔美，如何用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確描述這個(gè)角呢？（揭示課題）

1.傾斜角的定義：在直角坐標(biāo)系下，以x軸為基準(zhǔn)，當(dāng)直線與軸相交時(shí)，軸正向與直線向上方向之間所成的角，叫做直線的傾斜角。

學(xué)生練習(xí)畫出過點(diǎn)P的各種傾斜角的直線。

學(xué)生容易忽略與軸平行的直線，補(bǔ)出圖（4），問傾斜角在哪兒？

如何規(guī)定？

規(guī)定：當(dāng)直線與軸平行或重合時(shí)，它的傾斜角為0。

（1）討論一下幾個(gè)問題

①直線傾斜角的范圍是多少？

②在平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有確定的傾斜角嗎？

③傾斜角相同的直線相同嗎？

自然有傾斜角的范圍是[0，180）

這樣平面直角坐標(biāo)系中每條直線都有唯一一個(gè)確定的傾斜角與它對(duì)應(yīng)。傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等，傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等。

以上定義了一個(gè)從“形”的角度用傾斜角刻畫平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一條直線的傾斜程度（二）鞏固舊知，同化新知

生活中，我們都有過爬山、爬坡的體驗(yàn)，對(duì)于斜坡的傾斜程度，可以用什么量來反映？（坡角與坡度）

初中對(duì)坡度是如何定義的？

當(dāng)坡角增大時(shí)，坡度如何變化？

當(dāng)坡角=90與0時(shí)，升高量、前進(jìn)量分別是什么？坡度又分別是什么？

坡角、坡度都能反映傾斜程度，遷移到數(shù)學(xué)中，坡角相當(dāng)于直線的傾斜角，而坡度則對(duì)應(yīng)于直線的斜率。

1.斜率：傾斜角不是90的直線，其傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率。即

問題5、當(dāng)為鈍角時(shí)，直線的斜率如何求？（轉(zhuǎn)化到其補(bǔ)角上）

問題6、當(dāng)在[0，180）內(nèi)變化時(shí)，斜率k如何變化？

問題7、傾斜角與斜率都能刻畫直線的傾斜程度，哪個(gè)量更優(yōu)越呢？

傾斜角能從形的角度刻畫傾斜程度，而斜率是比值，實(shí)質(zhì)是數(shù)值，它能從數(shù)的角度反映傾斜的程度，顯然用斜率更細(xì)致入微些。

（三）嘗試推導(dǎo)，深化認(rèn)識(shí)

兩點(diǎn)確定一條直線，可見由兩點(diǎn)也就確定了直線的傾斜程度，即傾斜角與斜率。看來，直線上兩點(diǎn)與直線的斜率有著密不可分的聯(lián)系。

問題8、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線上兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1 x2，能否用P1 、P2的坐標(biāo)來表示直線斜率k？

（學(xué)生活動(dòng)）：隨意在坐標(biāo)系下畫兩點(diǎn)P1 、P2及直線P1 P2，探究各種圖形并嘗試推導(dǎo)，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。教師可適當(dāng)引導(dǎo)其將斜坡截面圖遷移到坐標(biāo)系中，類似升高量，前進(jìn)量，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段長，并請同學(xué)敘述各個(gè)圖的推導(dǎo)過程與結(jié)果。

解：設(shè)直線P1 P2傾斜角為（90）當(dāng)直線P1 P2方向向上時(shí)，過點(diǎn)P1作軸的平行線，過點(diǎn)P2作軸的平行線，兩線交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q為（x2，y1）

（1）當(dāng)為銳角時(shí)，，，

在中，

（2）當(dāng)為鈍角時(shí)，（設(shè)=），，

=

在中，

（可讓學(xué)生分組推導(dǎo)）

同理，當(dāng)直線P2P1方向向上時(shí)，無論為銳角或鈍角，也有，即

思考：1、各種一般情形得出的結(jié)論一致嗎？與P1、P2這兩點(diǎn)坐標(biāo)順序有關(guān)系嗎？

2、當(dāng)直線垂直于x軸或y軸時(shí)，上述結(jié)論適用嗎？

3、斜率公式使用時(shí)應(yīng)注意什么問題？

鞏固練習(xí)：求經(jīng)過下列兩點(diǎn)直線的斜率，并判斷傾斜角是銳角還是鈍角。

（1）A（3，2），B（-4，1）（）

（2）A（3，2），B（4，1）（）

（3）A（3，2），B（3，-1）（不存在）

（4）A（3，2），B（-4，2）（）

（四）反思小結(jié)，概括提煉（同學(xué)們這節(jié)課有何收獲？）

1.明確了確定直線位置的幾何要素。

2.理解了刻畫傾斜程度的量（傾斜角與斜率），知道了求斜率的兩種方法（定義法、坐標(biāo)法）

3.經(jīng)歷了代數(shù)方法刻畫斜率的過程，感受了數(shù)形結(jié)合與分類討論的數(shù)學(xué)思想

（五）板書設(shè)計(jì)

直線的傾斜角與斜率

1、傾斜角的定義

范圍[0，180）

2、直線的斜率

（）

為鈍角時(shí)，

（六）作業(yè)：①自學(xué)課本 P85：例1、例2；

②作業(yè)本： P89：1、2、3。