傾斜角與斜率

劉艷軍

一、教學目標

1.在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素。

2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式。

3.體會數形結合及分類討論思想在概念形成及公式推導中的

作用。

重點：斜率的概念，用代數方法刻畫直線斜率的過程，過兩點的直線

斜率的計算公式。

難點：直線的斜率和傾斜角之間的關系，即用代數方法推導斜率的過程。

二、教學過程

（一）創設情境，揭示課題

問題1、（出示幻燈片）給出的兩點P、Q相同嗎？

從形的角度看，它們有位置之分，但無大小與形狀之分。

從數的角度看，如何區分兩個點？（用坐標區分）

問題2、過這兩點可作什么圖形？唯一嗎？只經過其中一點（如點P）可作多少條直線？它們的區別用什么來刻畫呢？

若只想定出其中的一條直線，除了再用一點外，還有其他方法嗎？可以增加一個什么樣的幾何量？（估計不少學生能意識到需要有一個角）

由此引導學生歸納，確定直線位置可有兩種方式

（1）已知直線上兩點

（2）已知直線上一點和直線的傾斜程度

問題3、角的形成還需一條線，也就是說要有刻畫傾斜程度的角，就必須還有一條形成角的參照的直線。在平面直角坐標系下，以哪條軸線為基準形成刻畫傾斜程度的角？（學生可能回答x軸或y軸）

以x軸或y軸為基準都可以，習慣上我們用x軸。

問題4、過點P與x軸形成45角的直線有幾條？

選擇哪個角來描述直線的傾斜程度，就能保證坐標系下的任何一條直線都有唯一的角與它對應呢？

（教師引導學生選取不同的方向來描述角，并區分L1與L2）。

數學概念來刻畫事物時，講求統一美與簡潔美，如何用數學語言準確描述這個角呢？（揭示課題）

1.傾斜角的定義：在直角坐標系下，以x軸為基準，當直線與軸相交時，軸正向與直線向上方向之間所成的角，叫做直線的傾斜角。

學生練習畫出過點P的各種傾斜角的直線。

學生容易忽略與軸平行的直線，補出圖（4），問傾斜角在哪兒？

如何規定？

規定：當直線與軸平行或重合時，它的傾斜角為0。

（1）討論一下幾個問題

①直線傾斜角的范圍是多少？

②在平面直角坐標系中，每一條直線都有確定的傾斜角嗎？

③傾斜角相同的直線相同嗎？

自然有傾斜角的范圍是[0，180）

這樣平面直角坐標系中每條直線都有唯一一個確定的傾斜角與它對應。傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等，傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等。

以上定義了一個從“形”的角度用傾斜角刻畫平面直角坐標系內一條直線的傾斜程度（二）鞏固舊知，同化新知

生活中，我們都有過爬山、爬坡的體驗，對于斜坡的傾斜程度，可以用什么量來反映？（坡角與坡度）

初中對坡度是如何定義的？

當坡角增大時，坡度如何變化？

當坡角=90與0時，升高量、前進量分別是什么？坡度又分別是什么？

坡角、坡度都能反映傾斜程度，遷移到數學中，坡角相當于直線的傾斜角，而坡度則對應于直線的斜率。

1.斜率：傾斜角不是90的直線，其傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率。即

問題5、當為鈍角時，直線的斜率如何求？（轉化到其補角上）

問題6、當在[0，180）內變化時，斜率k如何變化？

問題7、傾斜角與斜率都能刻畫直線的傾斜程度，哪個量更優越呢？

傾斜角能從形的角度刻畫傾斜程度，而斜率是比值，實質是數值，它能從數的角度反映傾斜的程度，顯然用斜率更細致入微些。

（三）嘗試推導，深化認識

兩點確定一條直線，可見由兩點也就確定了直線的傾斜程度，即傾斜角與斜率。看來，直線上兩點與直線的斜率有著密不可分的聯系。

問題8、在平面直角坐標系中，已知直線上兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1 x2，能否用P1 、P2的坐標來表示直線斜率k？

（學生活動）：隨意在坐標系下畫兩點P1 、P2及直線P1 P2，探究各種圖形并嘗試推導，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。教師可適當引導其將斜坡截面圖遷移到坐標系中，類似升高量，前進量，用點的坐標表示線段長，并請同學敘述各個圖的推導過程與結果。

解：設直線P1 P2傾斜角為（90）當直線P1 P2方向向上時，過點P1作軸的平行線，過點P2作軸的平行線，兩線交于點Q，則點Q為（x2，y1）

（1）當為銳角時，，，

在中，

（2）當為鈍角時，（設=），，

=

在中，

（可讓學生分組推導）

同理，當直線P2P1方向向上時，無論為銳角或鈍角，也有，即

思考：1、各種一般情形得出的結論一致嗎？與P1、P2這兩點坐標順序有關系嗎？

2、當直線垂直于x軸或y軸時，上述結論適用嗎？

3、斜率公式使用時應注意什么問題？

鞏固練習：求經過下列兩點直線的斜率，并判斷傾斜角是銳角還是鈍角。

（1）A（3，2），B（-4，1）（）

（2）A（3，2），B（4，1）（）

（3）A（3，2），B（3，-1）（不存在）

（4）A（3，2），B（-4，2）（）

（四）反思小結，概括提煉（同學們這節課有何收獲？）

1.明確了確定直線位置的幾何要素。

2.理解了刻畫傾斜程度的量（傾斜角與斜率），知道了求斜率的兩種方法（定義法、坐標法）

3.經歷了代數方法刻畫斜率的過程，感受了數形結合與分類討論的數學思想

（五）板書設計

直線的傾斜角與斜率

1、傾斜角的定義

范圍[0，180）

2、直線的斜率

（）

為鈍角時，

（六）作業：①自學課本 P85：例1、例2；

②作業本： P89：1、2、3。