過程教育下“平方根”教學的實踐性解讀

☉浙江省寧波市海曙區古林鎮中學 鄔云德

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課標”）根據數學具有過程和結果的二重性特征倡導統籌兼顧過程與結果，以全面發揮數學的育人功能.但在以浙教版《數學》七年級上冊3.1“平方根”為載體的研修活動中發現，課堂教學普遍存在過程教育不到位的問題，導致不能促進學生發展數學核心素養.究其原因，主要是教師缺乏教研的意識與方法，導致確定的教學方案與過程教育思想存在偏差.鑒于此，筆者在重復觀摩與反思的基礎上，對該課的教學進行解讀，以使教師感悟改變當前“只教不研”現象的必要性.

一、精致化分析

1.該課的研究內容及其地位與作用

該課研究的對象是“已知x2=a（a是已知數）求x的運算”，它是在學習乘方運算的基礎上，為解決形如“已知x2=a（a是已知數）求x”的需要提出來的.其研究內容主要有：開平方、平方根和算術平方根的概念；平方根和算術平方根的符號表示；求具體數的平方根和算術平方根；平方根和算術平方根的有關事實.其邏輯關系如圖1所示.“已知x2=a（a是已知數）求x的運算”有豐富的現實情景，用根號表示平方根和算術平方根在實數運算中會經常遇到，求數的平方根和算術平方根是需要學生掌握的基本技能，一般到一般或特殊到特殊的研究方法在教學實踐中會經常用到.

圖1

2.該課的認知過程和所蘊含的教育價值

該課的數學本質是求數的平方根，其他知識都是由它衍生出來的，教學時要遵循“先過程（開平方運算），后結果（平方根）”和“先一般（平方根），后特殊（算術平方根）”的認知順序.“已知x2=a（a是已知數），求x”可以看成是從實際問題中抽象出來的，也可以看成是從“已知底數和指數2求冪”中演繹出來的，還可以看成是從具體的“（？）2=4”等中歸納出來的.但采用演繹方式更能促使學生感悟平方與開平方是互逆運算.平方根概念的形式特征比較明顯，能從外形上直接觀察和識別，并且教學要求不高，但學生對方程根的認識還沒有達到一定的“深度”，而開平方與平方運算是互逆運算，所以定義平方根宜采用抽象形式.由于求數的平方根的運算是平方運算的逆運算，所以可用平方運算求數的平方根.平方根有關事實的教學性質是原理教學，它要遵循數學原理對應的認知過程觀，但這些事實相對比較簡單，不必經歷原理教學完整的認知過程，可在求數的平方根之后，引導學生通過歸納猜想得到.實踐告訴我們，用演繹方式產生“已知x2=a，求x”的過程和所蘊含的從運算角度提出問題的經驗，用抽象形式定義開平方和平方根的過程和所蘊含的演繹思想、符號表示思想，解釋平方根概念的過程和所蘊含的從數學概念中可以分解出判定和性質兩個命題的經驗，用平方運算求數的平方根的過程和所蘊含的演繹思想、化歸思想、間接運算的經驗，求數的平方根之后反思的過程和所蘊含的歸納思想及數學活動經驗等，這些對發展學生的智力、能力和個性有積極的影響.

3.該課學生的認知基礎和可能會遇到的認知障礙

盡管學生有從運算角度提出問題的經驗，但從“底數指數=冪”中提出“已知x2=a，求x”，估計部分學生有難度；盡管學生學過許多數學概念，但從兩個方面去理解概念的本質特征，大部分學生無先前經驗；盡管學生有逆運算的經歷與經驗，但學生還沒有養成這種間接運算的習慣，估計部分學生不能自然地用平方運算求數的平方根；盡管學生有合情推理的經歷與經驗，但歸納猜想平方根的有關事實可能對部分學生來說有一定困難.

二、選擇性決策

1.該課的教學目標

根據上述分析結果，并用課標、教材、學生三把篩子進行篩選，該課的教學目標可以設置為：經歷回顧舊知與提出問題的過程，能從運算角度提出“已知x2=a，求x”，能感悟研究開平方運算的意義；參與定義開平方和平方根的活動，能陳述開平方和平方根的概念，能知道開平方與平方是互逆運算，會用根號表示數的平方根和算術平方根，能感悟符號表示思想；參與求數的平方根的活動，會用平方運算求數的平方根，能知道平方根的有關事實，能感悟演繹思想和歸納思想，并在學習過程中有個性化的表現.

2.該課的教學重點與難點

根據該課概念的地位與作用，以及所蘊含的教育價值，其教學重點是平方根的概念和求數的平方根.因為用根號表示平方根的式子在實數運算中會經常遇到，求數的平方根是學生需要掌握的基本技能.其教學難點是平方根的概念.因為從兩個方面去理解平方根概念的本質特征學生無先前經驗，并且±具有雙重性含義比較抽象，許多學生不能自然地把±轉化為“（？）2=a”.

3.該課的教學結構

根據抽象形式定義概念的認知過程觀，該課教學結構可用圖2表示.

圖2

這是一個以數學知識發生、發展過程為載體的學生認知過程和以學生為主體的數學活動過程.這個簡單、自然、動態、和諧的教學結構，能使學生經歷完整的數學思考過程，對促進學生認知與情感的變化與發展有積極的影響.

三、針對性設計

環節1：經歷回顧舊知與提出問題的過程——明確研究問題

首先，教師指出：我們知道，52=25，它是已知底數和指數求冪的運算.在“底數指數=冪”中，還能提出怎樣的運算？

其次，教師解釋：事實上，許多實際問題可以轉化為這些運算.例如，要做一個面積為25cm2的正方形模型，它的邊長應取多少？這個問題可以轉化為已知冪和指數求底數的運算.

最后，揭示課題：既然這些運算有豐富的現實情景，就有研究這些運算的必要.已知x2=a（a是已知數），怎樣求x？本節課我們先來研究與之相關的問題.

分析：提出問題是概念教學不可忽視的一個環節，它旨在激發學生的學習興趣和感悟研究的必要性.該課知識的生長點是平方運算.這個經歷性數學活動的內容，不僅包括平方運算，還包括從“底數指數=冪”中演繹出“已知x2=a（a是已知數），求x”的過程和所蘊含的演繹思想及研究開平方運算的意義.教學采用了教師價值引導下的學生自主體驗的方法.它建立了新知識和舊知識之間的內在聯系，能使學生感悟研究對象從哪里來和往何處去.

環節2：參與定義平方根的活動——形成平方根的概念

第一，教師直接給出定義：一個數的平方等于a（a是已知數），求這個數的運算，叫作開平方，這個數叫作a的平方根，也叫作a的二次方根.即：如果x2=a，那么求x的運算叫作開平方，x叫作a的平方根.

第二，教師解釋：開平方與平方是互逆運算.根據平方根概念可得：若x2=a，則x是a的平方根；若x是a的平方根，則x2=a.并舉例說明.

第三，教師介紹平方根的符號表示，并提出算術平方根概念及其符號表示：數學上把正數a的平方根記作±.其中a叫作被開方數，±讀作正、負根號a；表示正數a的正平方根（讀作根號a）；-表示正數a的負平方根（讀作負根號a）.一個正數a的正平方根也叫作算術平方根，0的算術平方根是0，這樣一個數a（a≥0）的算術平方根可以記作.并舉例說明.

分析：盡管平方根概念的教學要求是“了解”，但用根號表示平方根和算術平方根的式子在實數運算中會經常遇到，它需要學生知道用根號表示平方根和算術平方根的式子的含義.這個參與性數學活動的內容，不僅包括開平方、平方根、算術平方根的概念，平方根和算術平方根的符號表示，還包括開平方與平方是互逆運算，從數學概念中可以分解出判定和性質兩個命題的經驗，用根號表示平方根式子的含義，（2=a和具有雙重非負性.教學采用了教師價值引導下的學生自主體驗的方法.它揭示了平方根概念的本質特征，暗示了求數的平方根的方法，能使學生知道有雙重性含義和雙重非負性.

環節3：參與求數的平方根的活動——求具體數的平方根

首先，教師指出：由于開平方與平方是互逆運算，所以我們可用平方運算來求數的平方根，并示范求9的平方根的過程.

其次，教師要求學生模仿樣例求下列各數的平方根：

在求上述各數的平方根之后，教師要求學生寫出上述各數的算術平方根分別是什么，猜一猜關于數的平方根有什么結論.

再次，教師要求學生先說出下列各式的意義，再計算.

最后，要求學生完成課本中的練習題，待學生完成任務后進行交互反饋與評價.

分析：用平方運算求數的平方根是整節課認知過程的后半段，求數的平方根是該課的教學重點，是學生需要掌握的基本技能，“（）2=a”和“=|a|”在后繼學習中會經常用到.這個參與性數學活動的內容，不僅包括求數的平方根，還包括求數的平方根的過程和所蘊含的演繹思想，平方根的有關事實，以及獲得平方根有關事實的過程和所蘊含的歸納思想.教學采用了教師價值引導與學生自主建構相結合的先“放”后“收”的適度開放的方法.它能促使學生養成用平方運算間接求平方根的習慣，增強計算之后反思的意識，感悟計算過程中所蘊含的演繹思想和獲得平方根有關事實過程中所蘊含的歸納思想等.

環節4：參與回顧與思考的活動——欣賞研究內容與研究方法

首先，教師出示下列問題清單，并要求學生圍繞問題清單進行回顧與思考.

（1）本節課研究了哪些內容？

（2）“已知x2=a，求x”是從哪里來的？為何學習求數的平方根？

（3）我們是用什么方法來求數的平方根的？

（4）大家在學習過程中有何感觸？

其次，教師組織學生進行合作交流，同時教師邊傾聽、邊評價.

最后，教師總結該課的研究內容與研究方法，并指出以后可用計算器來求一個數的平方根（或其近似值）.

分析：課堂總結也是整節課認知過程的后半段，旨在欣賞研究內容與研究方法，感悟研究過程和所蘊含的數學思想及積淀求數的平方根的經驗.這個參與式數學活動的內容，不僅包括回顧研究內容與研究方法，還包括交流學生學習后的感悟.教學采用了問題清單引導下的學生獨立回顧與思考基礎上的交互反饋和交互反饋基礎上的教師總結性講解的方法.它有助于學生深化認識，產生個性化的想法，并對學生增強反思意識，發展語言表達能力，以及養成敢想、敢說、敢于創新的良好習慣有積極的影響.

參與研修的教師普遍認為該課的教學解讀，能促進教師發展實踐性智慧，能促使教師感悟改變當前“只教不研”現象的必要性.因此，一般地，生成高立意教學方案要經歷“精致化分析→選擇性決策→針對性設計→反思性審核”的過程.精致化分析主要是：理解數學——研究的對象、涉及的數學結果及其地位與作用；理解教學——涉及數學結果的教學性質及其認知過程和所蘊含的教育價值；理解學生——學生的認知基礎和可能會遇到的認知障礙.選擇性決策主要是：先用課標、教材、學生三把篩子對分析的結果進行過濾，再確定其全面、和諧的教學目標；根據數學結果的地位與作用和所蘊含的教育價值確定教學重點，根據數學結果的抽象程度和學生的實際確定教學難點；根據涉及數學結果的邏輯結構和所蘊含的數學思想方法結構，確定易于學生接受的教學順序結構.針對性設計就是將選擇性決策中形成的教學思想轉化為具體的教學行為——根據確定的教學結構和數學結果的類型有針對性地設計教學；根據數學結果的特點、教學目標和學生實際，選擇教學的載體與方法.反思性審核就是審查：精致化分析是否全面，選擇性決策是否合理，針對性設計是否合適.若教師能改變當前“只教不研”的現象，并能遵循上述教學設計的基本規范，則定能剖解當前過程教育不到位的疑難問題.