探究奇妙的“黃金三角形”*
——基于微課理念下的教學設計與思考

☉安徽省肥西縣山南鎮(zhèn)金牛學校 劉 鈺

一、微課背景

在滬科版義務教育教科書《數(shù)學》九年級（上）“22.1比例線段”中介紹了“黃金分割”，對于這個知識點，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》的要求是“通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割”，基于這個要求，為了讓學生更好地了解“黃金分割”的美學價值，感受數(shù)學的美，教科書在本節(jié)內容學完后安排了一個“閱讀與欣賞”，短文中介紹了“黃金數(shù)與黃金分割”“黃金數(shù)與黃金圖形”“黃金分割與奇妙現(xiàn)象”，其中就介紹了黃金三角形.對于此內容的介紹，由于不是本節(jié)的必學內容，只是對于“黃金分割”這個知識點的拓展，所以采用短小精悍的“微課”形式進行教學就顯得再合適不過了.

二、微課目標

（1）引導學生了解黃金三角形，初步學會運用由“黃金分割”知識證明黃金三角形.

（2）運用微視頻引導學生復習三角形內角平分線定理.

三、微課設計

1.引入課題：介紹黃金三角形

黃金三角形有2種：

（1）兩個底角為72°，頂角為36°的等腰三角形.這種三角形既美觀又標準.這樣的三角形的底與一腰之長之比為黃金比：（-1）∶2.

（2）兩個底角為36°，頂角為108°的等腰三角形.這樣的三角形的一腰與底之長之比為黃金比：（-1）∶2.

2.問題探究

請你選擇一種，證明黃金比.即黃金三角形的底與一腰之長之比為黃金比：（-1）∶2（.或一腰與底之長之比為黃金比：（-1）∶2）

請你打開滬科版義務教育教科書《數(shù)學》九年級上冊，翻到第73頁，仔細閱讀“閱讀與欣賞·奇妙的黃金數(shù)”，就能找到解決問題的突破口了.

如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，作∠B的平分線BD，那么可以證明：點D就是AC的黃金分割點.

那么請思考：如何證明點D就是邊AC的黃金分割點呢？

要想解決這個問題，先看微視頻：（滬科版，義務教育教科書《數(shù)學》九年級上冊，習題22.1最后一題）已知在△ABC中，AD為∠A的平分線，求證：AB∶AC=BD∶DC.

圖1

圖2

如圖2，過C點作CE∥AD，交BA的延長線于點E，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得

因為∠DAC=∠ACE，∠BAD=∠E，∠BAD=∠DAC，所以∠ACE=∠E，所以AC=AE，因此AB∶AC=BD∶DC.

事實上這題就是證明了三角形內角平分線的性質定理，性質定理內容是：三角形內角平分線內分對邊，所得的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例.

3.問題解決

如圖3，由于BD是∠B的平分線，那么就一定有AD∶DC=AB∶BC.

圖3

因為AB=AC，∠A=36°，所以∠ABC=72°=∠C.

由于∠ABD=∠DBC=36°=∠A，所以AD=BD.又∠BDC=∠C=72°，所以BC=BD=AD，于是就有AD∶DC=AC∶AD，則AD2=AC×DC，從而得出點D就是AC的黃金分割點.

也就是說，頂角為36°，兩個底角為72°的等腰三角形（黃金三角形）的底與一腰之長之比為黃金比：（-1）∶2.

四、簡要概括

要想證明“頂角為36°的等腰三角形（或兩個底角為36°，頂角為108°的等腰三角形）是黃金三角形”，關鍵是作輔助線角平分線，再運用三角形內角平分線的性質定理這個知識儲備，即可解決.當然，等我們學完兩個三角形相似的判定方法以后，也可以運用此方法解決前面的問題.

五、設計說明

微課與初中數(shù)學教學的有機融合已成為打造高效課堂教學的正確嘗試，“微課”是指以視頻為主要載體，記錄教師在課堂內外教育教學過程中圍繞某個知識點（重點、難點、疑點）或教學環(huán)節(jié)而開展的精彩教與學活動全過程.微課“位微不卑”，雖然短小，比不上一般課程宏大豐富，但是它意義非凡，效果明顯，是一個非常重要的教學資源.

本微課用時9分30秒，其中穿插的微視頻用時45秒.從介紹黃金三角形入手，提出問題，讓學生帶著問題回歸課本，再通過短小精悍的微視頻復習“隱藏”在課本習題中的三角形內角平分線的性質定理及其證明方法，注重問題的分析與結論的形成過程.整節(jié)課解決一個問題：探究黃金三角形的證明方法，重點是黃金點的尋找；復習三個知識點：一是黃金分割，二是平行線分線段成比例定理，三是三角形內角平分線的性質定理.

六、教學反思

需要指出的是，我們在努力追尋高效、智慧的數(shù)學教學，充分利用現(xiàn)代信息技術，探究不同的課堂教學模式服務于數(shù)學教學，但是我們不能忘了教材，要做到解讀教材、重構教材、超越教材.現(xiàn)在的學生大多以做課外資料為復習鞏固的第一要務，特別是在進行復習時，常常把課本丟到一邊去，殊不知，課外復習資料上的很多題，其實就是從課本上演變而來，所以教師要切實引導學生，從研讀課本習題做起，本案例中講解的內容處處都沒有脫離課本，但給學生的感覺是處處都高于課本.讓學生時時在既熟悉又陌生的問題之中穿梭，雖充滿探索的艱辛，但也有成功的樂趣.