乘法公式單元教學起始課教學研究

☉江蘇省邗江中學（集團）北區校維揚中學 談 兵

現行初中數學教材關于整式乘法中的乘法公式教學都是逐個進行，先學習平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2、完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，再在教材的習題訓練中滲透（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab這個公式.最近我們在研習著名特級教師李庾南老師關于單元教學相關教學思想時，對李老師倡導基于數學知識內在聯系進行“學材再建構”的主張產生共鳴.在最近一次教研活動中，筆者開設了一節乘法公式單元教學起始課，取得了較好的教學效果.本文梳理該課的教學流程，并給出教學立意的闡釋，供研討.

一、乘法公式單元教學起始課教學流程

說明：本課是在學生已學習整式乘法之后進行的新授課教學，學生對多項式乘以多項式也已訓練到位.

教學活動（一） 從“（x+a）（x+b）”出發

例1計算下列各題：

（1）（x+1）（x+2）；

（2）（x-2）（x-3）；

（3）（x+3）（x-5）；

（4）（x-10）（x+9）.

教學預設：學生很快能算出4個小題的答案：x2+3x+2，x2-5x+6，x2-2x-15，x2-x-90.

解后問題1：這4個結果都是二次三項式，同學們觀察一下，各項系數與原來兩個一次二項式之間有怎樣的對應關系？你們能用字母表示嗎？

教學預設：學生答出（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab后，安排他們證明這個性質.也就是將（x+a）（x+b）展開得4項后，再合并成x2+（a+b）x+ab.證明之后小結為“乘法公式1”，板書在黑板主板區.

解后問題2：小組內再用幾個例子驗證一下上面的發現！

【跟進練習1】

（1）（x+42）（x-2）=__________；

（2）若（x+3）（x+b）=x2+4x+c，則b=______，c=______；

（3）若（x+5）（x-m）展開后不含有關于x的一次項，則m=______；

（4）若（x-4）（x+b）=x2-8x+c，則b=______，c=______.

設計意圖：前兩題主要是訓練剛剛小結的“乘法公式1”，后兩題變式訓練“乘法公式1”，并對應著后面即將要學習的平方差公式、完全平方公式.

教學活動（二） “（x+a）（x+b）”中常數a、b互為相反數

例2已知（x+a）（x+b），其中a、b為非零實數，根據下列條件計算：

（1）當a=1，b=-1時，（x+a）（x+b）=__________.

（2）當a=-2，b=2時，（x+a）（x+b）=__________.

（3）當a=m，b=-m時（m為非零實數），（x+a）（x+b）=__________.

（4）小婧發現：當a+b=0時，計算（x+a）（x+b）的結果只有兩項.你覺得小婧的發現是否正確？請說明理由.

教學預設：前面3題的結果依次為x2-1、x2-4、x2-m2.小婧的發現是正確的.可以使用“乘法公式1”說明.

（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，而a+b=0，則（x+a）（x+b）=x2+0·x+a（-a）.

即（x+a）（x-a）=x2-a2.

證明之后，學生小結出“乘法公式2”，即平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.教師板書在黑板主板區.

【跟進練習2】計算：

（1）（3x+2）（3x-2）；

（2）（-m+2n）（-m-2n）；

（3）（x+2）（x-2）-（x-1）（x+5）；

（4）98×102.

設計意圖：對于（1）和（2），直接套用平方差公式即可；第（3）題需要分別使用平方差公式、乘法公式1簡化運算；第（4）題需要改寫變形后使用平方差公式簡化計算.

教學活動（三） “（x+a）（x+b）”中常數a、b相等

例3已知（x+a）（x+b），根據下列條件計算：

（1）當a=b=1時，（x+a）（x+b）=__________；

（2）當a=b=-2時，（x+a）（x+b）=__________；

（3）當a=b=9時，（x+a）（x+b）=__________；

（4）通過以上計算，你能發現一個“乘法公式”嗎？

教學預設：前面3題的結果依次為x2+2x+1、x2-4x+4、x2+18x+81.在此基礎上，引導學生自主歸納出“乘法公式3”，即完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，教師板書在黑板主板區.

【跟進練習3】計算與思考：

（3）1022；

（4）思考：（x+y）2與（-x-y）2是否相等？（x-y）2與（y-x）2是否相等？

設計意圖：前3題可直接運用完全平方公式計算，第（4）題兩種結果都相等，評講時要注意引導學生與七年級學習有理數乘方時積累的互為相反數的兩個數的平方相等這一性質x2=（-x）2對應起來.

教學活動（四） 完善乘法公式之間的框架體系

小結、梳理本課所學幾個乘法公式之間的關系，完善它們之間的聯系．“結構式”板書如下所示.

【跟進練習4】計算：

設計意圖：第（1）和（2）題主要訓練平方差公式，其中第（2）題在學生做出結果之后要注意通過追問暴露不同學生的解法，比較出最優方法，即將原式改寫為（-5-2x）（-5+2x），再套用平方差公式計算；第（3）題引導學生將小數先化為分數，然后看清算式特點，選準完全平方公式進行計算；第（4）題也注意引導學生利用性質（x+y）2=（-x-y）2，將（-2y-3）2轉化為（2y+3）2，在套用完全平方公式展開時避免多次處理負號.

二、教學立意的進一步闡釋

1.從數學現實出發，基于條件變式引出新知

本課我們選擇從簡單的整式乘法出發，先通過一組計算題小結出“乘法公式1”，在跟進訓練之后，將“乘法公式1”中的常數a、b賦予不同的強化條件“a+b=0”“a=b”，分別對應著后續即將探究的平方差公式、完全平方公式.這種新課引入方式沒有創設所謂的生活情境，而是從數學現實出發，基于條件變式引入新課，也是當前值得重視的一種數學引入方式.需要指出的是，返璞歸真，并不是簡單的回歸，而是基于對數學知識的深刻理解，踐行《義務教育數學課程標準（2011年版）》所提出的要兼顧生活現實與數學現實引入新知的要求.當然，就本課新授內容而言，也是符合著名數學教育家張奠宙教授所提出的“超經驗的數學”，即不需要引入所謂生活現實，而直接根據整式乘法運算的邏輯發展引出新知.

2.精心選編例、習題，圍繞教學主題變式設問

有人曾把數學簡言為兩個字：算與證.本課屬于“算”的內容，但也不能呆算、重復算，這就需要我們在選編各個教學環節的例、習題時，注意圍繞各個教學環節的訓練主題變式設問，而不是重復一些相同的算式類型.比如訓練平方差公式的“跟進練習2”時，所選的4個題都對應著直接使用平方差公式，而不需“轉多次彎”；再看課堂小結時所選編的“跟進練習4”中第（3）題和第（4）題，就進行了適當的改編，提高了要求，需要整體處理和改寫變形.特別是，各個欄目下的訓練題一定要圍繞教學主題選編變式，注意聚焦訓練目標，提高習題內容效度.

3.預設結構式板書，促進深刻理解乘法公式

最近兩年《中學數學（初中版）》有不少課例文章都附出課時板書設計，有些“結構式”板書能加深我們對課例教學內容的深刻理解，對學生也是一種很好的示范.這也啟發我們預設本課不同乘法公式之間關系的“結構式”板式.作為乘法公式單元教學起始課的教學，讓學生通過結構式板書，知曉本單元所學內容的全貌，然后在后續習題課時，就可將習題訓練的不同內容納入到相應的知識體系之中，想來，這也是促進學生深刻理解乘法公式的一種教學努力.