意料之外 情理之中
——由一道調研題命題與測試結果引發的思考

☉上海市嶺南中學 劉華為

☉上海市靜安區教育學院 程 慧

每學年末，靜安區都要對八年級進行一次全區質量調研，主要意義有二：一方面，對初中前三年（六、七、八年級）綜合教學效果進行評估；另一方面，為九年級教學提供必要的數據分析與指導策略.因此，命題的基本原則是“注重基礎知識考查的同時兼顧引導教師強化對學生發展性學力的培養”，即所有考題均以課本知識點和例（習）題為背景，大膽進行改編與重組，既重視對“核心概念”“基本思想”“通性通法”的理解與運用，又突出對“知識生成過程”“解題思維過程”“能力形成過程”等學習過程的呈現與發展，以引導教師摒棄題海戰術，步入培養學生發展性學力的教學正軌.下面筆者由靜安區2017學年度期末質量調研壓軸題的命制過程和測試結果引發的思考談幾點拙見，不當之處，歡迎廣大同仁指正.

一、命題過程

1.命題立意

主要想以八年級教材中“平行四邊形”一章的某道或幾道例（習）題為素材，以圖形運動為載體，通過改編與整合，形成一道集函數與圖形存在性問題于一體的幾何綜合題，著重檢測“方程思想”“函數思想”“數形結合思想”，突出考查“閱讀能力”“轉化能力”“探究能力”“創新能力”.

2.試題改編

原題：已知：如圖1，EF是?ABCD的對角線AC的垂直平分線，EF與邊AD、BC分別交于點E、F.

求證：四邊形AFCE是菱形.

這是滬教版《數學》八年級下冊第86頁例5，雖然難度不大，但涵蓋的基本圖形豐富，知識點覆蓋度高，可塑性強，是一道可改編的好題.第一感覺是讓點O動起來且EF與AC依然保持垂直，但考慮到E、F點需分別在邊AD、BC上，所以增加條件∠BAC=90°.另外，為了求值計算，再賦予邊AB、BC具體數值，于是得第一稿.

第一稿：如圖2，在?ABCD中，AB=6，BC=10，∠BAC=90°，O為對角線AC上一動點，EF經過點O且垂直AC，分別交邊AD、BC于點E、F，連接AF、CE.

圖1

圖2

（1）試問：當點O位于AC的何位置時，四邊形AFCE為菱形？請說明理由.

（2）設AO=x，BF=y，試求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍.

（3）在點O運動的過程中，是否存在某一時刻，使△ABF為等腰三角形？若存在，請直接寫出CO的值；若不存在，請說明理由.

說明：對于第（1）題，學生根據菱形對角線互相垂直平分的性質易知，當O為AC的中點時，四邊形AFCE為菱形，證明也是手到擒來.

第（2）題對于八年級學生來說，只能用勾股定理構造含三個變量的兩個方程消元來解，有一定的難度，不易得分.在Rt△COF和Rt△AOF中，由勾股定理得OF2=（10-y）2-（8-x）2和 （6-OF）2+x2=y2，兩式相減得OF=，代入第二個式子整理得y=x.可見此解法不僅計算量大，消元技巧性強，而且九年級學過平行線分線段成比例定理后，由可簡便而得，故放在八年級檢測有化易為難之嫌，有違“注重通性通法考查”的命題原則.

第（3）題顯然需分三種情況討論.若BF=AB=6，則由（2）得AO=，則CO=.若AF=BF，易證BF=BC=5，則AO=4，所以CO=4.若AF=AB=6，過A作AM⊥BC于M，由Rt△ABC的面積可求得斜邊上的高AM=，進而得BF=2BM=，則AO=，故CO=.雖然本小題對學生 來說比較容易入手，但其求解對第（2）題的依賴性較強，第（2）題一旦“失手”，則第（3）題必然一分不得，對得分率影響較大.若改為“直接寫出BF或CF的值”，則又與第（2）題沒有任何關聯，無法體現層層遞進的問題設置，考查價值也大打折扣.

另外，本設計太過“常規”，缺乏創新味，容易陷入師生題海訓練的“套路”中，引發負面導向，所以只好放棄.既然讓點動起來過于普通，那就不妨讓形動起來.方案一：讓?ABCD動起來，即通過∠ABC大小的變化改變?ABCD的形狀，再針對特殊角度時的特殊平行四邊形（矩形、菱形和正方形）設置問題，但注意到角度作為變量構造函數關系式超出了學生的認知范圍，所以放棄.方案二：保持?ABCD的基本形狀不變，讓邊長動起來，再提出類似第一稿的三個問題.如此設計不僅創新味兒濃，而且還可走出師生訓練的老套路，對課堂教學發揮積極的導向作用.考慮到計算方便，最終把平行四邊形定位為矩形，其中一邊長為定值，另一邊長可變，讓學生在一動一靜中感受數學之美.

第二稿：如圖3，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O作EF⊥AC，分別交射線AD與射線CB于點E和點F，連接CE、AF.

（1）求證：四邊形AFCE是菱形；

（2）如果AB=1，設AD=x，菱形AFCE的面積是y，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

（3）如果△OBF是等腰三角形，且AB=a（a為已知常量，a＞0），求BC的長度（用含a的代數式表示）.

說明：把第一稿中第（2）題的求線段長函數關系式改為求菱形AFCE的面積函數關系式，除了突出與第（1）題的遞進關系，主要還是想引導教師在平時教學中加強對建立圖形面積類函數關系式問題的關注，全面提升學生處理函數類問題的能力.由于菱形AFCE的高AB=1，問題轉化為用含x的代數式表示底邊CF的長.在圖3中，注意到AF=CF，所以在Rt△ABF中，由勾股定理得（x-CF）2+12=CF2，解得CF=.當點E、F分別在AD、CB的延長線上時，解法類似但結果不變，所以x的取值范圍為一切正實數.

圖3

之所以把第一稿中第（3）題的△ABF改為△OBF，是因為∠ABF為直角.若仍以△ABF為等腰三角形存在性問題的考查對象，則只有BA=BF一種情形（雖然還需分點E在邊AD或其延長線上討論，但兩者的求法沒有本質差異），結論太過顯性化，缺乏思維量.更麻煩的是，此時易知Rt△ABC的銳角∠ACB=22.5°，當邊AB給定后，AC和BC也為定值，但又不易求解，難以設置問題.而連接對角線BD，以△OBF為考查對象，則可柳暗花明.雖然也只有FO=FB一種情形（由∠CFO為銳角知∠BFO為鈍角），但需經過適當的觀察分析，具有較強的隱蔽性.更有趣的是，此時由∠CFO=2∠FBO=2∠OCB可知∠ACB=30°，所以當AB=a時，易求得BC=a，且求解過程需要學生具備一定的分析能力與智慧.另外，當點E、F分別在AD、CB的延長線上時（如圖4），易知∠OBC（小于直角∠ABC）為銳角，所以只能BO=BF，故∠OCB=∠OBC=2∠BFO，可得∠ACB=60°，則BC=a.當然，兩種情形下均可分FO=FB、BO=BF和OF=OB三種情況討論，不僅計算量驚人，而且要舍去兩解，從某種程度上也會倒逼考生求變，尋求更優化的解法.總之，如此設計，可巧妙地避免教師“等三等（即等腰三角形存在性問題按三邊兩兩相等分三種情況討論）”的僵化教學模式，對引導教師培養學生思維的優化能力大有裨益.

圖4

斟酌再三，考慮到八年級學生對用字母表示線段長度的心理障礙，減少分類討論情形和計算量，增加思維量，筆者又把第二稿做適當調整.

第三稿：如圖3，在矩形ABCD中，AB=1，對角線AC、BD相交于點O，過點O作EF⊥AC，分別交射線AD與射線CB于點E和點F，連接CE、AF.

（1）求證：四邊形AFCE是菱形；

（2）當點E、F分別在邊AD和BC上時，如果設AD=x，菱形AFCE的面積是y，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

（3）如果△ODE是等腰三角形，求AD的長度.

說明：把AB的長度由抽象字母a改為具體數值1，在計算的可行性上無疑讓學生吃了個定心丸，極大地降低了解題難度.第（2）題增加條件“點E、F分別在邊AD和BC上”，目的在于減少分類討論的情形，避免學生在形式上做低效的重復操作，同時讓求x的取值范圍生動起來.第（3）題把△OBF與BC分別用△ODE與AD調換，主要是考慮讀圖的直觀感受，便于學生觀察出∠AEO為銳角和△ABD為含30°的特殊直角三角形，從而減少分類討論情形，更有利于求出AD的值，可謂用心良苦.

二、結果分析

雖然命題時為突出考查能力和提高得分率，筆者可謂“費盡心思”，但從測試結果來看，卻不盡如人意，三小題的得分率分別為0.7、0.17和0.12，與預期的0.9、0.6和0.3皆有一定的差距.

事實上，第（1）題運用菱形常見的三種判定方法（一組鄰邊相等的平行四邊形、四條邊相等的四邊形和對角線互相垂直平分的四邊形）皆可證明，關鍵是要證明△AOE △COF.但從閱卷結果來看，有些學生根據中垂線的性質得出AE=CE和AF=CF后，想借助證明△AOE△AOF得四條邊相等，導致思路受阻；甚至有不少學生已經證出△AOE △COF，卻不知道用“對角線互相垂直平分”來直接判定.這固然有學生臨場發揮不佳的原因，但也隱約折射出教師在例題講解時挖掘不到位，沒有引導學生對三種方法進行大膽嘗試與優化選擇，就題論題的習題教學行為或許普遍存在，值得反思.

第（2）題求菱形面積的思路特別顯性，就是求底邊CF的值，但不少學生雖深諳其道卻又受困于此，不知道CF一定要用含x的代數式表示，方能求出y關于x的函數關系式.從答卷信息和考后調研結果來看，大部分學生要么不知利用菱形的性質（即AF=CF）把問題轉化到Rt△ABF中利用勾股定理尋求CF與x的關系式，要么設CF=t機械地列出方程（x-t）2+12=t2后卻又不知下一步要干什么，甚至想尋求關于x、t的第二個方程，再聯立解方程組求出x與t的值.由此可見，學生平時做題并沒有養成目標分析與轉化的良好習慣，不知要做什么（目標是什么）和怎么做（如何轉化），只知“死做題”和“做死題”.

至于第（3）題，絕大部分能得分的學生基本上是依賴按三邊兩兩相等分類討論的解題套路得了些步驟分，能觀察到∠OED（如圖3）或∠ODE（如圖4）為鈍角從而避免分類討論者寥寥無幾，更不用說利用等腰三角形兩底角相等的性質推出△ABD是含30°角的特殊直角三角形并求出AD的長了.當然，按三邊兩兩相等分類討論并沒有錯，也是處理等腰三角形存在性問題的基本策略，只不過等腰三角形并非只有“兩腰相等”這一性質可用，還有“兩底角相等”和“三線合一”的性質賴以轉化，適當挖掘題目隱性條件減少分類討論的情形并靈活運用三個性質適時轉化，才是處理等腰三角形存在性問題的上策.

三、教研啟示

總體來說，本測試題難度并不大，但測試結果遠遠出乎意料之外，細細想來也在情理之中，筆者“讓形動起來”“利用兩角相等轉化”“挖掘含特殊角的直角三角形求線段長”也遠遠超出教師的意料之外，更擊中習題教學“靠題量練套路”的軟肋，結果可想而知.為此，筆者也不斷反思：如何借用區教研活動平臺全面提升教師習題教學水平呢？

1.開展研討活動是強化教師重視教材例、習題開發的重要抓手

雖然每次教研活動中，筆者總提醒教師要重視課本例、習題的開發，杜絕題海戰術；每次命題也都以課本例、習題為母題進行重新包裝設計與改編，以引導教師加強對課本例、習題的研討，但從歷次測試效果來看，僅僅依賴“說”與“引”還遠遠不夠，關鍵是要落實在“行”上.首先，要把每次有價值的命題心得與數據分析像本文一樣撰寫成文供大家參考，同時要求教師針對考卷中某一具體題目從教學角度撰寫得與失，并把優秀案例集結成冊，相互學習共同提高.其次，邀請區域內專家和優秀教師開展編題技巧講座與經驗介紹，提升教師編題水平.最后，從“怎樣教”和“怎樣編”兩方面入手，開展課本例、習題說題比賽，掀起區域內教師對課本例、習題研發的高潮.

2.強化學法指導是提升教師習題教學水平和學生解題能力的重要推手

毋庸諱言，學生測試結果往往是教師教學水平的具體反映，學生答題存在問題，說明教師的教學存在改進之處.據每次到各校調研可知，教師習題教學大都采用“就題論題”常規模式，只教“怎樣做”，很少教“為什么這樣做”，嚴重缺乏學法指導.一提學法指導，教師總把它與傳授解題技巧等同起來，其實不然.就習題教學而言，講清解題思路的生成過程，教會學生“怎樣想”顯得更為重要.其實所有數學問題都是運用所學過的知識處理的，等腰三角形存在性問題也不例外.教學中若能通過適當例題，借助知識溯源讓學生知曉處理此類問題有“兩邊相等”“兩角相等”“三線合一”三大轉化法寶，并結合條件和所求目標靈活處理，那么在這次質量監測中，學生就不會束手無策，或一條道走到黑而死抱“按邊分類討論”不放了.其實，習題教學若能做到三個“堅持”：堅持以知識溯源為思路引領，明確思考方向；堅持以“教會學生怎么想”為能力抓手，強化學法指導；堅持以“同一類型還可怎么做”為拓展方向，力求“以題會類”，著重培養學生分析問題的轉化能力和解決同類問題的類化能力，那么學生在處理新問題時就會得心應手了.

毫無疑問，從考查內容與能力導向來看，本題不存在任何問題，雖然由于筆者出乎教師意料之外的創新設計影響了得分率，但這恰恰彰顯了本題的價值之所在，也必將引領教師進一步走出“死練套路”的僵化習題教學模式，轉而更加注重思路生成過程的方法指導，即教學生“怎樣想”，而不僅僅教“怎樣做”.