2018年高考數學兩道解析幾何試題同一源頭的探討

嚴運華

2018年全國高考數學I卷文科第20題為：設拋物線C：y2=2x，點A（2， 0），B（-2， 0），過點A的直線l與C交于M，N兩點.（1）當l與x軸垂直時，求直線BM的方程；（2）證明：∠ABM=∠ABN.

2018年全國高考數學I卷理科第19題為：設橢圓C： +y2=1的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為（2， 0）.（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；（2）設點O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

以上兩道試題，無論題設條件，還是問題結論，都具有極大的相似性，只是曲線的形狀不同. 兩道試題蘊含的本質如何？有怎樣的聯系？

對于上述文科卷試題的第二個問題，可分別抽象出一般結論：

命題1：設拋物線C：y2=2px，點A（2p， 0），B（-2p， 0），過點A的直線l與C交于M，N兩點. 則直線BN、BM與x軸成等角.

證明：顯然，直線l不與x軸重合，設直線l的方程為x=ty+2p，

聯立拋物線方程得y2-2pty-4p2=0，

設M（x1， y1），N（x2， y2），則y1+y2=2pt，y1y2=-4p2，

設直線BM和直線BN的斜率分別為kBM，kBN，

則kBM+kBN= + =

，

而x1=ty1+2p，x2=ty2+2p，代入上式得kBM+kBN= ，

將y1+y2=2pt，y1y2=-4p2代入上式得kBM+kBN=0，則∠ABM=∠ABN；

故直線BN、BM與x軸成等角.

若發現A，B兩點的橫坐標之和為零，可得出以下一般結論：

命題2：設拋物線C：y2=2px，點

A（m， 0），B（-m， 0）（m≠0），過點A的直線l與C交于M，N兩點. 則直線BN、BM與x軸成等角.

證明：顯然，直線l不與x軸重合，設直線l的方程為，x=ty+m，

聯立拋物線方程得y2-2pty-2pm=0，設M（x1， y1），N（x2， y2），

則y1+y2=2pt，y1y2=-2pm，設直線BM和直線BN的斜率分別為kBM，kBN，

則kBM+kBN= + =

，

而x1=ty1+m，x2=ty2+m，代入上式得kBM+kBN= ，

將y1+y2=2pt，y1y2=-2pm代入上式得kBM+kBN=0，則∠ABM=∠ABN，

故直線BN、BM與x軸成等角.

對于其他形式的拋物線，亦有類似結論：

命題3：設拋物線C：x2=2py，點 A（0， m），B（0， -m）（m≠0），過點A的直線l與C交于M，N兩點. 則直線BN、BM與y軸成等角.

證明過程類似，此處不再詳述.

對于今年全國高考數學理科卷第19題的第二個問題，發現點M恰好是橢圓準線與x軸的交點，于是可以得出如下結論：

命題4：過橢圓C： + =1的右焦點F的直線l與C交于A，B兩點，點M（ ， 0）. 其中c為C： + =1的焦半距，則直線MA、MB與x軸成等角.

證明：當直線l與x軸重合時，結論顯然成立；

當直線l不與x軸重合時，設直線l的方程為x=my+c，

聯立橢圓方程得（b2m2+a2）y2+2b2mcy-b4=0，

設A（x1， y1），B（x2， y2），則y1+y2=

- ，y1y2=- ，

設直線MA和MB的斜率分別為kMA， kMB，

則kMA+kMB= + =

，

因此kMA+kMB= ，

將y1+y2=- ，y1y2=- ，代入上式得kBM+kAM=0，

故直線MA、MB與x軸成等角.

再探究發現：點F和點M的橫坐標之積為a2，于是可將命題3進一步拓展為：

命題5：設橢圓C： + =1，過點 N（n， 0）的直線l與C交于A，B兩點，點M（m， 0）. 且mn=a2，設O為坐標原點，則直線MA、MB與x軸成等角.

證明：當直線l與x軸重合時，結論顯然成立；

當直線l不與x軸重合時，設直線l的方程為x=ty+n，

聯立橢圓方程得（b2t2+a2）y2+2b2tny+b2n2-a2b2=0，

設A（x1， y1），B（x2， y2），則y1+y2=

- ，y1y2=- ，

設直線MA和MB的斜率分別為kMA， kMB，

則kMA+kMB= + =

，

因此kMA+kMB= ，

由y1+y2=- ，y1y2= 得

2ty1y2+（n-m）（y1+y2）= - = ，

又mn=a2，代入上式得kMA+kMB=0，故直線MA、MB與x軸成等角.

將橢圓的相關結論推廣到雙曲線，則有：

命題6：設雙曲線C： - =1，過點N（n， 0）的直線l與C交于A、B兩點，點M（m， 0）. 且mn=a2，則直線MA與MB與x軸成等角.

證明方法與命題5類似，此處不再詳述.

將命題2、命題5、命題6整合后可統一成如下命題：

命題7：設M、N是圓錐曲線C的一對“等角點”，過點N的直線l與C交于A，B兩點，則直線MA與MB與x成等角.

若圓錐曲線C為拋物線y2=2px，則兩“等角點”的坐標分別為 M（m， 0），N（n， 0），其中m+n=0，且m≠0.

若圓錐曲線C為橢圓 + =1或雙曲線 - =1，則兩“等角點”的坐標分別為M（m， 0），N（n， 0），其中mn=a2.

顯然，2018年高考數學的兩道解析幾何試題就是命題7的具體呈現形式. 近年全國高考數學常以上述結論為背景命題，如2015年全國高考數學理科試題第20題：

在直角坐標系xOy中，曲線C：y= 與直線y=kx+a（a>0）交于M，N兩點，（Ⅰ）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；（Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

這其中的第二個問題，就是命題3的特例.

由此可見，2018年高考數學文科卷、理科卷的兩道解析幾何的源頭相同，有著相同的根，只是呈現的形式不同. 文科卷試題以拋物線為背景，運算過程較簡潔；理科卷的試題以橢圓為背景，運算過程比拋物線稍復雜. 通過設置的位置和運算過程的繁簡程度來實現文科與理科數學的區別. 事實上，不僅是解析幾何試題有此特點，其他內容如函數試題等也是按此思路來命題.

注：本文是廣東省教育科研“十三五”規劃課題“高中數學核心素養的培養及評價研究”（課題批準號：2017YQJK023）的階段性成果.

責任編輯 羅 峰