分類思想在數學復習教學中的應用

摘要：分類思想是高中階段學習數學重要的數學思想方法之一，而進入高三階段，在進行各類題型解答的過程中，分類思想更是扮演尤為關鍵的角色。所以，教師非常有必要深化學生對分類思想的理解，進而培養學生良好的數學思維能力，拓展學生解題思路。

關鍵詞：分類思想；高三數學；總復習；解題思路

分類思想，不單單是一種數學思想，更是一種重要的解題方式，通過分類思想的運用，進一步完善解題的思路。而相比以往的教學方法，只是單純給學生講解一種解題方法，學生逐漸會被這種思想所束縛，并不能真正鍛煉學生數學思維能力與邏輯能力。所以說，教師需要讓學生依據不同題型進行相應的分類討論，才能更好、更全面地進行解題，數學思維能力與邏輯能力才能有效提高。

一、 分類思想在函數教學中的應用

函數一直是高中數學教學中重要的知識點，在高考中占有一定的比重，所以，在復習階段要給予足夠的關注度。而在具體的教學過程中，作為教師，我們要突出重難點，要讓學生知曉在解決函數問題時，函數概念不同、函數圖像位置不同等都會導致結果的變化，所以，不可避免的就需要借助分類討論思想高中函數題目。也就是說，在遇到這類題目時，要教導學生要注意根據具體情況進行分類討論，來采取不同的解題思路，最終完美解決函數問題。

例如：在研究與二次函數相關的問題時，由于這類題型主要分為兩大類，定軸動區間和動軸定區間，所以，就不可避免地進行區分。在授課過程中，我向學生強調區分的必要性與介紹如何分類。接下來，我向學生介紹了定軸動區間的典型特征，即題目會提供完整的函數表達式，區間未知，比如：y=x2+3x+4在區間[m，m+1]上最小值為3，求m。而這類題型的解題思路為：應首先判斷對稱軸的位置，對稱軸為x=-b/2a=-3/2，然后依據對稱軸的位置進行區間范圍的劃分，從而再分類解出答案；而對于動軸定區間，我也是通過典型例題進行講解，并讓學生具體結合題目進行練習。在這節課的講授過程中，關于函數類型的分類討論很重要，因為這對于后期的解題尤為關鍵，只有熟練掌握分類依據與相應解題思路，才能更好更快地解決這類題目。

二、 分類思想在數列教學中的應用

分類思想體現了歸類整理的方法，對于學生邏輯思維能力的提升很有幫助，而在高中數列教學過程中，也在一定程度上考察學生的邏輯思維能力，這也離不開分類思想。同時，高中數列又是高考的必考知識，數列在求通項公式、求前n項和以及數列的周期性等許多問題中，都要進行分類討論來解題。所以，這就需要學生借助分類討論思想逐個擊破數列解題上的難點，從而，完善解題思路。

例如：在系統復習數列的周期性時，為了讓學生借助分類思想來更好的解題，我通過這樣一道有代表性的例題進行講解：設等比數列{an}的公比為q，前n項和Sn>0（n=1，2，3，…），求q的取值范圍是什么。

題目公布后，學生都知道先賦值n=1時，a1=S1>0，所以得到首項必為正數，然后根據q進行分類，我向學生提問：“可以分為哪種情況呢？”學生積極回答：“分為q=1與q≠1兩類進行討論”。接下來，我繼續帶領學生一同解答此題，首先，第一種情況：令q=1時，Sn=na1>0；第二種情況：即q≠1，此時表達式為Sn=a1·（1-qn）/（1-q），令Sn>0，即為（1-qn）/（1-q）>0，最終得到q>-1且q≠0，即q的取值范圍應該在（-1，0）∪（0，+∞）。通過這道典型數列題，學生意識到對于沒有說明q的取值范圍時，要分情況進行討論，同時，在討論過程中，要系統、全面來研究題目，不能遺漏知識點，這樣才能得出完整答案。

三、 分類思想在不等式教學中的應用

不等式教學是高中數學教學中一種較為普遍的數學問題，而在高三階段，由于難度的提升，學生雖然能知曉要通過添加絕對值以及變換符號來改變不等式，但是對于分類思想的運用不到位，這會對學生接下來的運算造成困擾。因此，教師要善于采用分類討論思想來解決不等式，通過給予學生正確的示范讓學生逐漸掌握不等式學習的思路，讓學生在解題時能借助分類思想理清系統思路，對于題目有完整的認識，進而增強學習信心。

例如：在復習講授這樣一道關于x的不等式方程：x2-（a+a2）x+a3>0我首先讓學生進行思考，然后我再帶領學生一同系統解答。學生看到題目，都知曉因為兩根含有參數，需討論兩根大小，所以將不等式化為：（x-a）（x-a2）>0，對應方程兩根分別為：x1=a，x2=a2，學生能計算到這一步，但是對于接下來如何分類討論，往往會讓學生思路混亂，所以，我向學生強調：要對a和a2大小關系進行分類討論。

第一種情況：當a>a2時，得出0a2或x

第二種情況：當a=a2時，即a=1或0時，當a=0，原不等式的解集為x≠0，當a=1時，x≠1

第三種情況：當a1或a<0時，此時不等式解為x>a或x

最終根據a的取值不同得出不同的不等式解集，我通過這樣步驟詳細地進行引導示范，讓學生對于運用分類思想進行解答不等式有了更清晰的認識，在以后的解題過程中，通過這樣一步步的計算，形成自己的分類思考思維，真正的掌握了這部分知識。

總而言之，借助分類思想可以更好地解決數學問題，對于學生養成完善的邏輯思維很有幫助，使學生對數學乃至其他學科的學習都養成一種嚴謹的態度。所以說，教師要善于借助分類思想進行教學，從而，提升學生自身解題能力以及數學素養。

參考文獻：

[1]劉祝蕓.關于分類討論思想在高中數學解題中的應用思考[J].經貿實踐，2016（19）：80.

[2]樸希蘭.分類討論思想在高中數學教學中的應用[D].延邊大學，2015.

作者簡介：

張天慧，黑龍江省哈爾濱市，哈爾濱市工業大學附屬中學校。