2017年高考全國Ⅱ卷理科壓軸題的解法研究及賞析

陜西師范大學附屬中學 (710062)

張錦川

2017年全國Ⅱ卷理科第21題：

已知函數f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0.

(1)求a；

(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點x0，且e-2

本題沿襲了近年來全國卷理科壓軸題的設計理念，題目簡潔干練，內涵雋永.既考查了函數、導數、不等式、方程等主干知識，又引導學生用聯系發展的眼光看問題，綜合運用數學知識進行推理論證，培養學生函數與方程，數形結合，轉化與化歸的數學思想.

1.解法研究

(1)解法1：由已知，x>0，所以f(x)≥0?ax2-ax-xlnx≥0?ax-a-lnx≥0，令g(x)=ax-a-lnx，則g(x)≥0.

①當a≤0時，g(x)在(0,+∞)單調遞減，所以當x>1時，g(x)

圖1

解法2：由已知，x>0，所以f(x)≥0?ax2-ax-xlnx≥0?a(x-1)≥lnx.易知函數y=a(x-1)與y=lnx都過點(1,0)，如圖1，當且僅當直線y=a(x-1)為曲線y=lnx在點(1,0)處的切線，a(x-1)≥lnx成立.所以a=1.

令r(x)=x-1-xlnx(x>0)，r′(x)=-lnx，當x∈(0,1)時，r′(x)>0，r(x)遞增；當x∈(1,+∞)時，r′(x)<0，r(x)遞減，所以，當x>0，且x≠1時，r(x)

x(0,x0)x0(x0,1)1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗

2.試題推廣

高考剛結束之后，網上有人把原題目誤記為：

已知函數f(x)=ax3-ax-xlnx，且f(x)≥0.

(1)求a；

(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點x0，且e-2

那么，本題能否進行更一般地推廣呢？筆者經過思考，得出以下更一般的形式：

題目已知函數f(x)=axn+1-ax-xlnx(n∈N*)，且f(x)≥0.

(1)求a；

解：(1)由已知，x>0，所以f(x)≥0，即axn+1-ax-xlnx≥0，即axn-a-lnx≥0，令g(x)=axn-a-lnx，則g(x)≥0.

①當a≤0時，g(x)在(0,+∞)單調遞減，所以當x>1時，g(x)

x(0,x0)x0(x0,1)1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗

3.試題欣賞

3.1 數形結合，直觀展現

圖2

3.2 高等背景，中學表達

然而，有著高等數學背景的試題并非要求學生要不斷補充未學的知識，命題人更想看到的是學生的“中學表達”，即利用中學所學的知識來解決新的問題，這也是高校選拔優秀人才的一個標準.

3.3 立足基礎，回味無窮

4.試題反思

一道好的數學試題既能覆蓋重點知識，又可以提供多角度的思維空間.在教學中，如果能夠選擇這樣典型題目進行教學，引導學生多嘗試、勤思考，那么這種試題教學一定可以發揮著更大的作用，教學也會變得高效.