再談拉格朗日中值定理的應用

摘 要： 拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一。巧用拉格朗日中值定理除了可以進行等式的證明、函數的單調性與零點的探究外，還可以證明不等式、求參數的取值范圍、求極限等。其中不等式的證明，求參數的取值范圍是高考復習的重點內容，本文通過巧用拉格朗日中值定理證明不等式、求解參數的取值范圍，使我們感受到拉格朗日中值定理的使用價值、事物之間的內在聯系與和諧統一。

關鍵詞： 再談；拉氏定理；應用

拉格朗日中值定理又稱之為拉氏定理，巧用拉氏定理的關鍵是構造輔助函數，構造輔助區間。拉格朗日中值定理是研究函數的重要工具，是聯系函數與導數的紐帶，巧用拉氏定理可以解決不等式證明、求解參數的取值范圍等許多數學問題，因此拉格朗日中值定理在數學學習中具有很重要的應用價值。

一、 巧用拉氏定理證明不等式

例1已知x>0，求證： x 1+x

證明： 構造輔助函數f（x）=ln（1+x），于是函數f（x）=ln（1+x）在閉區間[0，x]上連續，在開區間（0，x）內可導，于是依據拉氏定理在開區間（0，x）內至少存在一點ξ（0<ξ

又因為f（x）=ln（1+x），f（0）=ln1=0，f′（x）= 1 1+x ，f′（ξ）= 1 1+ξ ，所以ln（1+x）= x 1+ξ ；

又因為0<ξ

點評： 本例中，通過構造輔助函數與輔助區間，根據所要證明的不等式的結構特征，建立了和拉格朗日中值定理相聯系的橋梁，最后利用放縮法完成了證明。這不但充分體現出拉氏定理解決數學問題的價值所在，而且也充分體現出拉氏定理與其他數學知識的完美交匯，淋漓盡致地展現出拉氏定理的數學之美。

二、 巧用拉氏定理求參數的取值范圍

例2已知函數f（x）=ex-e-x，對任意的x≥0，都有f（x）≥ax成立，請你求出實數a的取值范圍。

解： 當x=0時，f（x）≥0，ax=0，不論a取何值，f（x）≥ax恒成立；

當x>0時，f（x）≥ax等價于a≤ f（x） x ，問題轉化為a≤ ex-e-x x 對任意x>0恒成立。

函數f（x）=ex-e-x在閉區間[0，x]上連續，在開區間（0，x）內可導，

所以函數f（x）=ex-e-x滿足拉氏定理的條件，

從而根據拉氏定理在開區間（0，x）內至少存在一點ξ（0<ξ

又因為f（x）=ex-e-x，f（0）=e0-e-0=1-1=0，f′（x）=ex+e-x，f′（ξ）=eξ+e-ξ，

所以ex-e-x=x（eξ+e-ξ），即eξ+e-ξ= ex-e-x x ，

當ξ→0時，eξ+e-ξ→2，當ξ>0時，根據均值不等式有eξ+e-ξ>2，

于是 ex-e-x x >2，所以a≤2；

綜上所述，實數a的取值范圍為（-∞，2]。

點評： 該例中，當x>0時，利用轉化的數學方法，把問題轉化為確定函數y= ex-e-x x 的值域下界的問題。通過構造輔助區間，根據拉氏定理，巧妙地確定出函數y= ex-e-x x （x>0）的值域下界就是函數y=ex+e-x（x>0）值域下界。最后利用極限思想和均值不等式求出了函數y=ex+e-x（x>0）值域下界，最終實現了利用拉氏定理求參數的取值范圍的目的，凸顯綜合性。

三、 巧用拉氏定理求極限

例3求極限lim x→0 （2x+3） ex-esinx x-sinx 。

解： 當x>sinx時，構造輔助區間為[sinx，x]，當sinx>x時，構造輔助區間[x，sinx]，再構造一個輔助函數f（x）=ex。

當x>sinx時，函數f（x）=ex在閉區間[sinx，x]上連續，在開區間（sinx，x）內可導，當sinx>x時，函數f（x）=ex在閉區間[x，sinx]上連續，在開區間（x，sinx）內可導，

于是函數f（x）=ex滿足拉氏定理的條件，

從而據拉格朗日中值定理在x與sinx之間一定存在一點ξ，使得 f（x）-f（sinx） x-sinx =f′（ξ）；

又因為f（x）=ex，f（sinx）=esinx，f′（x）=ex，f′（ξ）=eξ，

所以 ex-esinx x-sinx =eξ；

因為ξ介于x與sinx之間，

所以當x→0時，sinx→0，ξ→0，

因此lim x→0 ex-esinx x-sinx =lim ξ→0 eξ=1。

綜上所述，lim x→0 （2x+3） ex-esinx x-sinx =lim x→0 （2x+3）·lim x→0 ex-esinx x-sinx =3·

lim x→0 ex-esinx x-sinx =3lim ξ→0 eξ=3。

點評： 解答本例的關鍵之處是根據代數式的結構特征，巧妙地構造輔助函數與輔助區間，恰當合理的利用了拉氏定理，實現了極限的求解，變形的目標在于湊出形式類似于拉氏定理的式子。本例不但有力地說明拉氏定理的應用靈活性，而且也有力地說明事物之間的內在聯系和完美統一。

拉格朗日中值定理是聯系函數及其導數之間關系的紐帶，是解決函數在某一點的導數的重要數學工具。利用拉格朗日中值定理除了可以進行等式的證明、函數的單調性與零點的探究外，還可以證明不等式、求參數的取值范圍、求極限等。巧用拉格朗日中值定理的關鍵之處在于依據拉格朗日中值公式構造出輔助函數，構造出輔助區間，這對于進一步學習數學知識具有重要的意義，讓我們明白了事物之間的內在規律和辯證統一，讓我們科學的看世界。

作者簡介： 鄭有禮，甘肅省武威市，甘肅省天祝縣第二中學。